1、第二章 实数1 认识无理数学习目标学习目标1.理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是 无理数无理数.2.能在数轴上表示某些简单的无理数能在数轴上表示某些简单的无理数.把两个边长为把两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形的小正方形拼成一个大正方形新课导入新课导入a设大正方形的边长为设大正方形的边长为 ，则，则 满足满足什么条件？什么条件？aaS2,大正方形【因为解析】2=2.a所所以以上式中的上式中的a可能是整数吗？可能是整数吗？a可能是分数吗？可能是分数吗？因为因为 a不是整数，不是整数，a也不是分数，也不是分数，所以所以 a不是有理数不是有理数.
2、议一议议一议 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？你有什么发现？95 9011 119 847 53 3,探索发现探索发现知识讲解知识讲解 5095 2109011 8101198755847 6053 033.,.,.,.,.,.事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数无限循环小数.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数数.无限不循环小数称为无理数无限不循环小数称为无理数.,2120.101 001 000 1（两个（两
3、个1之间依次多之间依次多1个个0）-168.323 223 222 3（两个（两个3之间依次多之间依次多1个个2）无理数的定义：无理数的定义：11aa22面积为面积为2 由上可得边长由上可得边长a的一个大致的范围，但的一个大致的范围，但a的整数部的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？估一估估一估请同学们借助计算器进行探索请同学们借助计算器进行探索边长边长a面积面积S1a21.4a1.51.41a1.421.414a1.4151.414 2a1.414 3算一算算一算1S41.96S2.251.988 1S2.016 41.999 396S2.0
4、02 2251.999 961 64S 0，即，即a .（3）由由(a-3)20，可知，可知a可以取任意实数可以取任意实数.21【例题例题】2(3)4x 1.x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?(1)1x1x0 x为全体实数x0 x3)5(x0 x21)6(x0 x1(4)x(2)3 x【跟踪训练跟踪训练】2.已知已知a，b为实数，且满足为实数，且满足 你能求出你能求出a及及 a+b 的值吗？的值吗？211 21,abb【解析解析】依题意知：依题意知：2b-10，1-2b 0,所以所以b=,把把b=代入代入原式，得原式，得a=1,所以所以a+b=1+=2121213.21
5、.（芜湖（芜湖中考）要使式子中考）要使式子 有有意义，意义，a的取值范围是（的取值范围是（）A.a 0 B.a-2且且a 0 C.a-2或或a 0 D.a-2且且a 0【解析解析】选选D.要使式子要使式子 有有意义，须同时满足意义，须同时满足a+20，a0两个条件，解两个不等式可得两个条件，解两个不等式可得a-2且且a0.aa22aa随堂练习随堂练习2下列式子一定是二次根式的是（下列式子一定是二次根式的是（）A B C D【解析解析】选选C.A项中只有当项中只有当x-2时，才是二次根式，时，才是二次根式，故故A项不一定是二次根式；项不一定是二次根式；B项中当项中当x0时是二次根式，时是二次根式
6、，故故B项不一定是二次根式；项不一定是二次根式；C项中无论项中无论x为何值，为何值，x2+20，所以，所以C项一定是二次根式；项一定是二次根式；D项中当项中当x=0时，不是二时，不是二次根式，所以次根式，所以D项也不正确项也不正确.2x x22x 22x 3.（盐城（盐城中考）使中考）使 有有意义的意义的x的取值范围是的取值范围是_.【解析解析】要使式子要使式子 有有意义，需满足意义，需满足x-20，解得解得x2.答案：答案：x22x2x4如图所示，在平面直角坐标系中，如图所示，在平面直角坐标系中，A（-2，3），），B（-4，0），），C（-2，0）是三角形的三个顶点，求三角形各是三角形的三
7、个顶点，求三角形各边边的长的长【解析解析】AC=3-0=3，BC=-2-（-4）=2因为因为ABC为为直角三角形，由勾股定理，得直角三角形，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2所以所以AB=故三角形三边长分别为故三角形三边长分别为3，2，22223213ACBC13通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：（1）二次根式的概念）二次根式的概念.（2）根号内字母的取值范围）根号内字母的取值范围.（3）二次根式的值）二次根式的值.课堂小结课堂小结7 二次根式二次根式第第2课时课时学习目标学习目标1.理解最简二次根式的定义理解最简二次根式的定义.2.会利用积的算术平方根的性质化
