1、 第 1 页 共 5 页 太原市 2020 年高三年级模拟试题（三） 数学数学试题试题（文（文）参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题（每一、选择题（每小小题题 5 分分，共，共 60 分分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B D C B A C C C B A 二二、填空、填空题题（每（每小小题题 5 分，共分，共 20 分）分） 13. 8 14. 1 8 15. 1 1 2 n 16. 13 (, 2 , 13 2 三、解答三、解答题题（共（共 70 分）分） 17. （本小题满分 12 分） （1）甲小区分数集中于 6090 之间，
2、乙小区分数集中于 80100 之间，所以乙小区的平均 分高. 3 分 （2）记分数为 87 的家庭为 A、B，其他不低于 80 的家庭为 C,D,E,F, 则从甲小区不低于 80 分的家庭中随机抽取两户的基本事件有： （A,B），（A,C），（A,D），（A,E），（A,F），（B,C），（B,D），（B,E），（B,F）， （C,D），（C,E），（C,F），（D,E），（D,F），（E,F）共 15 个. “分数为 87 的家庭至少有一户被抽中的”所组成的基本事件有： （A,B）， （A,C）， （A,D）， （A,E），（A,F），（B,C），（B,D），（B,E），（B,F）共 9 个
3、， 故所求概率. 8 分 （3） 因此可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式 有关 . 12 分 甲 乙 合计 优秀 3 10 13 不优秀 17 10 27 合计 20 20 40 2 2 40(3 1017 10) 2020 13 27 K 5.5845.204. 第 2 页 共 5 页 18(本小题满分 12 分) 解： （1）因为 abcosCcsinB， 由 a sinA b sinB c sinC，得 sinAsinBcosCsinCsinB 2 分 又因为 sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC， 所以 sinBcosCcos
4、BsinCsinBcosCsinCsinB， 即 cosBsinCsinCsinB 4 分 因为 0C，所以 sinC0，所以 sinBcosB 又 0B，所以 B 4 .6 分 （2）因为 AD 是BAC 的平分线，设BAD，所以 A2， 所以 cos2cosA 7 25，即 2cos 217 25，所以 cos 29 25， 因为 0A，所以 0 2，所以 cos 3 5，sin 1cos24 5 在ABD 中，sinADBsin(B)sin( 4)sin 4coscos 4sin 2 2 (3 5 4 5) 7 2 10 7 分 由 AD sinB AB sinADB，得 AB AD s
5、inADB sinB 17 7 7 2 10 217 5 8 分 在ABC 中，sinA 1cos2A24 25， 所以 sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB 2 2 (24 25 7 25) 17 2 50 10 分 由 b sinB c sinC，所以 b c sinB sinC 17 5 2 2 17 2 50 5 12 分 19(本小题满分 12 分) 解（1）如图，连结 1 AC交 1 AC于点E，连结DE，1 分 因为四边形 11 AACC是矩形, 所以 点E是 1 AC的中点，. 2 分 因为D是 11 BC的中点，所以 DE 1 AB ， .3 分 第 3 页
6、 共 5 页 因为 1 AB平面 1 ACD，DE平面 1 ACD ， 所以 1 AB平面 1 ACD ., .4 分 （2）因为棱柱 111 ABCABC是直三棱柱，所以 111 AAAC ， 因为 1111111 ABACAAAB， ， 所以 111 ACBC ， 5 分 因为 1 AB和BC所成角的余弦值为 26 13 ， 所以 11 26 cos 13 ABC ，. 6 分 因为 111111 2AAABAAAB， ，所以 1=2 2 AB， .7 分 在 11 ABC中， 222 111111111 =2cosACBCABBCABABC 可得 11= 13 BC ， 8 分 因为 1
