1、1奥赛典型例题奥赛典型例题分析分析(热学热学)21.假设一颗行星的质量为假设一颗行星的质量为M，半径为，半径为r，它被均匀的，它被均匀的大气所包围，大气的摩尔大气所包围，大气的摩尔质量为质量为，若大气层的厚，若大气层的厚度为度为h（h0表明表明车厢的位移方向沿车厢的位移方向沿x轴正方向轴正方向.73.一球形热气球，其隔热很好的球一球形热气球，其隔热很好的球皮连同吊篮等装载的总质量为皮连同吊篮等装载的总质量为300kg，经加热后，气球膨胀到最，经加热后，气球膨胀到最大体积，此时它的直径为大体积，此时它的直径为18m，球，球内外的气体成分相同，而球内气体内外的气体成分相同，而球内气体的压强稍稍高过
2、大气压，试求刚好的压强稍稍高过大气压，试求刚好能使热气球上升时，球内空气的温能使热气球上升时，球内空气的温度度.已知此时大气温度为已知此时大气温度为27C，压，压强为强为1atm，标准状态下空气的密度，标准状态下空气的密度为为1.3kg/m3.(92年年9届决赛题届决赛题)8例例3 解：把气球内外的气体看作是理想气体，当气球解：把气球内外的气体看作是理想气体，当气球胀足刚要升起时，气球所受的浮力等于气球连同装载胀足刚要升起时，气球所受的浮力等于气球连同装载所受的重力，由此得质量关系为所受的重力，由此得质量关系为式中式中M2为此时气球内气球的质量，为此时气球内气球的质量，M1为气球所排开为气球所
3、排开空气的质量，其大小为空气的质量，其大小为)(30021kgMM131)2(34dM式中式中d为气球直径，为气球直径，1 1为此时为此时(温度为温度为T1 1300300K，压压强为强为p11atm)空气的密度空气的密度.它与标准状态下它与标准状态下(温度为温度为T0273K，压强为压强为p01atm)的空气密度的关系为的空气密度的关系为)/(18.130101mkgTT9b)(30021kgMM131)2(34dM)/(18.131mkg于是可求得于是可求得)(3303)(360321kgMkgM，设膨胀后气球内空气体积和压强为设膨胀后气球内空气体积和压强为V2和和p2，温度为，温度为T2
4、，则由理想气体状态方程得则由理想气体状态方程得2222RTMVp另一方面，考虑被气球排开的那一部分空气，应有另一方面，考虑被气球排开的那一部分空气，应有1111RTMVp由题设条件知由题设条件知2121VVpp，故可解得故可解得)(3271212KTMMT即当气球内气体加热到即当气球内气体加热到327K时，气球开始升空时，气球开始升空.104.一气缸初始体积为一气缸初始体积为 v0，其中盛有，其中盛有2mol的空气和少量的水（水的体积可的空气和少量的水（水的体积可忽略），平衡时气体的总压强是忽略），平衡时气体的总压强是3大大气压，经等温膨胀使其体积加倍，在气压，经等温膨胀使其体积加倍，在膨胀结
5、束时，其中的水刚好全部消失，膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时总压强为此时总压强为2大气压，若让其继续大气压，若让其继续做等温膨胀，使其体积再次加倍，试做等温膨胀，使其体积再次加倍，试计算此时计算此时(1)气缸中气体的温度；气缸中气体的温度；(2)气缸中水蒸气的摩尔数；气缸中水蒸气的摩尔数；(3)气缸中气缸中气体的中压强气体的中压强.(99年年16届复赛题届复赛题)11例例4 解：解：(1)只要有液态水存在，平衡时气缸中气体的总只要有液态水存在，平衡时气缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强的和压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强的和.故有故有)1(300）（饱空总atmppp第一次
