1、【好题】高一数学下期末试题及答案一、选择题1已知为等边三角形，设，满足，若，则（ ）ABCD2如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图象大致为（ ）ABCD3如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）ABCD4已知集合 ，则A B C D5若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是( )A把C1上各点的横坐
2、标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C27已知函数为上的偶函数，当时，函数，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）AB CD8阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A1B2C3D49有5支彩笔（除颜色外无差别），颜
3、色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为ABCD10设函数的最小正周期为，且，则（ ）A在上单调递增B在上单调递减C在上单调递减D在上单调递增11已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A7B6C5D412设为等差数列的前项和，若，则ABCD二、填空题13设是数列的前项和，且，则_14在区间上随机选取两个数和，则满足的概率为_15已知数列满足，则的最小值为_.16已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则棱AB与PD所在直线垂直；平面PBC与平面ABCD垂直；PCD
4、的面积大于PAB的面积；直线AE与直线BF是异面直线以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)17如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_18已知函数，若，则a的值是_.19若，则的最小值是_20如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点下列命题正确的为_. 存在点，使得/平面；对于任意的点，平面平面；存在点，使得平面；对于任意的点，四棱锥的体积均不变三、解答题21某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示组号分组频数频率第1组5第2组第3组30第4组20第5组10（1）请先求出频率分布表中位置的相应数据，再完成频率分布直方图；
5、（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试，求：第组至少有一名学生被考官面试的概率22如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一城镇B.一年青人从小岛出发，先驾驶小船到海岸线上的某点处，再沿海岸线步行到城镇B.若，假设该年青人驾驶小船的平均速度为，步行速度为.（1）试将该年青人从小岛到城镇的时间表示成角的函数；（2）该年青人欲使从小岛到城镇的时间最小，请你告诉他角的值.23已知数列满足证明数
6、列为等差数列；求数列的通项公式24已知的三个顶点坐标分别为，（1）求边上的高所在直线的一般式方程；（2）求边上的中线所在直线的一般式方程.25已知数列an满足a11，其中nN*（1）设，求证：数列bn是等差数列，并求出an的通项公式（2）设，数列cncn+2的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得对于nN*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明26中，三个内角的对边分别为，若，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析：A【解析】【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量，再根据向量的数量积运算，建立关于的方程，可得选项.【详解
7、】，.故选：A.2B解析：B【解析】【分析】计算函数的表达式，对比图像得到答案.【详解】根据题意知：到直线的距离为： 对应图像为B故答案选B【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.3C解析：C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和，所以几何体的表面积为考点：三视图与表面积4D解析：D【解析】试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.5B解析：B【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所
8、以“”是“的必要不充分条件，故选B考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系6D解析：D【解析】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选D点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.7B解析：B【解析】【分析】作出函数的图像，设，从而可化条件为方程有两个根，利用数形结合可得
9、，根据韦达定理即可求出实数a的取值范围.【详解】由题意，作出函数的图像如下，由图像可得， 关于的方程有且仅有6个不同的实数根，设，有两个根，不妨设为；且， 又 故选：B【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.8B解析：B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：，结果为整数，执行，此时不满足；，结果不为整数，执行，此时不满足；，结果为整数，执行，此时满足；跳出循环，输出.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序
10、结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证9C解析：C【解析】选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，由古典概型公式，满足题意的概率值为.本题选择C选项.考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.10A解析：A【解析】【分析】将f(x)化简，求得，再进行判断即可.【详解】最小正周期为得，又为偶函数，所以,k=-1,当,
11、即,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意，故选A.【点睛】本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.11B解析：B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.12B解析：B【解析】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，
