1、24.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.2 垂直于弦的直径2023-5-1511.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一 些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标2023-5-152你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 2023-5-153问题1：如图,AB是 O的一条弦,直径CDAB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD 理由如下：连接AO,BO.把圆沿着直
2、径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合OABCDE一、垂径定理及其推论2023-5-154u垂径定理OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.CD是直径，CDAB，AE=BE,AC=BC,AD=BD.归纳总结u推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.2023-5-155想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE2023-5-156垂径定理的几个基本图形：ABOC
3、DEABOEDABO DCABOC2023-5-157 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？2023-5-158 DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证：CD CD是直径是直径 CDAB CDAB，垂足为，垂足为E E AE=BE AE=BE AC=BC AC=BC AD=BD AD=BD 2023-5-159如图，AB是 O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CDAB吗？为什么？（2）OABCDEAC与
4、BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，AOEBOE（SSS），AEO=BEO=90，CDAB.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.u垂径定理的推论归纳总结CDAB,CD是直径 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得u推导格式：2023-5-1511思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.2023-5-1512典例精析例1 如图，OEAB于E，若 O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.OABE解析：连接O
5、A，OEAB，AB=2AE=16cm.1622221068AEOAOEcm.2023-5-1513例2 如图，O的弦AB8cm，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.OABECD解：连接OA，CEAB于D，118 4(cm)22ADAB 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得 x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，2023-5-1514例3：已知：O中弦ABCD,求证：ACBD.MCDABON证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）AMCMBMDMACBD2023-5-1515 总结：解决有关弦的
6、问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结2023-5-1516二、垂径定理的实际应用 我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？2023-5-1517ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.AB=37m，CD=7.23m
7、.解得R27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2 AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.222OAADOD2023-5-1518练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_.64C DCBOADOAB图a图b2cm或12cm 2023-5-1519 在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABC DO
8、hrd2a2222ard d+h=r OABC2023-5-15201.已知 O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .5cm2.O的直径AB=20cm,BAC=30则弦AC=_ .10 3 cm3.（分类讨论题）已知 O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 _ .14cm或2cm当堂练习当堂练习2023-5-15214.如图，在 O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明：证明：OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形
9、四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEAC ADAB，AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.2023-5-1522 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。AECEBEDE 即 ACBD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法2023-5-1523 6 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD
10、，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.OCDEF,CDOE 11600300(m).22CFCD222,OCCFOF22230090.RR设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.这段弯路的半径约为545m.2023-5-1524拓展提升：7.如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .3cmOP5cmBAOP2023-5-1525垂径定理内 容推 论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦（不是直径）;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两 条 辅 助 线：连半径，作弦心距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变 式 图 形课堂小结课堂小结2023-5-1526