6、等温膨胀后：第一次等温膨胀后：012VV 因为是等温膨胀，所以因为是等温膨胀，所以)2(210）（饱空总atmppp)3(2011100VpVpVp空空空由以上各式得由以上各式得)4(1）（饱atmp)5(20）（空atmp)6(11）（空atmp12)8(01RTVp水饱由于由于 ，可知气缸中气体的温度为，可知气缸中气体的温度为）（饱atmp1)7(3730KT(2)依题意，经两次等温膨胀后，气体温度不变依题意，经两次等温膨胀后，气体温度不变.设水设水蒸气有蒸气有 摩尔，经第一次等温膨胀，水全部变成水摩尔，经第一次等温膨胀，水全部变成水蒸气蒸气.水蒸气压强仍为水蒸气压强仍为 ，这时对于水蒸气
7、和空气，这时对于水蒸气和空气分别有分别有水饱p)9(20011RTRTVp空空由由(5)、(6)、(8)、(9)式可解得式可解得)5(20）（空atmp)6(11）（空atmp)(2 mol水131122VpVp总总(3)在第二次等温膨胀后，对混合理想气体有在第二次等温膨胀后，对混合理想气体有依题意知依题意知 ，012VV 022VV 代入上式可得代入上式可得)(12atmp总145.在一具有绝热壁的刚性圆筒形封闭气缸内，有一装有小阀在一具有绝热壁的刚性圆筒形封闭气缸内，有一装有小阀门门L的绝热活塞，在气缸的的绝热活塞，在气缸的A端装有电热器端装有电热器H，可用来加热气，可用来加热气体，起初活
8、塞紧贴着气缸的体，起初活塞紧贴着气缸的B端的内壁，小阀门关闭，整个气端的内壁，小阀门关闭，整个气缸内盛有一定质量的某种理想气体，其温度为缸内盛有一定质量的某种理想气体，其温度为T0，活塞与气，活塞与气缸壁之间无摩擦缸壁之间无摩擦.现设法把活塞压至气缸中央，并用销钉现设法把活塞压至气缸中央，并用销钉F把把活塞固定，从而把气缸分成体积相等的左右两室，如图活塞固定，从而把气缸分成体积相等的左右两室，如图1所示，所示，在上述压缩气体的过程中，设对气体做功为在上述压缩气体的过程中，设对气体做功为W，气体温度上，气体温度上升到升到T，再开启小阀门，经足够长的时间后将其关闭，然后拔，再开启小阀门，经足够长的
9、时间后将其关闭，然后拔除销钉，让活塞可以自由移动，并用加热器加热气体，加热除销钉，让活塞可以自由移动，并用加热器加热气体，加热完毕并经一定时间后，得知左室内气体的压强变为加热前的完毕并经一定时间后，得知左室内气体的压强变为加热前的1.5倍，右室气体的体积变为原来的倍，右室气体的体积变为原来的0.75倍，试求电热器传给倍，试求电热器传给气体的热量气体的热量.图图1FHLAB15例例5 解：解：图图1FHLAB 取气缸内的气体为研究对象，对取气缸内的气体为研究对象，对全过程的各个阶段从状态参量的变化及全过程的各个阶段从状态参量的变化及能量的变化两个角度进行分析，并找出能量的变化两个角度进行分析，并
10、找出各分过程联系的关键量和关系式各分过程联系的关键量和关系式.设气缸内有设气缸内有 的理想气体，其定容摩尔热容量为的理想气体，其定容摩尔热容量为CV，气缸容积为，气缸容积为2V.则则mol(1)活塞从活塞从B端至气缸中央，气体经历绝热压缩过程，故端至气缸中央，气体经历绝热压缩过程，故)1()(0TTCUWV(2)气体作自由膨胀，气体作自由膨胀，Q0，A0故故0U 所以，自由膨胀后气体温度不变所以，自由膨胀后气体温度不变.设膨胀结束时气体设膨胀结束时气体压强为压强为p.(3)左室气体受热膨胀，右室气体绝热压缩，最后平衡左室气体受热膨胀，右室气体绝热压缩，最后平衡时，左、右室气体压强相等时，左、右