8、简二次根式会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.3.理解商的算术平方根的性质，能够应用二次根式的性质化简二次根式理解商的算术平方根的性质，能够应用二次根式的性质化简二次根式.1.什么叫二次根式？什么叫二次根式？一般地，形如一般地，形如 （a0)的式子叫做二次的式子叫做二次根式根式.a2.二次根式有意义的条件是什么？二次根式有意义的条件是什么？根号内的式子是非负数，若根号内的式子是非负数，若含有分母含有分母，则分母不为零，则分母不为零.温故知新温故知新观察下面的式子，它们都有什么共同特点？观察下面的式子，它们都有什么共同特点？被开方数中不被开方数中不含分母，也没有能开得尽方的因数含分母，也没有
9、能开得尽方的因数1345218一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式二次根式.知识讲解知识讲解abab（a0，b0）注：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母注：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示非负数都表示非负数积的算术平方根等于各个被开方数算术平方根积的算术平方根等于各个被开方数算术平方根的积的积.积的算术平方根的性质积的算术平方根的性质232.116 8124a b.例 化简：（）.（）8116(1):解81164 936.3242ba）（324ba
10、 bba22bba222ab b.【解析解析】【例例1】化简：化简：【例题例题】)9()4()9()4(成立吗？为什么？成立吗？为什么？abab(0,0)ab(4)(9)366.所以非非负负数数想一想：想一想：=计算：计算：114 7 2 3 5 10同学们自己来算吧！看谁算得既快又准确！同学们自己来算吧！看谁算得既快又准确！27215=【跟踪训练跟踪训练】baba 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根除式的算术平方根0,0ba商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质【例例2】化简：化简：21150.2.3.73你能用哪些方法去掉分母
11、中的根号？你能用哪些方法去掉分母中的根号？(1)5025 22525 2.【解析解析】【例题例题】22271(2)14.777771131(3)3.3333 在二次根式的运算中，在二次根式的运算中，最后结果一般要求：最后结果一般要求：(1)分母中不含有二次根式分母中不含有二次根式.(2)写成最简二次根式的形式写成最简二次根式的形式.【规律方法规律方法】化简：化简：132.（）22.aa b（）【解析解析】13216 21624 2.（）2222.aa abaababababab（）注意：要进行二次根式化简，关键是要搞清楚分式的注意：要进行二次根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和分母都乘以什么，
12、有时还要先对分母进行化简分子和分母都乘以什么，有时还要先对分母进行化简.【跟踪训练跟踪训练】通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：(,).abab ab001.最简二次根式的定义最简二次根式的定义.2.3.baba0,0.ab随堂练习随堂练习7 二次根式二次根式第第3课时课时学习目标学习目标1.经历二次根式乘法法则的形成过程，会进行简单经历二次根式乘法法则的形成过程，会进行简单 的二次根式的乘法运算的二次根式的乘法运算.2.掌握二次根式的除法运算法则，并能够应用除法法则进行计算掌握二次根式的除法运算法则，并能够应用除法法则进行计算.1.最简二次根式的定义最简二次根式的
13、定义2.3.baba0,0ba温故知新温故知新(,).abab ab001.=_计算下列各式，计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？观察计算结果，你发现什么规律？9_942.1625 16 25662020用你发现的规律填空，并用计算器验算：用你发现的规律填空，并用计算器验算：1.23 _62.25 _ 10abba(a0,b0)一般地，对于二次根式的乘法有：一般地，对于二次根式的乘法有：4知识讲解知识讲解算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.abab(a0,b0)注意：注意：a，b必须都是非负数！必须都是非负数！3 515.12793
14、.3【例例1】计算计算:1(1)35.(2)27.3【解析解析】2731)2(53)1(2731)2(53)1(【例题例题】1(1)67.(2)32.2【解析解析】76)1(6742.3221)2(132164.2计算下列各式的值：计算下列各式的值：【跟踪训练跟踪训练】计算下列各式，观察计算结果，能发现什么规律？计算下列各式，观察计算结果，能发现什么规律？44(1)(),()993232 16162(),()49497474949449164916用你发现的规律填空，并用计算器进行验算：用你发现的规律填空，并用计算器进行验算：3232(1)52522=二次根式除法法则二次根式除法法则:注意：注
15、意：a0，b0！两两个二次根式相除，将它们的被开方数相除的商个二次根式相除，将它们的被开方数相除的商作为商的被开方数作为商的被开方数.24211.2.3183 242418422 2.33 21212218122 3.3183183【例例2】化简化简【解析解析】【例题例题】化简：化简：5050(2)(2)1010(1).32322 2【解析解析】(1)32322 2.5050(2)(2)101032164.2505.10【跟踪训练跟踪训练】(1)利用公式利用公式：.通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：abab（a0,b0）(1)将被开方数尽可能分解成几个平方数将被开
