1、数学 八年级上册 BS版第四章一次函数第四章一次函数专题专题5 5一次函数中的综合问题一次函数中的综合问题数学 八年级上册 BS版专题解读专题解读典例讲练典例讲练目录目录CONTENTS数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 问题综述一次函数的综合问题，常常涉及三角形全等、三角形存在性问题、相交型图象信息问题等.在遇到这些问题时，关键是要认真审题，理清题意，熟练运用一次函数的知识正确解答.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录要点归纳1.一次函数与三角形全等中“三垂直”模型相结合.右图为“三垂直”全等模型，其中 ABC 为等腰直角三角形，AE EC，BF CF，E，C，F 三点共线，则有
2、ACE CBF.在与一次函数的综合题中需要作垂线构造全等三角形.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录2.一次函数中的三角形存在性问题的解题步骤.（1）找点：利用尺规作图确定点的位置；（2）求点：利用等量关系或联立函数表达式，直角三角形需要根据直角顶点分类讨论，再由等腰直角三角形的特殊性，利用勾股定理或构造全等三角形求解；（3）定点：依据题意确定符合要求的点的坐标.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录3.相交型图象信息问题.若两个一次函数 y1与 y2的图象的交点坐标为（x0，y0），则当 x x0时，函数值 y1 y2 y0；当函数值 y y0时，自变量的值 x1 x2 x0.数学 八
3、年级上册 BS版0 2典例讲练典例讲练数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 类型一一次函数中的三角形全等问题 如图，已知一次函数 y 2 x 2的图象与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，过点 B 作线段 BC AB 且 BC AB，直线 AC 交 x 轴于点 D.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（2）若点 Q 是图中坐标平面内不同于点 B，C 的一点，当以点 B，D，Q 为顶点的三角形与 BCD 全等时，直接写出点 Q 的坐标.（1）求点 A，B，C 的坐标和直线 AC 的函数表达式；【思路导航】（1）过点 C 作 CM x 轴于点 M，得到 AOB BMC，推出点 C 的
4、坐标，再利用待定系数法求得直线 AC 的函数表达式；（2）以点 B，D，Q 为顶点的三角形与 BCD 全等时，分情况讨论求出点 Q 的坐标.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（1）解：把 x 0代入 y 2 x 2中，得 y 2.所以点 A 的坐标为（0，2）.把 y 0代入 y 2 x 2，得2 x 20，解得 x 1.所以点 B 的坐标为（1，0）.如图1，过点 C 作 CM x 轴于点 M，图1图1所以 AOB BMC 90.因为 AB BC，所以 ABC 90.所以 ABO MBC 90.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录所以 OAB MBC.所以 AOB BMC（AAS）
5、.所以 BM OA 2，CM OB 1.所以 OM 3.所以点 C 的坐标为（3，1）.设直线 AC 的函数表达式为 y kx b（k 0）.因为 ABO OAB 90，数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（2）点 Q 的坐标为（3，1），（4，1）或（4，1）.【解析】如图2，以点 B，D，Q 为顶点的三角形与 BCD 全等时，点 Q 有三种情形.由图形的全等，知点 Q1与点 C 关于 x 轴对称.故点 Q1（3，1）；由直线 AC，知 D（60），点 C 与点 Q3关于 BD 的中垂线对称，故点 Q3（4，1）；点 Q2和点 Q3关于 x 轴对称，故点 Q2（4，1）.故点 Q 的坐标
6、为（3，1），（4，1）或（4，1）.图2数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录【点拨】在解答一次函数与三角形的综合性问题时，常会用到三角形全等中的常见模型，例如本题中用到的“三垂直”模型，也常常会利用轴对称的知识去解题.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y kx b 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B（0，6），与直线 y 2 x 交于点 C（a，4）.（1）求点 C 的坐标及直线 AB 的函数表达式.（2）若点 E 的坐标是（4，0），过点 E 作直线 l x 轴，交直线 y 2 x 于点 F，交直线 y kx b 于点 G.求 CGF
7、 的面积.直线 l 上是否存在点 P，使 OP BP 的值最小？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（3）若点 E 是 x 轴上的一个动点，点 E 的横坐标为 m（m 0），当点 E 在 x 轴上运动时，当 m 取何值时，直线 l 上存在点 Q，使得以点 A，C，Q 为顶点的三角形与 AOC 全等？请直接写出相应的 m 的值.备用图数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录解：（1）将点 C（a，4）代入 y 2 x，可得 a 2，所以点 C 的坐标为（2，4）.将点 B（0，6），点 C（2，4）代入 y kx b，可得 b 6，2 k
8、b 4，所以 k 1.所以直线 AB 的函数表达式为 y x 6.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（2）因为直线 l x 轴，点 E，F，G 都在直线 l 上，且点 E 的坐标为（4，0），所以点 F，G 的横坐标均为4.设点 F（4，y1），G（4，y2），分别代入 y 2 x 和 y x 6，可得 y18，y22，所以 F（4，8），G（4，2）.所以 FE 8，GE 2.所以 FG 6.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录图1如图1，过点 C 作 CH FG 于点 H.因为 C（2，4），E（4，0），所以 CH 422.图1数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录存在点 P
9、（4，3），使得 BP OP 的值最小.理由如下：如图2，设点 O 关于直线 l 的对称点为 D（8，0），连接 BD.设直线 BD 的函数表达式为 y mx n（m 0）.图2图2将点 B（0，6），D（8，0）代入 y mx n，可得 n 6，8 m n 0.因为点 P 在直线 l：x 4上，令 x 4，则 y 3，所以点 P 的坐标为（4，3）.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（3）m 的值为2，6或8.理由如下：因为直线 AB 的函数表达式为 y x 6，所以 A（6，0）.分三种情况讨论：如图3，当 OAC QCA，点 Q 在第四象限时，则 ECA EAC.所以 AE CE
