1、75正态分布正态分布课标要求素养要求1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.2.了解正态分布的均值、方差及其含义.通过了解正态分布的特征，提升数学抽象及数据分析素养.新知探究高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”问题正态分布有哪些应用？提示正态分布在概率和统计中占有重要的地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布1 正态曲线正态曲线沿着
2、横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线函数f(x)_，xR，其中R，0为参数显然对于任意xR，f(x)0，它的图象在x轴的上方可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1我们称f(x)为_，称它的图象为正态分布密度曲线，简称_若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X N(，2)，特别地，当0，_时，称随机变量X服从标准正态分布正态密度函数正态曲线12由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点(1)曲线是单峰的，它关于直线_对称；(2)曲线在x处达到峰值_；(3)当 无限增大时，曲线无限接近x轴3正态分布的期望与方差若
3、XN(，2)，则E(X)_，D(X)_x24正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(X)_；(2)P(2X2)_；(3)P(3X3)_在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取3，3中的值，这在统计学中称为3 原则.0.682 70.954 50.997 3提示函数中的意义为标准差2正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的 ()提示正态曲线与x轴围成的面积为定值1.3正态曲线可以关于y轴对称 ()答案C2设随机变量XN(，2),且P(Xc)P(Xc),则c等于()A0 B C D解析由P(Xc)P(Xc)，知xc为对称轴，又由XN(，2)知对称轴为x
4、，故c.答案D10.题型一正态曲线的图象的应用【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差解由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即0，题型二利用正态分布的对称性求概率【例2】设XN(1，22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)解XN(1，22)，1，2，(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 7.(2)P(3X5)P(3X1)，【迁移1】(变换所求)例2条件不变，求P(X5)【迁移2】(变换条件)已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，且P(X4)0.8，则P(0X2)()
5、A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解析随机变量X服从正态分布N(2，2)，2，对称轴是x2.P(X4)0.8，P(X4)P(X0)0.2，P(0X4)0.6.P(0X2)0.3.故选C.答案C规律方法利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x对称的，且概率的和为1，故关于直线x对称的区间概率相等如：P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)P(Xa)(2)“3”法：利用X落在区间，2，2，3，3内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解【训练2】设XN(1，1)，试求：(1)P(0X2)；(2)P(2X3)；(3)P(X3)解XN(1，1)，1，1.(
6、1)P(0X2)P(11X11)P(X)0.682 7.(2)P(2X3)P(10.3正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.二、素养训练1正态分布N(0，1)在区间(2，1)和(1，2)上取值的概率分别为P1，P2，则二者的大小关系为()AP1P2 BP1P2CP1P2 D不确定解析根据正态曲线的特点，图象关于x0对称，可得在区间(2，1)和(1，2)上取值的概率P1，P2相等答案A2已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间3，6内
7、的概率为()(附：若随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(X)68.27%，P(2X2)95.45%)A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%答案B3设随机变量服从正态分布N(2，9)，若P(Xc1)P(Xc1)P(X0)若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为_解析如图，易得P(0X1)P(1X2)，故P(0X2)2P(0X1)20.40.8.答案0.85在某省组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上的学生有135人(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前2 275名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解(1)设学生的成绩为X分，共有n人参加竞赛，因为XN(60，100)，所以60，10，(2)设受奖学生的分数线为x0，因为0.022 7560.所以P(120 x0Xx0)12P(Xx0)95.45%，所以x0602080.故受奖学生的分数线是80分.
