1、八年级数学下册 第18章小专题 平行四边形的证明思路小专题(三)平行四边形的证明思路类型1若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1如图，在ABCD中，点E在AB的延长线上，且ECBD.求证：四边形BECD是平行四边形2如图，在ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BEDF.求证：四边形AECF是平行四边形3如图，在ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边ADE和等边BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形4(钦州中考)如图，DE是ABC的中位线，延长DE到F
2、，使EFDE，连接BF.(1)求证：BFDC；(2)求证：四边形ABFD是平行四边形类型2若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边 形”来证明.5如图，在四边形ABCD中，ADBC，AC.求证：四边形ABCD是平行四边形类型3若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明6已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.求证：四边形ABFC为平行四边形7如图，ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形8如图，
3、ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形人教版八年级数学下单元测试题：第十八章 平行四边形一、填空题(每题3分，共24分)1如图，ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD6，ACBD16，则BOC的周长为_2如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OBOD，请你添加一个适当的条件_，使四边形ABCD成为菱形(只需添加一个即可)3若以A(0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第_象限4如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为(8，4)，则C点的坐标为_5如图，BD为
4、正方形ABCD的对角线，BE平分DBC，交DC于点E，延长BC到F，使CFCE，连接DF.若CE1 cm，则BF_6矩形ABCD中，AB3，AD4，P是AD上一动点，PEAC于E，PFBD于F，则PEPF的值为_7以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则BEC的度数是_8如图，在边长为1的菱形ABCD中，DAB60.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使FAC60.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使HAE60按此规律所作的第n个菱形的边长是_二、选择题(每题3分，共30分)9如图，在ABCD中，已知AC4 cm，若ACD的周长为13 cm，则ABCD的周长为(
5、)A26 cm B24 cm C20 cm D18 cm10如图，ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点若OE3 cm，则AB的长为()A12 cm B9 cm C6 cm D3 cm11下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()AABDC，ADBC BABDC，ADBCCABDC，ADBC DABDC，ABDC12如图，在平行四边形ABCD中，已知ODA90，AC10 cm，BD6 cm，则AD的长为()A4 cm B5 cm C6 cm D8 cm13如图，在菱形ABCD中，B60，AB4，则以AC为一边的正方形ACEF的周长为()A14 B15 C16 D
6、1714下列说法中，正确的个数有()对顶角相等；两直线平行，同旁内角相等；对角线互相垂直的四边形为菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形A1个 B2个 C3个 D4个15如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BAD120，AC4，则该菱形的面积是()A16 B16 C8 D816用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是()17如图，在矩形ABCD中，AD3AB，点G，H分别在AD，BC上，连接BG，DH，且BGDH，当()时，四边形BHDG为菱形A. B. C. D.18如图，在ABCD中，CD2AD，BEAD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下
7、列结论：ABC2ABF；EFBF；S四边形DEBC2SEFB；CFE3DEF，其中正确的结论有()A1个 B2个 C3个 D4个三、解答题(19题8分，2022题每题10分，其余每题14分，共66分)19如图，在ABCD中，点E，F分别在边CB，AD的延长线上，且BEDF，EF分别与AB，CD交于点G，H.求证AGCH.20如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BHAE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.(1)求证AEBF；(2)若正方形的边长是5，BE2，求AF的长21如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，连接AC、DF.