11、室气体压强相等.16图图1FHLAB)1()(0TTCUWV左室气体左室气体加热前，压强为加热前，压强为p，体积为，体积为V，温度为温度为T；加热后，压强为；加热后，压强为1.5p，体积为，体积为5V/4，温度为温度为TA.由理想气体状态方程得由理想气体状态方程得ATVpTpV4523得得)2(815TTA左室气体左室气体加热前，压强为加热前，压强为p，体积为，体积为V，温度为，温度为T；加；加热后，压强为热后，压强为1.5p，体积为，体积为3V/4，温度为，温度为TB.由理想气由理想气体状态方程得体状态方程得BTVpTpV4323得得)3(89TTB17)1()(0TTCUWV)2(815T
12、TA)3(89TTB图图1FHLAB 对整个气体，这分过程外界不做功对整个气体，这分过程外界不做功.故据热力学第一故据热力学第一定律有定律有)4()(21)(21TTCTTCUUQBVAVBA由由(1)、(2)、(3)、(4)式可解得式可解得)(20TTWTQ186.在大气压为在大气压为76cmHg的环境中，把的环境中，把一根长为一根长为76cm的粗细均匀的玻璃管的粗细均匀的玻璃管竖直倒置在水银槽面上，管口恰在水竖直倒置在水银槽面上，管口恰在水银面，设在某一温度下，已有一部分银面，设在某一温度下，已有一部分水银进入管内，管内水银柱上方封闭水银进入管内，管内水银柱上方封闭的空气有的空气有0.00
13、1mol，现把玻璃管的，现把玻璃管的温度缓慢降低温度缓慢降低10C，试求管内空气，试求管内空气放出的热量放出的热量.已知每摩尔空气的内能已知每摩尔空气的内能为为UCVT,常数常数CV20.5J/molK.19例例6 解：解：xcm76h 以管内空气为研究对象，当温度降以管内空气为研究对象，当温度降低低10C时，其内能的改变为时，其内能的改变为)(205.0)10(5.20001.0)(12JTTCUV 设在降温过程中，管内空气柱的高度为设在降温过程中，管内空气柱的高度为x，水银柱的高度为水银柱的高度为h，则有，则有xh 76管内空气的压强为管内空气的压强为)76(00 xgpghpp由于外界大
14、气压为由于外界大气压为760gp所以有所以有gxpVpo1V2V1p2p 在降温过程中，外界对管内空气柱的在降温过程中，外界对管内空气柱的功可用右图计算功可用右图计算20)(042.01031.8001.021)(21)(21)(21)(21)()(21)(212122112211222121212121JTTRVpVpSxgxSxgxxxgSxxSxxgVVppA)(247.0JAUQVpo1V2V1p2p所以在降温过程中管内空气与外界交换的热量为所以在降温过程中管内空气与外界交换的热量为)(205.0JU负号表示放热负号表示放热.217.空气是混合气体，各组分质量百分比约为：氮空气是混合气
15、体，各组分质量百分比约为：氮气占气占76.9%，氧气占，氧气占23.1%，其它组分可忽略不，其它组分可忽略不计，现有一气缸，缸内充有空气，并装有一些极计，现有一气缸，缸内充有空气，并装有一些极细的钢丝，气缸的活塞能自由无摩擦地移动，使细的钢丝，气缸的活塞能自由无摩擦地移动，使气缸内的气体的压强恒为气缸内的气体的压强恒为1大气压，缸内有非常大气压，缸内有非常缓慢的化学反应，假定生成缓慢的化学反应，假定生成1mol的的Fe2O3后氧气后氧气耗尽，已知这个过程是在耗尽，已知这个过程是在1atm、300K的条件下的条件下进行的，系统放热进行的，系统放热8.2410 5J，已知氧和氮的，已知氧和氮的摩尔
