1、【易错题解析】北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系一、单选题（共10题；共30分）1.计算：cos245+sin245=（ ） A.12B.1C.14D.22【答案】B 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：cos45=sin45= 22 ， cos245+sin245= (22)2+(22)2 = 12+12 =1故选：B【分析】首先根据cos45=sin45= 22 ，分别求出cos245、sin245的值是多少；然后把它们求和，求出cos245+sin245的值是多少即可2.三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A.34B.43C.35D.45【答案
2、】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】根据三角函数的定义就可以解决【解答】在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边，tana=34故选A【点评】本题考查了锐角三角函数的定义3.在ABC中，C90，BC5，AB13，则sinA的值是（ ） A.513B.1213C.512D.125【答案】A 【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边，即可得到结果。【解答】sinA=BCAB=513，故选A.【点评】解答本题的关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边。4.如图，ABC中，ACB=90，CDAB于点D，
3、若CD：AC=2：3，则sinBCD的值是（ ） A.255B.23C.21313D.213【答案】B 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：sinA= CDAC = 23 ， ACB=90，CDAB，A+B=90，BCD+B=90，A=BCD，sinBCD=sinA= CDAC = 23 ，故选：B【分析】根据正弦的定义求出sinA，根据同角的余角相等得到A=BCD，得到答案5.如图所示，在RtABC中，斜边AB=3，BC=1，点D在AB上，且 BDAD = 13 ，则tanBCD的值是（ ）A.13B.1C.223D.332【答案】C 【考点】平行线分线段成比例，解直角三角形 【
4、解析】【解答】解：作DEAC，在RtABC中，斜边AB=3，BC=1，DEAC， BECE = BDAD = 13 ，BE= 14 ，CE= 34 ，BD= 34DE= BD2-BE2 = 22 ，tanBCD= DECE = 2234 = 223 故答案为：C【分析】作DEAC，根据平行线分线段成比例得出BE、CE、BD的长度，再根据勾股定理得DE得长度，最后由正切定义得出结论。6.如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b0）与y轴交于点B，连接AB，=75，则b的值为（ ） A.3B.534C.4D.533【答案】D 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：令直线y=x+b与x
5、轴交于点C，如图所示 令y=x+b中x=0，则y=b，B（0，b）；令y=x+b中y=0，则x=b，C（b，0）BCO=45=BCO+BAO=75，BAO=30，点A（5，0），OA=5，OB=b=OAtanBAO= 533 故选D【分析】令直线y=x+b与x轴交于点C，根据直线的解析式可求出点B、C的坐标，进而得出BCO=45，再通过角的计算得出BAO=30，根据点A的坐标利用特殊角的三角函数值即可得出b的值7.在RtABC中，已知B=90，AC=10，AB=52 ， 则A等于（） A.45B.30C.60D.50【答案】A 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：在RtABC中，B
6、=90，AC=10，AB=52 ， BC=102-522=52 ， 即AB=BC，A=45故选A【分析】根据勾股定理求出BC的长度，然后求出A的度数8.在ABC中，若三边BC ,CA,AB满足 BC：CA：AB=5：12：13，则cosB=（） A.512B.125C.513D.1213【答案】C 【考点】勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】设BC=5X，CA=12X，AB=13X，根据题意可知，BC2+CA2=AB2，所以ABC是直角三角形，故cosB= BCAB=5x13x=513，故选C【点评】本题属于对特殊角的三角函数的基本知识的理解和运用9.如图，为了测量某建筑物M
7、N的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45，则建筑物MN的高度等于( )A.8(3+1)mB.8(3-1)mC.16(3+1)mD.16(3-1)m【答案】A 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【解答】设MN=xm，在RtBMN中,MBN=45，BN=MN=x，在RtAMN中,tanMAN= MNAN ，tan30= x16+x =33，解得：x=8( 3 +1)，则建筑物MN的高度等于8( 3 +1)m；故答案为：A.【分析】设MN=xm，根据等腰直角三角形的性质得出BN=MN=x，在RtAMN中根据正切