12、整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.二、填空题13【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式解析：【解析】原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .【点睛】这类型题使用的公式是 ，一般条件是 ，若是消 ，就需当 时构造 ，两式相减
13、 ，再变形求解；若是消 ，就需在原式将 变形为： ，再利用递推求解通项公式.14【解析】概率为几何概型如图满足的概率为解析：【解析】概率为几何概型，如图，满足的概率为 15【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案解析：.【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式.代入中,由数列中的性质,结合数列的单调性即可求得最小值.【详解】因为,所以,从而,累加可得,而所以,则,因为在递减,在递增当时,当时,所以时取得最小值,最小值为.故答
14、案为:【点睛】本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.16【解析】由条件可得AB平面PADABPD故正确；若平面PBC平面ABCD由PBBC得PB平面ABCD从而PAPB这是不可能的故错；SPCDCDPDSPABABPA由解析：【解析】由条件可得AB平面PAD，ABPD，故正确；若平面PBC平面ABCD，由PBBC，得PB平面ABCD，从而PAPB，这是不可能的，故错；SPCDCDPD，SPABABPA，由ABCD，PDPA知正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE与BF共面，错17【解析】在正四棱
15、锥中顶点S在底面上的投影为中心O即底面ABCD在底面正方形ABCD中边长为2所以OA=在直角三角形SOA中所以故答案为解析：【解析】在正四棱锥中，顶点S在底面上的投影为中心O，即底面ABCD，在底面正方形ABCD中，边长为2，所以OA=，在直角三角形SOA中 所以 故答案为18-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题解析：-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负，由，可得，求出，再对分类讨论，代入解析式，即可求解.【详解】当时，当，当，所以
16、或.故答案为:或.【点睛】本题考查求复合函数值，认真审题理解分段函数的解析式，考查分类讨论思想，属于中档题.19【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题解析：【解析】【分析】由已知可知，然后利用基本不等式即可求解【详解】解：，（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题20【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】当为棱上的一中点时此时也为棱上的一
17、个中点此时/满足/平面故正确；连结则平面因为平面解析：【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】当为棱上的一中点时，此时也为棱上的一个中点，此时/，满足/平面，故正确；连结，则平面，因为平面，所以平面平面，故正确；平面，不可能存在点，使得平面，故错误；四棱锥的体积等于，设正方体的棱长为1.无论、在何点，三角形的面积为为定值，三棱锥的高，保持不变，三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变.四棱锥的体积为定值，故正确.故答案为.【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积
18、的方法，综合性较强，难度较大三、解答题21（1）人，直方图见解析；（2）人、人、人；（3）.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图能求出第组的频数，第组的频率，从而完成频率分布直方图 （2）根据第组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第组分别抽取进入第二轮面试的人数 （3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率【详解】（1）由题可知，第2组的频数为人，第组的频率为，频率分布直方图如图所示，（2）因为第组共有名学生，所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第组： 人，第组：人
19、，第组：人，所以第组分别抽取人、人、人进入第二轮面试 （3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，则从这六位同学中抽取两位同学有种选法，分别为：，其中第组的位同学中至少有一位同学入选的有种，分别为：，第组至少有一名学生被考官面试的概率为【点睛】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题22（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出和的值，再求关于的函数解析式；（2）根据的解析式，结合三角函数的性质求出的最小值以及对应的值【详解】（）由题意知，所以，所以关于的函数为；（）由（）知，令，则；解得，当且仅当时，等号
20、成立；即时，所花时间最小【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平23（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.（2）由（1）可知数列为等差数列，确定数列的通项公式，即可求出数列的通项公式【详解】证明：，且有，又，即，且，是首项为1，公差为的等差数列解：由知，即，所以【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.24(1)；(2).【解析】试题分析:(1)根据垂直关系得到，过点，得到直线方程为：；（2）
21、由中点坐标公式得到又因为过点故得到中线方程.解析：（1），边上的高所在直线的一般式方程为，即（2）的中点为，边的中线的斜率为，边上的中线的一般式方程为25（1）；（2）3【解析】试题分析：(1)结合递推关系可证得bn+1-bn2，且b12，即数列bn是首项为2，公差为2的等差数列，据此可得数列的通项公式为(2)结合通项公式裂项有求和有据此结合单调性讨论可得正整数m的最小值为3试题解析：（1）证明：bn+1-bn 又由a11，得b12，所以数列bn是首项为2，公差为2的等差数列，所以bn2+(n-1)22n，由，得（2）解：，所以 依题意，要使对于nN*恒成立，只需，解得m3或m-4又m0，所以
22、m3，所以正整数m的最小值为326（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若，则有cosB（2a+c）+cosCb=0，结合正弦定理可得cosB（2sinA+sinC）+cosCsinB=0，将其整理变形可得，由B的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a2+c2+ac，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案详解：（1）， ，.（2）根据余弦定理可知，又因为，则.点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