16、方数尽可能分解成几个平方数.(2)应用应用(0,0).abab ab2.化简二次根式的步骤：化简二次根式的步骤：(3)将平方项应用将平方项应用 化化简简.aa 2)0(a1.(00)aaabbb，3.二次根式的除法有两种常用方法：二次根式的除法有两种常用方法：(2)把除法先写成分式的形式，再化简为最简二次根式把除法先写成分式的形式，再化简为最简二次根式.课堂小结课堂小结7 二次根式二次根式第第4课时课时1.会把二次根式化为被开方数相同的二次根式会把二次根式化为被开方数相同的二次根式.2.理解和掌握二次根式简单的加减法理解和掌握二次根式简单的加减法.学习目标学习目标1.二次根式计算、化简的结果符
17、合什么要求？二次根式计算、化简的结果符合什么要求？（1）被开方数不含分母；分母不含根号）被开方数不含分母；分母不含根号.（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.温故知新温故知新2.化简下列各根式化简下列各根式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1248185021324531132342325222453233下列下列3组根式各有什么特征组根式各有什么特征?(1)22322215(2)335363173(3)281853221每一组的几个二次根式化成最简二次根式以后，被开方数每一组的几个二次根式化成最简二次根式以后，被开方数相同相同223知
18、识讲解知识讲解250127133832abbab26【例例1】下列各式中哪些的被开方数相同下列各式中哪些的被开方数相同?【例题例题】babababbbbabbababbabbab26832327175501223222626324223283293331271102251501353575332，babababbbbabbababbabbab26832327175501223222626324223283293331271102251501353575332，babababbbbabbababbabbab268323271755012232226263242232832933312711022
19、51501353575332，【解析解析】因为因为babababbbbabbababbabbab26832327175501223222626324223283293331271102251501353575332，.所以所以 的被开方数相同的被开方数相同.21,503,271328,3abbab26的被开方数相同的被开方数相同.的被开方数相同的被开方数相同.175453925aa例 计算：（1）12（2）80（）353275121(25)37 3.535445802(43)55.aaaa532593(3 5)8.aa【例例2】计算计算【解析解析】175453925aa例 计算：（1）12（2
20、）80（）175453925aa例 计算：（1）12（2）80（）【例题例题】.与合并同类项类似与合并同类项类似,把被开方数相同的二次根式把被开方数相同的二次根式的系数相加减的系数相加减,做为结果的系数做为结果的系数,根号及根号内部都根号及根号内部都不变不变.二次根式加减运算的步骤：二次根式加减运算的步骤：（1）将每个二次根式化为最简二次根式）将每个二次根式化为最简二次根式.（2）找出其中被开方数相同的二次根式）找出其中被开方数相同的二次根式.（3）合并被开方数相同的二次根式）合并被开方数相同的二次根式.一化一化二找二找三合并三合并结论结论：在下列各组根式中，被开方数相同的是（在下列各组根式中
21、，被开方数相同的是（）A.B.C.D.12,2212,24,abab1,1aa【解析解析】选选B.在选项在选项B中，中，与与 的被的被开方开方数相同数相同.12222【跟踪训练跟踪训练】(1)3 232 23 3.）（）（原式3332223)1(22 3.342924)2(原式3225322322强调：先化简，再合并强调：先化简，再合并.【例例3】计算：计算：【解析解析】2 23 22 35 22 3.(2)81812.【例题例题】163 48.3(2)(1220)(35).21(3)962.34xxxx(1)2 12 11 2 1263 483312323414 3.212203553523
22、23 35.21396234xxxxxxx2323.x【解析解析】计算：计算：【跟踪训练跟踪训练】1.下列计算正确的是（下列计算正确的是（）A.B.C.D.235xxx23(23)a xb xab x520555414227112abab随堂练习随堂练习(1)188(2)75271(3)4863238362.计算计算B3.（安徽（安徽中考）计算中考）计算 .【解析解析】原式原式 答案答案：4.（昆明（昆明中考）计算：中考）计算：【解析解析】原式原式18.22632633 22(3 1)22 2.22222)212(2 232.21.二次根式加减运算的步骤二次根式加减运算的步骤.2.会进行被开方数相同的二次根式的运算会进行被开方数相同的二次根式的运算.通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：课堂小结课堂小结
