1、直线与圆的位置关系1直线与圆的位置关系(1)直线与圆有三种位置关系：相交、相切和相离，如图所示直线l和O的位置关系是由直线与圆的公共点的个数决定的相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离，如图(1)所示相切：当直线与圆只有一个公共点时，叫做直线和圆相切，如图(2)所示这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，如图(3)所示此时这条直线叫做圆的割线(2)直线与圆的位置关系的判定定义法：用直线与圆的公共点的个数进行判定，其关系如下：直线l与O没有公共点直线l与O相离；：直线l与O有唯一公共点直线l与O相切；：直线l与O有两个公共点直线l与O相交
2、d， r比较法：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l与O的位置关系与d，r的关系如下：直线l与O相交dr，如图；：直线l与O相切dr，如图；：直线l与O相离dr，如图.(1)d，r比较法中，左边反映的是两个图形的位置关系，右边反映的是两个数量的大小关系：从左端推出右端是直线和圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线和圆的位置关系的判定；(2)研究直线和圆的位置关系，既可以转化为点到直线的距离与半径的大小关系，又可以转化为直线和圆的公共点的个数问题，两种方法是一致的【例11】(1)O的直径为12 cm，圆心O到直线l的距离为7 cm，则直线l与O的位置关系是()A相交 B相切C相离
3、 D不能确定(2)已知O的半径为3 cm，点P是直线l上一点，OP长为5 cm，则直线l与O的位置关系为()A相交 B相切C相离 D相交、相切、相离都有可能解析：(1)要判定直线l与O的位置关系，只要比较圆的半径与圆心到直线l的距离的大小，根据大小关系确定位置关系因为O的直径为12 cm，所以半径为6 cm，因为圆心O到直线l的距离为7 cm,76，所以直线l与O的位置关系是相离选C.(2)本题知道O的半径为3 cm，并知道点P是直线l上一点，OP长为5 cm，并没有告诉圆心到直线l的距离，且根据已知条件无法确定圆心到直线l的距离的大小，所以此时要根据直线与圆的位置关系的三种情况分别探究是否都
4、有可能通过具体的数值分析，可知直线l与圆的位置关系三种都有可能，所以选D答案：(1)C(2)D【例12】在RtABC中，C90，AC3 cm，BC4 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB所在直线有怎样的位置关系？为什么？(1)r2 cm；(2)r2.4 cm；(3)r3 cm.分析：因为题目给出了C的半径，所以解题的关键是求圆心C到直线AB的距离(d不变)，也就是要求出RtABC斜边AB边上的高为此，可过C点向AB作垂线段CD，然后可根据CD的长度与r进行比较，确定C与AB的关系解：如图所示，过C作CDAB，垂足为D在RtABC中，AB5 cm.根据三角形的面积公式，有CDABACBC，CD2
5、.4 cm，即圆心C到AB的距离d2.4 cm.(1)当r2 cm时，有dr，因此C和AB相离如图1所示(2)当r2.4 cm时，有dr，因此C和AB相切如图2所示(3)当r3 cm时，有dr，因此C和AB相交如图3所示判断直线与圆的位置关系，关键是找出圆心到直线的距离，然后与圆的半径进行比较2圆的切线的性质(1)切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径如图1，已知直线CD与O相切于点A，OA为半径，则OACD(2)本性质可这样理解：如果一条直线既过圆心又过切点，那么这条直线与圆的过该切点的切线垂直如图2，若直线l切O于点A，直线m经过点O，A，则直线ml.当题目中有切线时，常作的辅助线是连接圆
6、心和切点，从而利用垂直关系进行有关的证明【例2】如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D求证：AC平分DAB分析：如图，连接OC.要证明AC平分DAB，只需证23，因为13，所以只需证12.由圆的切线垂直于过切点的半径，和题目中已有的垂直关系可以推出平行，问题得证证明：连接OC.CD与O切于点C，OCCDADCD，OCAD，12.OCOA，13，23.即AC平分DAB3圆的切线的判定(1)圆的切线的判定方法定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线切线判定：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线如图，OA