8、(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由22在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证AFDC；(2)若ABAC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论23如图，ABC中，ACB90，D为AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE，AC相交于F.连接DC，AE.(1)试确定四边形ADCE的形状，并说明理由(2)若AB16，AC12，求四边形ADCE的面积(3)当ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明24我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边
9、形各边中点所得的四边形叫做中点四边形(1)如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PAPB，PCPD，APBCPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，判断中点四边形EFGH的形状，并说明理由；(3)若改变(2)中的条件，使人教版八年级下册 第十八章 平行四边形 复习练习一、选择题1、下列判断错误的是( )A两组对边分别相等的四边形是平行四边形B四个内角都相等的四边形是矩形C四条边都相等的四边形是菱形D两条对角线垂直且平分的四边形是正方形2、如图，“回”
10、字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了（ ）米A.55 B.56 C.55.5 D.56.53、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BCEC，CFBE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：BE平分CBF；CF平分DCB；BCFB；PFPC，其中正确结论的个数为( ) A1 B2 C3 D44、如图，在ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分BAD交BC边于点E，则EC等于（）A1cm B2cm C3cm D4cm5、如图，在ABCD中，BF平分ABC，交AD于点F，CE平分BCD，交AD于点E，
11、AB6，EF2，则BC长为( )A8 B10 C12 D146、 如图，ABCD中，AB=10，BC=6，E、F分别是AD、DC的中点，若EF=7，则四边形EACF的周长是（ ） A20 B22 C29 D31 7、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：ADGFDG；GB=2AG；GDE=45；DG=DE在以上4个结论中，正确的共有（）个A1个 B2 个 C3 个 D4个8、如图，ABC中，DEBC，EFAB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）AAB=AC BAD=BD CBEAC D
12、BE平分ABC9、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DHAB于点H，连接OH，DHO20，则CAD的度数是( )A20 B25 C30 D4010、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：BE=DF，DAF=15，AC垂直平分EF，BE+DF=EF，SCEF=2SABE其中正确结论有（）个A4 B3 C2 D1二、 填空题11、如图，在ABCD中，过对角线BD上一点P作EFBC，GHAB，且CG2BG，SBPG1，则SAEPH_12、如图，ABC中，ABAC，ADBC于D点，DEAB于点E，BFAC于点F，DE
13、3 cm，则BF_cm.13、如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，AOB的周长为10，AB=4，那么对角线AC+BD= 14、如图，在边长为4的菱形ABCD中，ABC=120，E，F分别为AD，CD上的动点，且AE+CF=4，则线段EF长的最小值是 15、如图，在矩形ABCD中，BC20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快_s后，四边形ABPQ成为矩形16、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则PBQ
14、= 度 三、简答题17、如图，延长ABCD的边AD到点F，使DFDC，延长CB到点E，使BEBA，分别连接点A，E和C，F.求证：AECF.18、如图，平行四边形ABCD中，BDAD，A45，E，F分别是AB，CD上的点，且BEDF，连接EF交BD于点O.(1)求证：BODO；(2)若EFAB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG1时，求AE的长19、如图，在ABCD中，ABDB，ABD的平分线BE交AD于点E，CDB的平分线DF交BC于点F.求证：四边形DFBE是矩形20、已知在ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC 交线段AE于F.（1）如图1，若AE=AD，ADC=60, 请直接写出线
15、段CD与AF+BE之间所满足的等量关系;（2）如图2, 若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立, 若成立,对你的结论加以证明, 若不成立, 请说明理由； 图1 图2 21、如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B 重合），连接AD，作BEAD，垂足为E，连接CE，过点E作EFCE，交BD于F（1）求证：BF=FD；（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时A的度数 22、如图，将矩形纸片ABCD(ADAB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交设折叠后点C，D的对应点分别为点
