1、1.3.2函数的极值与导函数的极值与导数数高二数学高二数学 选修选修2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用还记得高台跳水的例子吗？还记得高台跳水的例子吗？atho最高点最高点探究一：探究一：h(t)=-4.9t2+6.5t+10定义定义 一般地一般地,设函数设函数 f(x)在点在点x0附近有定义附近有定义,如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有0()()fxfx我们就说我们就说 f(x0)是是 f(x)的一个的一个极大值极大值,点点x0叫做函数叫做函数 y=f(x)的的极大值点极大值点.反之反之,若若 ,则称则称 f(x0)是是 f(x)的一个的一个极小值极小值,点点x
2、0叫做函数叫做函数 y=f(x)的的极小值点极小值点.0()()fxfx 极小值点、极大值点统称为极小值点、极大值点统称为极值点极值点,极大值和极小值统称为极大值和极小值统称为极值极值.xyoaby=f(x)理解极值概念时需注意的几点：理解极值概念时需注意的几点：(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点(3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值总结总结 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极
3、大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1)(5)若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点yfx6x5x4x3x2x1xabxy （1 1）如图是函数）如图是函数 的图象的图象,试找出函数试找出函数的极值点的极值点,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？哪些是极小值点？oyfxyfx答：答：1、x1,x3,x5,x6是函数是函数y=f(x)的极值点，其中的极值点，其中x1,x5是函数是函数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x3,x6函数函数y=f
4、(x)的极小值点。的极小值点。如图，如图，y=f(x)在在a、b点的函数值点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？导数值呢？导数符号呢？探究探究xyoaby-=f(x)xyoaby-=f(x)()fx()fx()fx000极小值点极小值点极大点极大点f(a)=0f(b)=0探究二：极值与导数之间的关系探究二：极值与导数之间的关系abxyO1)1)如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧 f/(x0)0,右侧右侧f/(x0)0,那么那么f(x0)是极大值是极大值.2 2）如果在）如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧 f/(x0)0,那
5、么那么f(x0)是极小值是极小值.极值与导数之间的关系：极值与导数之间的关系：当 f/(x0)=0时：时：xyoaby=f(x)xbf(x)+0-f(x)单调单调递增递增极大值极大值单调单调递减递减f(a)f(b)小结小结xaf(x)-0+f(x)单调单调递减递减极小值极小值单调单调递增递增极值与导数之间的关系：极值与导数之间的关系：yfx6x5x4x3x2x1xabxy （1 1）如图是函数）如图是函数 的图象的图象,试找出函数试找出函数的极值点的极值点,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？哪些是极小值点？o（2）如果把函数图象改为导函数）如果把函数图象改为导函数 的图
6、象的图象?yfxyfxyfx答：答：yfxx2,x4是函数是函数y=f(x)的极值点的极值点,其中其中x2是函数是函数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x4是函数是函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。探索探索:x=0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf(x)x3 3若寻找可导函数极值点若寻找可导函数极值点,可否只由可否只由f(x)=0 0求得求得即可即可?f(x)=3=3x2 2 当当f(x)=0=0时，时，x=0=0，而，而x=0=0不是不是该函数的极值点该函数的极值点.f(x0)=0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异
7、号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f(x0)=0=0注：注：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件探究三：探究三：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取在这个根处取极值
8、的情况极值的情况 若若f(x)左正右负，则左正右负，则f(x)为极大值；为极大值；若若 f(x)左负右正，则左负右正，则f(x)为极小值为极小值+-x0-+x0定义域定义域 方程的根方程的根列表列表求极值求极值求函数的极值求函数的极值 已知函数的极值求参数已知函数的极值求参数 变式训练：变式训练：1.已知函数已知函数 在区间（在区间（-1,1）上恰有一个极值）上恰有一个极值点，则实数点，则实数a的取值范围的取值范围（）2.已知函数已知函数 有两个极值点，则实数有两个极值点，则实数a的取值范围的取值范围是（是（）)(ln)(axxxxf12)(23axxfxx函数极值的综合应用函数极值的综合应用