7、是O的半径，ABOA，AB是O的切线(1)切线判定中的题设的两个条件“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”缺一不可，否则就不是圆的切线，如图所示的直线l都不是O的切线；(2)判定切线的三种方法中，常用的是后两种方法，用后两种方法判定切线时，往往需要添加辅助线(2)证明圆的切线常见的两种题型及其辅助线的作法如果已知直线经过圆上的一点，其证法是连接这点和圆心，得到半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可其依据是切线判定，可简记为：连半径，证垂直如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线，再证明垂线段的长度等于半径的长即可其依据是：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线可简记为
8、：作垂直，证半径【例31】如图，已知AB为O的直径，点D在AB的延长线上，BDOB，点C在圆上，CAB30.求证：DC是O的切线分析：要想证明DC是O的切线，只要连接OC，证明OCD90即可证明：连接OC，BC.AB为O的直径，ACB90.CAB30，BCABOBBDOB，BCBDOB，OCD90.DC是O的切线【例32】如图，点O在APB的平分线上，O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与O相切；(2)PO的延长线与O交于点E，若O的半径为3，PC4，求弦CE的长分析：若想证明相切，过圆心作所给直线的垂线，若圆心与垂足之间的距离等于半径的长，则可证明此直线与圆相切若求CE，可通过勾股定理进
9、行求解，则要先作垂线，再结合面积相等等思想进行求解(1)证明：过点O作ODPB于点D，连接OC.PA切O于点C，OCPA又点O在APB的平分线上，OCODOC为半径，PB与O相切(2)解：过点C作CFOP于点F，在RtPCO中，PC4，OC3，OP5.OCPCOPCF2SPCO，CF.在RtCOF中，OF，EFEOOF.CE.4圆的切线的作图方法(1)过圆上一点作圆的切线先连接已知点和圆心，再过已知点作这条半径的垂线(2)过圆外一点作圆的切线例如，如图所示，已知O和圆外的一点A，过A点作O的切线作法：连接AO；以AO为直径作圆，交O于B，C两点；作直线AB，AC，直线AB，AC即为所求理由：连
10、接OB，OC，AO为直径，ABO90.ABOB又OB是半径，AB是O的切线同理，AC是O的切线过圆上一点只能作圆的一条切线，过圆外一点可以作圆的两条切线【例4】如图所示，(1)过O内一点P能作几条O的切线？(2)过O上一点P作O的切线，能作几条？(3)过O外一点P作O的切线，能作几条？以上三种情况，如果符合条件的切线存在，请用尺规作图法作出圆的切线分析：因为切线与圆只有一个公共点，所以过圆内一点不能作圆的切线，过圆上一点P只能作一条圆的切线，并且这条切线垂直于半径OP，过圆外一点P可以作两条圆的切线解：(1)过O内一点P不能作圆的切线，如图甲(2)过O上一点P能作一条O的切线具体作法为：连接O
11、P并延长，用平分平角的方法过点P作直线lOP，则直线l为过点P的O的切线如图乙(3)过O外一点P可以作O的两条切线具体作法是：连接OP，以OP为直径作O，与O交于A，B两点，作直线PA，PB，则直线PA，PB即为O的切线，且A，B为切点如图丙5切线长定理(1)切线长的概念从圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长如图，P是O外一点，PA，PB是O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到O的切线长切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量(2)切线长定理从圆外一点作圆的两条切线，两条