16、G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB3，BC9，求线段CE的取值范围23、如图，在矩形ABCD中，AB2，BC5，E，P分别在AD，BC上，且DEBP1.(1)判断BEC的形状，并说明理由；(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断24、如图1，直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点N作NPAD于点P，连接AC交NP于点Q，连接
17、MQ设运动时间为t秒（1）AM=，AP=（用含t的代数式表示）（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值（3）如图2，将AQM沿AD翻折，得AKM，是否存在某时刻t，使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由使四边形AQMK为正方形，则AC= 参考答案一、选择题1、D 2、B 3、D 4、B【解答】解：ADBC，DAE=BEAAE平分BADBAE=DAEBAE=BEABE=AB=3BC=AD=5EC=BCBE=53=25、B 6、.C 7、C8、D【解答】解：当BE平分ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：DEBC，DEB=EBC，EBC=EBD，EBD=DEB，B
18、D=DE，DEBC，EFAB，四边形DBFE是平行四边形，BD=DE，四边形DBFE是菱形其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，故选：D9、A 10、A 二、填空题11、4_ 12、613、12【解答】解：因为AOB的周长为10，AB=4，所以OA+OB=6；又因为平行四边形的对角线互相平分，所以AC+BD=1214、2 ; 15、4_16、30 三、简答题17、证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，AFEC.DFDC，BEBA，BEDF，AFEC，四边形AECF是平行四边形，AECF.18、解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，DCAB，OBEODF.又BOEDOF，
19、BEDF，OBEODF，BODO.(2)EFAB，ABDC，GEAGFD90.A45，GA45，AEEG.BDAD，ADBGDO90，GODG45，DGDO，OFFG1.由(1)可知OEOF1，GEOEOFFG3，AE3.19、证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，CDAB.CDBABD.BE平分ABD，DF平分CDB，FDBCDB，EBDABD.FDBEBD.DFEB.又ADBC，四边形DFBE是平行四边形ABDB，BE平分ABD，BEAD.DEB90.四边形DFBE是矩形20、（1）CD=AF+BE. （2）解：（1）中的结论仍然成立. 证明：延长EA到G，使得AG=BE，连结DG.
20、 四边形ABCD是平行四边形, AB=CD, ABCD，AD=BC. AEBC于点E, AEB=AEC=90.AEB=DAG=90. DAG=90. AE=AD, ABEDAG. 1=2, DG=AB. GFD=90-3. DF平分ADC,3=4.GDF=2+3=1+4=180-FAD-3=90-3. GDF=GFD. DG=GF. CD=GF=AF+AG= AF + BE. 即 CD = AF +BE. 21、解：（1）在RtAEB中，AC=BC，CB=CE， CEB=CBE CEF=CBF=90，BEF=EBF，EF=BF BEF+FED=90，EBD+EDB=90，FED=EDF， EF
21、=FDBF=FD （2）能 理由如下：若四边形ACFE为平行四边形，则ACEF，AC=EF，又AC=BC,BF=EFBC=BF， 3分BCA=45四边形ACFE为平行四边形 CF/AD A=45 当A=45时四边形ACFE为平行四边形 22、解：(1)四边形CEGF为菱形证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，GFEFEC.图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，GEFFEC，GFEFEG，GFGE.图形翻折后EC与GE，FC与FG完全重合，GEEC，GFFC，GFGEECFC，四边形CEGF为菱形(2)当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得CDDG，CDEGDE45，推出四边形CEGD是正
22、方形，根据正方形的性质即可得到CECDAB3；当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AECE.B90，AE2AB2BE2，即CE232(9CE)2，CE5.线段CE的取值范围是3CE5.23、解：(1)BEC是直角三角形理由：四边形ABCD为矩形，ADCBAD90，ADBC5，ABCD2.CE2BE252025.BC25225，BE2CE2BC2.BEC90.BEC是直角三角形(2)四边形EFPH为矩形证明：四边形ABCD为矩形，ADBC，ADBC.又DEBP，四边形DEBP是平行四边形BEDP.ADBC，DEBP，AECP.四边形AECP是平行四边形APCE.又BEDP，四边形EFPH是平行四边形又BEC90，四边形EFPH是矩形24、 解：（1）8-2t；2+t （2分）（2）四边形ANCP为平行四边形时，CN=AP， 6t=8（6t），解得t=2，（5分）（3）存在时刻t=1，使四边形AQMK为菱形理由如下：NPAD，QP=PK，当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，6t2t=8（6t），解得t=1，（9分）（4）（或8）（12分