8、函数的定义，及特殊锐角三角函数值列出方程，求解即可。10.一副三角板按图1所示的位置摆放将DEF绕点A（F）逆时针旋转60后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（ ）A.75cm2B.（25+253）cm2C.（25+2533）cm2D.（25+5033）cm2【答案】C 【考点】解直角三角形，旋转的性质 【解析】【分析】过G点作GHAC于H，则GAC=60，GCA=45，GC=10cm，先在RtGCH中根据等腰直角三角形三边的关系得到GH与CH的值，然后在RtAGH中根据含30的直角三角形三边的关系求得AH，最后利用三角形的面积公式进行计算即可【解答】过G点作G
9、HAC于H，如图，GAC=60，GCA=45，GC=10cm，在RtGCH中，GH=CH=22GC=52cm，在RtAGH中，AH=33GH=563cm，AC=（52+563)cm，两个三角形重叠（阴影)部分的面积=12GHAC=1252（52+563)=（25+2533)cm2 故选：C【点评】本题考查了解直角三角形：求直角三角形中未知的边和角的过程叫解直角三角形也考查了含30的直角三角形和等腰直角三角形三边的关系以及旋转的性质二、填空题（共10题；共32分）11.计算： (-3.14)0-23cos30+(12)-2-|-3| =_ 【答案】1 【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值 【解
10、析】【解答】解：原式= 1-2332+4-3 = 1-3+1 =1故答案为：1【分析】根据实数的混合运算性质即可求解。12.如图,的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边OA上有一点P(b,4),若sin= 45 ,则b= .【答案】3 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：因为sin =4b=45,所以OP=5,由勾股定理得b=52-42=3,故答案为：3.【分析】根据正弦函数的定义可得OP的长，由勾股定理即可求出b的值。13.如图，在平行四边形ABCD中，AEBC，垂足为E，如果AB=5，BC=8， sinB=45 ，那么EC=_.【答案】5 【考点】解直角三角形 【解析】【
11、解答】在ABE中，AEBC，AB=5，sinB= 45 ，AE=4，BE= AB2-AE2 =3，EC=BC-BE=8-3=5故答案为：5.【分析】在直角三角形ABE中，sinB= AEBE=45,所以可求得AE=4，由勾股定理可得BE=3，所以EC=BC-BE=8-3=514.在等腰直角ABC中，C90，AC8，D为AC上一点，若 tanDBC=14 ，则AD_【答案】6 【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用 【解析】【解答】根据等腰直角三角形的性质得到BC=AC=6，再在RtBDC中，利用正切的定义计算出CD，然后利用AD=AC-CD进行计算即可.解：ABC为等腰三角形，BC=AC=8
12、，在RtBDC中，tanDBC= DCBC = 14 ，CD= 14 BC=2，AD=AC-CD=8-2=6.故答案为：6.【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.15.如果某人沿坡度i=1：3的斜坡前进10m，那么他所在的位置比原来的位置升高了_m 【答案】10 【考点】勾股定理，解直角三角形的应用坡度坡角问题 【解析】【解答】如图所示：设BC=x，AB=3x，则AC2=AB2+BC2 ， AC= AB2+BC2=10x=10 ，解得：x= 10 故所在的位置比原来的位置升高了 10 m【分析】根据题意要求他所在的位置比原来的位置升高的高度
13、，就是要求BC的长，根据已知坡度i=1：3得出BCAB=13，再根据勾股定理即可求出结果。16.在菱形ABCD中，DEAB，cosA= 35 ，BE=2，则tanDBE的值是_【答案】2 【考点】菱形的性质，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】设菱形ABCD边长为t，BE=2，AE=t-2，cosA= 35 ， AEAD=35 ， t-2t=35 ，t=5，AE=5-2=3，DE= AD2-AE2=52-32=4 ，tanDBE= DEBE=42=2 【分析】根据题意设菱形ABCD边长为t，则AE=t-2，根据已知可得cosA=AEAD,所以t-2t=35,解得t=5，AE=5-2=3，在直角
14、三角形ADE中，由勾股定理可求得DE的长，则tanDBE=DEBE.17.如图，D为直角ABC的斜边AB上一点，DEAB交AC于E，如果AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC8，tanA 12 ，那么CF：DF_ 【答案】6：5 【考点】翻折变换（折叠问题），解直角三角形 【解析】【解答】解：DEAB，tanA 12 ， DE= 12 AD，RtABC中，AC8，tanA 12 ，BC=4，AB= AC2+BC2 =4 5 ，又AED沿DE翻折，A恰好与B重合，AD=BD=2 5 ，DE= 5 ，RtADE中，AE= AD2+DE2 =5，CE=85=3，RtBCE中，
15、BE= 32+42 =5，如图，过点C作CGBE于G，作DHBE于H，则RtBDE中，DH= 5255 =2，RtBCE中，CG= 345 = 125 ，CGDH，CFGDFH， CFDF = CGDH = 1252 = 65 故答案为：6：5【分析】先根据DEAB，tanA 12 ，AC8，求得BC=4，CE=3，BD=2 5 ，DE= 5 ，再过点C作CGBE于G，作DHBE于H，根据面积法求得CG和DH的长，最后根据CFGDFH，得到 CFDF = CGDH = 1252 = 65 即可18.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O
