1、第二十讲 类比与联想类比就是根据两种事物一部分类似的性质，推测这两种事物其他类似性质的推理方法例如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等联想是由某种事物而想到其他相关事物的思维活动当我们遇到一个数学问题时，常常想起与它类似的问题、类似的解法，从而有利于新问题的解决利用类比与联想，常常可以发现新命题和扩展解题思路1类比与发现例1 已知：ABC中，C= 90，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且EDBD求DEA的面积(图2-113)
2、解 引CFBA于F，由于BC= AC，所以CF是底边AB上的中线因为H为ABC的重心，所以因为C=BDE=90，所以ADE=CBH又由A=BCH=45，可知ADECBH所以类比 如果保留例1中等腰三角形诸条件，去掉直角这一特殊性，那么是否会产生类似的命题呢？由此想到例2例2 如图2-114已知ABC中，C=4B=4A，BD是AC边上的中线，E点在AB上，且AED=C，SABC=1，求SAED解 类似例1的解法，引CFAB于F，交BD于H，显然ADE不相似于CBH但由已知条件C=4B=4A，则A=B=30，C=120由于CF平分C，所以ACF60又因为AED=ACB，A=A，所以ADEABC，所
3、以由于AFC中AFC=90，A=30，所以若设CF=x，则类比 如果保留例1中的直角等条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到例3 例3 已知ABC中C= 90，AC=2BC=2，BD是AC边上的中线，CFAB于F，交BD于H(图2-115)求SCBH解 本题直接求SCBH有些困难，联想例1、例2中的ADE，不妨引辅助线DEBD交AB于E由于AC=2BC=2，D是AC的中点，且C=BDE=90，所以CBH=ADE=45因为CFAB于F，所以BCH=A由于BC=AD=1，所以CBHADE，所以 SCBH=SADE.因此只要求出SADE即可，为此，设DE=x，则(2)例3由例1类比而来，最自
4、然的想法是求SADE，为增加难度与变换方式获得新命题，故例3反求SCBH我们知道一个三角形的三边如果是a，b，c，那么就有b-cabc，即三角形任意一边小于其余两边之和，大于其余两边之差我们对类比：是否有存在呢？如果存在，那么就发现了如下命题(例4)2联想与解题例5 a，b为两个不相等且都不为零的数，同时有a2paq=0，b2+pbq=0， 分析与解 由已知条件，联想到方程根的定义，a，b是方程x2px+q=0的两个根，由a，b不为零，有例6 如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x+z=2y分析与解 (1)展开原式有z2-2xz+x2-4(xy-y2-xz+yz)=0，合并、配
5、方得(x+z)2-4y(x+z)4y2=0，即 (x+z-2y)2=0，所以 x+z2y(2)如果看已知条件：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，很像二次方程根的判别式b2-4ac的形式，因此，可联想到方程(x-y)t2(z-x)t(y-z)0(x-y0)有二相等实根由(x-y)+(z-x)+(y-z)=0可知1是以上方程的根，再由根与系数关系知所以 x+z=2y当x=y=0，即x=y时，有x=y=z，所以x+z=2y例7 化简分析与解 这是一个根式的化简问题，分子、分母大同小异，自然联想到应用因式分解，使分子、分母具有公因式，化简就很容易了例8 图2-116是我国古代数学家赵爽证明勾股
6、定理的“弦图”，其中“弦实”是弦平方的面积，“弦图”以弦为边作正方形(如正方形ABCD)，然后在“弦图”内部作四个直角三角形(如AHB，BEC，CDF，DAG)设a，b，c为四个直角三角形的勾、股、弦，则根据“出入相补原理”就有即 c2=2ab+b2-2ab+a2,即 c2=a2+b2.这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证法后人沿用“出入相补原理”，也就是割补原理解决了许多数学问题，也创造了“勾股定理”的许多新证法事实上每位初中同学，学了勾股定理，只要用心思考，一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法下面的几例，便是同学们提出的割补图设a，b，c分别为直角三角形的勾、股、
7、弦(1)在图 2-117中，有a2+b2(S3+S5)+(S1+S2+S4)(S4+S5)+(S1+S2+S3)2S2+S1+S3=c2(2)在图 2-118中，有a2+b2(S3+S4)(S1+S2) =S1S3S4S2S5=c2(3)在图2-119中，有a2b2(S2S5)+(S1S3S4)=S1S2S3S4S5c2(4)在图2-120中，有a2b2=(S2S5)(S1S3S4)=(S2+S4)+(S1+S3+S5)S1+S2+S3+S5=c2练习二十1在直角ABC中，C=90(1)如果以此直角三角形三边为边，分别作三个正三角形(如图2-121)，那么面积S1，S2，S3之间有什么关系？(2)如果以此直角三角形三边为直径，分别作三个半圆，那么面积S1，S2，S3之间有什么关系(如图2-122)？(提示：联想同分数，分母大的反而小，变比较分数的大小为比较倒数的大小)(提示：如联想到已知公比之比值k，则可化难为易)4参照图2-120，写出勾股定理的逻辑证明5已知：ABC中，C=2A=2B，BD是B的分角线，E点在AB上，且ADE=DBC，SABC=1，求SADE