12、切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角数学语言表示：如图，PA，PB是O的切线，PAPB，APOBPO.【例5】如图，PA，PB分别切O于A，B，并与O的切线分别相交于C，D，已知PA7 cm，则PCD的周长等于_解析：如图，设O的切线CD与O的公共点是E，因为PA，PB是O的切线，所以DADE，CBCE，PAPB，所以PCD的周长等于PDCDPCPDCEEDPCPDCBADPCPAPB，因为PA7 cm，所以PCD的周长等于14 cm.答案：14 cm6直线与圆的位置关系的综合应用(1)根据直线与圆的位置关系求字母的取值范围：若给定了直线到圆心的距离与圆的半径的数量关系，判断直线和
13、圆的位置关系时，要用运动变化的观点研究直线与圆的位置关系，并且利用分类思想把直线与圆的位置关系分为三类来讨论，运用数形结合的思想，通过d和r之间的数量关系来研究直线与圆的位置关系例如，如图，在ABC中，C90，A30，O是AB上的一点(与A，B不重合)，OBm，O的半径r.当m在什么范围内取值时，BC与O相离、相切、相交？解：如图，作ODBC于点D由A30，C90，得B60，DOB30.设ODd，在RtODB中，OBm，ODm.不妨记ABa，则ma.(1)当BC与O相离时，dr，即m，解得m.即ma.(2)当BC与O相切时，dr，即m，解得m.(3)当BC与O相交时，dr，即m，解得m.即0m
14、.(2)圆的切线的性质的实际应用利用切线的性质求圆形物体的直径：求圆形物体的直径，通常转化为求圆的半径，而求圆的半径，通常利用圆的切线的有关性质来解决在经济生产和日常生活中都有广泛的应用，利用圆的切线的性质，能使复杂的不易操作的问题变得容易操作(3)圆的切线的判定与性质的综合应用直线与圆的位置关系既可以单独命题，又可以与函数、三角函数、相似等知识进行综合，要善于将各部分知识综合起来，充分利用数形结合的思想进行解题此类题目有较强的综合性，常见的题型有探索型问题、动点动态型问题、阅读理解型问题等【例61】工人师傅为了检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽
15、的两个底角均为90，尺寸如图(单位：cm)将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有如图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求图2是过球心O及A，B，E三个接触点的截面示意图已知O的直径就是铁球的直径，AB是O的弦，CD切O于点E，ACCD，BDCD请你结合图1中的数据，计算这种铁球的直径分析：如图，求铁球的直径可求其半径，求圆的半径就是求直角三角形POA的斜边OA的长，已知弓形高PE的长，弦AB的长，可以利用勾股定理列一元二次方程求解解：连接OA，OE，设OE与AB交于点P，如图2所示ACBD，ACCD，BDCD，四边形ABDC是矩形CD与O切于点E，OE为O的半径，OECDOEAB
16、PAPBPEAC.ABCD16 cm，PA8 cm.ACBD4 cm，PE4 cm.在RtOAP中，由勾股定理得OA2PA2OP2，即OA282(OA4)2，解得OA10 cm.这种铁球的直径为20 cm.【例62】如图，已知点A(6，0)，B(0,6)，经过A，B的直线l以每秒1个单位的速度向下做匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向做匀速运动设它们运动的时间为t秒(1)用含t的代数式表示点P的坐标；(2)过O作OCAB于C，过C作CDx轴于D，当t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时P与直线CD的位置关系分析：求点P的坐标，即求点P到x轴与到y轴的距离因此需过点P作x轴或y轴的垂线然后探索运动过程中，点P的运动情况(2)中探索P与直线CD的位置关系，即探索圆的半径与圆心到直线的距离之间的关系解：(1)作PHOB于H(如图1)，OB6，OA6，OAB30.PBt，BPH30，BHt，HPt.OH6tt6t.P.(2)当P在左侧与直线OC相切时(如图2)，OB6t，BOC30，BC(6t)3t.PC3tt3t.由3t1，得t(s)，此时P与直线CD相交当P在右侧与直线OC相切时(如图3)，PCt(6t)t3.由t31，得t(s)，此时P与直线CD相交综上，当t s或 s时，P与直线OC相切，P与直线CD相交