16、，则tanAOD=_.【答案】2 【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】【解答】解：连接BE交CF于点G（如图），四边形BCEF是边长为1的正方形，BE=CF= 2 ，BECF，BG=EG=CG=FG= 22 ,又BFAC，BFOACO， BFAC=FOCO=13 ,CO=3FO，FO=OG= 12 CG= 24 ，在RtBGO中，tanBOG= BGOG=2224 =2,又AOD=BOG,tanAOD=2.故答案为:2.【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF= 2 ，再由正方形的性质得BECF，BG=EG=CG=FG= 22 ,又根据相似三角形的判定得
17、BFOACO，由相似三角形的性质得 BFAC=FOCO=13 ,从而得FO=OG= 12 CG= 24 ，在RtBGO中根据正切的定义得tanBOG= BGOG=2224 =2,根据对顶角相等从而得出答案.19.如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，OCD=90，AOB=60，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是_【答案】（2，2 3 ） 【考点】位似变换，解直角三角形 【解析】【解答】解：分别过A作AEOB，CFOB，OCD=90，AOB=60，ABO=CDO=30，OCF=30，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0
18、），D（8，0），则DO=8，故OC=4，则FO=2，CF=COcos30=4 32 =2 3 ，故点C的坐标是：（2，2 3 ）故答案为：（2，2 3 ）【分析】分别过A作AEOB，CFOB，根据已知可求出ABO=CDO=30，OCF=30，再根据OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），求出点D的坐标及OC的长，然后利用解直角三角形求出CF、FO的长，就可得出点C的坐标。20.如图所示，已知：点A（0，0），B（ 3 ，0），C（0，1）在ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个AA1B1 ， 第
19、2个B1A2B2 ， 第3个B2A3B3 ， ，则第n个等边三角形的边长等于_ 【答案】32n 【考点】等边三角形的性质，解直角三角形 【解析】【解答】解：OB= 3 ，OC=1， BC=2，OBC=30，OCB=60而AA1B1为等边三角形，A1AB1=60，COA1=30，则CA1O=90在RtCAA1中，AA1= 32 OC= 32 ，同理得：B1A2= 12 A1B1= 322 ，依此类推，第n个等边三角形的边长等于 32n 【分析】根据题目已知条件可推出，AA1= 32 OC= 32 ，B1A2= 12 A1B1= 322 ，依此类推，第n个等边三角形的边长等于 32n 三、解答题（
20、共8题；共58分）21.计算：（12）0+（13）123|tan453| 【答案】解：原式=1+323313=1+233+1=2+3 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果22.钓鱼岛是我国的神圣领土，中国人民维护国家领土完整的决心是坚定的，多年来，我国的海监、渔政等执法船定期开赴钓鱼岛巡视某日，我海监船（A处）测得钓鱼岛（B处）距离为20海里，海监船继续向东航行，在C处测得钓鱼岛在北偏东45的方向上，距离为102海里，求AC的距离（结果保留根
21、号）【答案】解：作BDAC交AC的延长线于D，由题意得，BCD=45，BC=102海里，CD=BD=10海里，AB=20海里，BD=10海里，AD= AB2-BD2=103，AC=ADCD=10310海里答：AC的距离为（10310）海里【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】作BDAC交AC的延长线于D，根据正弦的定义求出BD、CD的长，根据勾股定理求出AD的长，计算即可23.如图，大楼AB高16m，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶C的仰角为39，在楼顶A处测得塔顶的仰角为22，求塔高CD的高（结果保留小数后一位）参考数据：sin220.37，cos220.93，tan
22、220.40，si390.63，cos390.78，tan390.81【答案】解：过点A作AECD于点E，由题意可知：CAE=22，CBD=39，ED=AB=16米设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE=BD=x米，在RtBCD中，tanCBD= CDBD ，CD=BD tan 390.81x，在RtACE中，tanCAE= CEAE ，CE=AEtan 220.4x，CDCE=DE，0.81x0.4x=16，解得x39.0，即BD=39.0（米），CD=0.8139.0=31.6（米），答：塔高CD是31.6米【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】过点A作AECD于点E
23、，由题意可知：CAE=22，CBD=39，ED=AB=16米，设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE=BD=x，分别在RtBCD中和RtACE中，用x表示出CD和CE=AE，利用CDCE=DE得到有关x的方程，求得x的值即可24.如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C经测量东方家具城D位于点A的北偏东45方向，点B的北偏东30方向上，AB=2km，DAC=15，求C、D之间的距离（结果保留根号）【答案】解：由题意可得EAD=45，FBD=30，又DAC=15，EAC=60，AEBF，FBC=EAB=60，DBC=30，BD