16、内能均为摩尔内能均为2.5RT，细钢丝的体积可忽略，试，细钢丝的体积可忽略，试求这过程中（求这过程中（1）整个系统内能的改变量；（）整个系统内能的改变量；（2）气缸内气体内能的改变量；（气缸内气体内能的改变量；（3）气缸内氮气密）气缸内氮气密度的改变量度的改变量.(93年年16届决赛题届决赛题)22例例7 解：解：(1)气缸内的化学反应为气缸内的化学反应为322232OFeOFe因铁氧化，反应后气缸内氧气的摩尔数变化量为因铁氧化，反应后气缸内氧气的摩尔数变化量为mol5.1(负号表示氧气的摩尔数减少负号表示氧气的摩尔数减少)故气缸内气体的体积也随之减少：故气缸内气体的体积也随之减少：pRTV在
17、这等温等压过程中，外界对系统的功为在这等温等压过程中，外界对系统的功为)(5.3739JRTVpA依题意知过程中系统放热依题意知过程中系统放热)(1024.85JQ因此据热力学第一定律得系统内能的改变为因此据热力学第一定律得系统内能的改变为)(10203.85JQAU23(2)气缸内气体温度恒定，但氧气的摩尔数减少了，故气缸内气体温度恒定，但氧气的摩尔数减少了，故气缸内气体内能减少：气缸内气体内能减少：)(93495.2JRTU(3)由于气缸内生成物为由于气缸内生成物为Fe2O3，可知气缸内气缸内原，可知气缸内气缸内原有氧气的质量有氧气的质量M1和氮气的质量和氮气的质量M2分别为分别为)(10
18、4810322333111kgM)(108.1591.239.76312kgMM 以以p0表示一个大气压，表示一个大气压，p1表示反应前氮气的压强，表示反应前氮气的压强，V0表示反应前气缸内空气的体积，表示反应前气缸内空气的体积，V表示反应后氮气表示反应后氮气的体积，的体积，1 1、2 2分别表示氧气和氮气的摩尔质量，分别表示氧气和氮气的摩尔质量，表示气缸内氮气密度的改变量，那么表示气缸内氮气密度的改变量，那么RTMVp2201反应前：对氮气有反应前：对氮气有24RTMVpp11010)(对氧气有对氧气有RTMVp220反应后：对氮气有反应后：对氮气有012VMVM那么那么)/(236.0)(
19、322111102mkgRTMMMp由以上方程并代入数据可解得由以上方程并代入数据可解得258.如图如图2所示，两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨，所示，两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨，处于恒定磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直一质量为处于恒定磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直一质量为m的均匀导体细杆，放在导轨上，并与导轨垂直，可沿导轨无摩的均匀导体细杆，放在导轨上，并与导轨垂直，可沿导轨无摩擦地滑动，细杆与导轨的电阻均可忽略不计导轨的左端与一擦地滑动，细杆与导轨的电阻均可忽略不计导轨的左端与一根阻值为根阻值为R0的电阻丝相连，电阻丝置于一绝热容器中，电阻丝的电阻丝相连，电阻丝
20、置于一绝热容器中，电阻丝的热容量不计容器与一水平放置的开口细管相通，细管内有的热容量不计容器与一水平放置的开口细管相通，细管内有一截面为一截面为S的小液柱（质量不计），液柱将的小液柱（质量不计），液柱将1mol气体（可视为气体（可视为理想气体）封闭在容器中已知温度升高理想气体）封闭在容器中已知温度升高1K时，该气体的内时，该气体的内能的增加量为（能的增加量为（R为普适气体常量），大气压强为为普适气体常量），大气压强为p0，现令细，现令细杆沿导轨方向以初速杆沿导轨方向以初速v0向右运动，试求达到平衡时细管中液柱向右运动，试求达到平衡时细管中液柱的位移的位移(05年年22届预赛题届预赛题)v0R0