7、11111=2 ABACAB，所以 11=3 AC ， 因为 11111111111 ,C AAB C AAA AAABA ，所以 111 C AAB平面 ， 同理 111 ABAC平面 ， 10 分 所以 1 1111 = AB DCAD A ABD AAC VVV ， 11311 2223 1 32232 2 ， 所以 几何体 11 AB DCA的体积为2. .12 分 20(本小题满分 12 分) 解（1）因为椭圆 C 的焦距为 2，所以 22 1ab， 1 分 因为椭圆 C 过点 (1， 3 2 )，所以 22 19 1 4ab 2 分 解得 2 4a ， 2 3b ， .4 分 故椭
8、圆 C 的方程为x 2 4 y2 31 5 分 （2）设 B(m，n)，记线段 MN 中点为 D 因为 O 为BMN 的重心，所以BO2OD，则点 D 的坐标为(m 2， n 2) 6 分 E B1 C1 A1 D C BA 第 4 页 共 5 页 若 n0，则|m|2，此时直线 MN 与 x 轴垂直， 故原点 O 到直线 MN 的距离为|m 2|，即为 1 若 n0，此时直线 MN 的斜率存在 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2m，y1y2n 又x1 2 4 y1 2 3 1，x2 2 4 y2 2 3 1，两式相减得(x1x2)(x1x2) 4 (y1y2)(y1y2)
9、3 0， 可得 kMNy1y2 x1x2 3m 4n 8 分 故直线 MN 的方程为 y3m 4n(x m 2) n 2，即 6mx8ny3m 24n20， 则点 O 到直线 MN 的距离为 d |3m24n2| 36m264n2 将m 2 4 n 2 3 1，代入得 d 3 n29 10 分 因为 0n23，所以 dmin 3 2 又 3 2 1，故原点 O 到直线 MN 距离的最小值为 3 2 .12 分 21(本小题满分 12 分) 解： （1）( )f x定义域为(0,)， 当1k 时， 1 ( )ln,( )1f xxx fx x ， 1 分 令( )0fx ，得1x ，当( )0,
10、01;( )0,1fxxfxx ， 3 分 所以 ( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 所以 ( )f x有极大值点 1x ，无极小值点 6 分 （2）当0k 时，( )ln bb f xaxa xx 若( )0,( ,) b f xaa bR x 恒成立，则ln0( ,) b xaa bR x 恒成立， 所以ln b ax x 恒成立， 7 分 令ln b yx x ，则 2 xb y x ， 由题意0b ，函数在(0, )b上单调递减，在( ,)b 上单调递增， 9 分 所以ln1ab，所以1 lnab 10 分 所以 1a eb ， 1 1 1 a eb ， 11
11、分 第 5 页 共 5 页 故当且仅当 1a eb 时， 1 1 a eb 的最大值为 1 12 分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解（1）因为6cos，所以 2 6 cos， 所以 22 6xyx，即曲线C的直角坐标方程为 22 (3)9xy， 2 分 直线l的参数方程 3 cos, 4 3 2sin 4 xt yt (t为参数)，即 2 , 2 2 2 2 xt yt (t为参数)， 5 分 （2）设点A，B对应的参数分别为 1 t， 2 t， 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得 22 22 329 22 tt ， 整理，得 2 405 2tt ，
12、所以 12 12 5 2 4 tt t t ， 7 分 121212 0,0,0,0tttttt， 所以 12 MAMBtt 12 ()tt =5 2 , MA MB| 21t t =4, 所以 11 MAMB = M M M AMB AB 5 2 4 . 10 分 23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解（1）当1a时，4|2| 1|4)(xxxf ， 化为 32 1 x x 或 43 21x 或 412 2 x x , 3 分 解得 1 2 3 x 或 21x 或 2 5 2 x ， 2 5 2 3 x .即不等式 ( )4f x 的解集为) 2 5 , 2 3 ( . 5 分 （2）根据题意，得 2 24mm的取值范围是( )f x值域的子集. 33) 1(42 22 mmm ， 又由于| 12|2| 1|)(aaxxxf，)(xf的值域为)|,12|a， 8 分 故3| 12|a，12a.即实数a的取值范围为 1 , 2. 10 分 注：以上各题其他正确解法相应得分注：以上各题其他正确解法相应得分