10、4，OE 642.所以 m 2；图3数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录如图4，当 ACO ACQ，点 Q 在第一象限时，因为 A（6，0），B（0，6），所以 OA OB.所以 OAC OBC 45.图4因为 ACO ACQ，所以 OAC QAC 45.所以 OAQ 90.所以点 E 与点 A 重合.所以 OE AO 6.所以 m 6；数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录如图5，当 ACO CAQ，点 Q 在第一象限时，图5 ACO CAQ，CAO ACQ.所以 CQ AO 6.易得 AE 2，所以 OE 8.图5所以 m 8.综上所述，m 的值为2或6或8.数学 八年级上册 BS版
11、返回目录返回目录类型二一次函数与三角形的存在性问题 如图，已知四边形 ABCO 是长方形，O 为坐标原点，点 B 的坐标为（8，6），点 A，C 都在坐标轴上，P 是线段 BC 上的一动点，PC m.直线 y 2 x 6向右平移6个单位长度后，在该直线上是否存在点 G，使 APG 是等腰直角三角形？若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录解：存在点 G，使 APG 是等腰直角三角形.理由如下：直线 y 2 x 6向右平移6个单位长度后的函数表达式为 y 2（x 6）62 x 6.如图1，当 AGP（B）90，AG PG 时，易得点 G 的坐标
12、为（4，2），且在直线 y 2 x 6上；图1【思路导航】利用平移的规律求出 y 2 x 6向右平移后的函数表达式，再分三种情况讨论，求出每种情况下点 G 的坐标即可.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录图2数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录图3数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录图3【点拨】等腰直角三角形的存在性问题要抓住腰相等，然后构造全等三角形解决问题.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录解：（1）经过.因为 y kx 2 k，所以 y k（x 2）.所以当 x 2时，y 0.所以直线 l2经过定点（2，0）.（1）直线 l2是
13、否经过 x 轴上一定点？若经过，求该定点的坐标；若不经过，请说明理由.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（2）过点 M（0，6）作平行于 x 轴的直线 l3，点 Q 为直线 l3上的一个动点，当 QAB 是不以点 A 为顶角顶点的等腰三角形时，求点 Q 的坐标.所以点 B 的坐标为（0，3），点 A 的坐标为（6，0）.如图，设点 Q 的坐标为（n，6）.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录类型三相交型图象信息问题 甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，甲、乙两队挖掘隧道长度 y（m）与挖掘时间 x（天）之间关系的部分图象如图所示.请解答
14、下列问题：数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（1）在前2天的挖掘中，甲队的挖掘速度为 m/天，乙队的挖掘速度为 m/天.（2）当2 x 6时，求 y乙与 x 之间的函数表达式；开挖几天后，两工程队挖掘的隧道长度相差5 m？【思路导航】（1）利用“速度路程时间”分别列式计算即可；（2）利用待定系数法即可求得；求出甲队的函数表达式，再根据 y甲 y乙5或 y乙 y甲5，列出方程求解即可.1015数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（1）【解析】甲队挖掘速度：60610（m/天），乙队前2天挖掘速度：30215（m/天）.故答案为10，15.（2）解：当2 x 6时，设 y乙 kx b（k
15、 0）.根据图象，得2 k b 30，6 k b 50，解得 k 5，b 20.所以当2 x 6时，y乙5 x 20.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录由题可得，当0 x 2时，y乙15 x；当2 x 6时，y乙5 x 20.当0 x 6时，y甲10 x.由10 x 5 x 20，解得 x 4.当0 x 2时，15 x 10 x 5，解得 x 1；当2 x 4时，（5 x 20）10 x 5，解得 x 3；当4 x 6时，10 x（5 x 20）5，解得 x 5.故挖掘1天或3天或5天后，两工程队挖掘的隧道长度相差5 m.【点拨】特别注意分段函数的图象和自变量的取值范围，不同的取值范围内
16、，对应不同的图象.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 1.如图，l1表示某机床公司一天的销售收入与销售量的关系，l2表示该公司一天的销售成本与销售量的关系.有以下四个结论：数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录 l1对应的函数表达式是 y x；l2对应的函数表达式是 y x 1；当销售量为2件时，销售收入等于销售成本；利润与销售量之间的函数表达式是 W 0.5 x 1.其中正确的结论是 （填序号）.数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录2.一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为 y1（km），出租车
17、离甲地的距离为 y2（km），客车行驶时间为 x（h），y1，y2与 x 的函数关系图象如图所示.解：（1）y160 x（0 x 10），y2100 x 600（0 x 6）.（1）根据图象，直接写出 y1，y2关于 x 的函数关系式；数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（2）令 y1 y2，即60 x 100 x 600，（2）若设两车间的距离为 S（km），请写出 S 关于 x 的函数关系式；数学 八年级上册 BS版返回目录返回目录（3）甲、乙两地间有A，B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油，求A加油站到甲地的距离.解得 x 5.所以 y160 x 300；当6 x 10时，60 x 360，不合题意.即A加油站到甲地距离为150km或300km.（3）由题意，得 S 200，数学 八年级上册 BS版演示完毕 谢谢观看