24、A=DBCDAB=3015=15，BDA=DAB，AB=DB=2km，ADB=15，DBC=ADB+DAC=15+15=30；过B作BODC，交其延长线于点O，在RtDBO中，BD=2，DBO=60，DO=2sin60= 3 ，BO=2cos60=1在RtCBO中，CBO=30，CO=BOtan30= 33 ，CD=DOCO= 3 33 = 233 （km）即C，D之间的距离 233 km 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】通过作垂线把特殊角放到直角三角形RtDBO、RtCBO中，利用平行线的性质，转化同位角得到CBO=30，DBO=60，进而 DO、CO，二者之差即可求出CD.25
25、.京杭大运河是世界文化遗产综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得CAB=30，DBA=60，求该段运河的河宽（即CH的长）【答案】解：过D作DEAB，可得四边形CHED为矩形，HE=CD=40m，设CH=DE=xm，在RtBDE中，DBA=60，BE= 33 xm，在RtACH中，BAC=30，AH= 3 xm，由AH+HE+EB=AB=160m，得到 3 x+40+ 33 x=160，解得：x=30 3 ，即CH=30 3 m，则该段运河的河宽为30 3 m 【考点】解直角三角
26、形的应用 【解析】【分析】过D作DEAB，可得四边形CHED为矩形，根据矩形的性质得出HE=CD=40m，设CH=DE=xm，在RtBDE中，利用正切函数的定义及特殊锐角三角函数值表示出BE，在RtACH中，利用正切函数的定义及特殊锐角三角函数值表示出AH的值，由AH+HE+EB=AB=160m列出方程，求解得出x的值，从而得出答案。26.如图，为了测量建筑物 AB 的高度，在 D 处树立标杆 CD ，标杆的高是 2m .在 DB 上选取观测点 E 、 F ，从 E 测得标杆和建筑物的顶部 C 、 A 的仰角分别为 58 、 45 ，从 F 测得 C 、 A 的仰角分别为 22 、 70 .求
27、建筑物 AB 的高度（精确到 0.1m ） .（参考数据： tan220.40 ， tan581.60 ， tan702.75 .）【答案】解：在 RtCED 中， CED=58 ， tan58=CDDE . DE=CDtan58=2tan58 .在 RtCFD 中， CFD=22 ， tan22=CDDF DF=CDtan22=2tan22 . EF=DF-DE=2tan22-2tan58 .同理 EF=BE-BF=ABtan45-ABtan70 . ABtan45-ABtan70=2tan22-2tan58 .解得 AB5.9(m) .因此，建筑物 AB 的高度约为 5.9m 【考点】解直
28、角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】在 Rt CED 中，根据正切函数的定义得出DE =CDtan58=2tan58,在 Rt CFD 中根据正切函数的定义得出DF=CDtan22=2tan22,由线段的和差表示出EF的长，同理再表示出EF的长，从而得出方程，求解得出AB的长。27.“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上
29、点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4，高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF为80.3求高、低杠间的水平距离CH的长（结果精确到1cm，参考数据sin82.40.991，cos82.40.132，tan82.47.500，sin80.30.983，cos80.30.168，tan80.35.850）【答案】解：在RtACE中，tanCAE= CEAE ，AE= CEtanCAE=155tan82.41557.521(cm)在RtDBF中，tanDBF= DFBF ，BF= DFtanDBF=234tan80.32345.85=40(cm)
30、.EF=EA+AB+BF21+90+40=151（cm）CEEF，CHDF，DFEF四边形CEFH是矩形，CH=EF=151（cm）.答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】利用解直角三角形，分别在RtACE和RtDBF中，求出AE、BF的长，再由AB的长，求出EF的长，然后利用矩形的性质可得出结果。28.某地发生8.1级地震，震源深度20千米救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30和45（如图）试确定生命所在点C与探测面的距离（参考数据 2 1.41， 3 1.73）【答案】解：过C作CDAB，设CD=x米，ABE=45，CBD=45，DB=CD=x米，CAD=30，AD= 3 CD= 3 x米，AB相距2米， 3 xx=2，解得：x= 20073 答：生命所在点C与探测面的距离是 20073 米【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】过C作CDAB，设CD=x米，根据等腰直角三角形的性质得出DB=CD=x米，根据含30直角三角形的边之间的关系得出AD=3 CD=3x，然后根据AB=AD-BD即可列出方程，求解即可。