21、图图226 因容器中气体经历的过程是等压过程，故有因容器中气体经历的过程是等压过程，故有)1(27)(TRTRCTCQVP据能量守恒得据能量守恒得)2(2120mvQ)3(00TRlSpVp又又由以上各式可解得由以上各式可解得Spmvl0207例例8 解：解：v0R0图图1 导体杆在运动过程中产生动导体杆在运动过程中产生动生电动势，从而回路中有感应电流生电动势，从而回路中有感应电流.因因此导体杆在运动过程中受安培力作用此导体杆在运动过程中受安培力作用而减速，最终停止运动而减速，最终停止运动.其初动能将全其初动能将全部转变为焦耳热为容器中气体所吸收部转变为焦耳热为容器中气体所吸收.279.一质量
22、为一质量为m的平薄长方形匀质玻璃板，用两根等长细线悬挂的平薄长方形匀质玻璃板，用两根等长细线悬挂起来，如图起来，如图3所示，玻璃板每一侧面的半个表面对称地涂了一所示，玻璃板每一侧面的半个表面对称地涂了一层化学性质活泼的金属薄膜，其质量可忽略不计，整个装置竖层化学性质活泼的金属薄膜，其质量可忽略不计，整个装置竖直地悬挂在空的容器中，并向容器通入压强为直地悬挂在空的容器中，并向容器通入压强为p的氯气，设某的氯气，设某一氯气分子遇金属分子发生化合反应的概率一氯气分子遇金属分子发生化合反应的概率q1，且在讨论的，且在讨论的时间范围内时间范围内q为恒量，生成的氯化物留在玻璃板上，整个装置为恒量，生成的氯
23、化物留在玻璃板上，整个装置中的线量均已在涂中标出，平衡时玻璃板将绕它的中央竖直轴中的线量均已在涂中标出，平衡时玻璃板将绕它的中央竖直轴转过一个小角度转过一个小角度，试求这，试求这值值.aa2abbc金属薄膜金属薄膜金属薄膜金属薄膜bb图图328 与金属发生反应的氯气分子对玻璃板的碰撞可与金属发生反应的氯气分子对玻璃板的碰撞可认为是完全非弹性碰撞，不发生反应的氯气分子对玻认为是完全非弹性碰撞，不发生反应的氯气分子对玻璃板的碰撞可认为是完全弹性碰撞，对于前者，氯气璃板的碰撞可认为是完全弹性碰撞，对于前者，氯气分子对玻璃板的冲量是后者的一半分子对玻璃板的冲量是后者的一半.氯气的压强为氯气的压强为 ，
24、故未涂金属膜的玻璃板表面，故未涂金属膜的玻璃板表面所受的压强也为所受的压强也为 ，n是容器内氯气分子数密度是容器内氯气分子数密度.nkTp nkTp 因每一氯气分子与金属膜发生化合反应的概率是因每一氯气分子与金属膜发生化合反应的概率是q，所以不发生反应的概率应是所以不发生反应的概率应是1q.因而因而n中有中有nq个分子个分子与金属膜发生完全非弹性碰撞，对压强的贡献为与金属膜发生完全非弹性碰撞，对压强的贡献为qpqnkTp21211(系数系数1/2来自非弹性碰撞所产生的冲量是弹性碰撞所产来自非弹性碰撞所产生的冲量是弹性碰撞所产生的冲量的一半生的冲量的一半)例例9 解：解：29pqppp)21(2
25、1 n个分子中有（个分子中有（1q）n个分子与金属不发生反应，个分子与金属不发生反应，与金属膜发生完全弹性碰撞而对压强的贡献为与金属膜发生完全弹性碰撞而对压强的贡献为pqnkTqp)1()1(2因此，玻璃板涂金属膜表面所得压强为因此，玻璃板涂金属膜表面所得压强为 与与 的压强差为的压强差为 ppqpppp21金属薄膜金属薄膜金属薄膜金属薄膜bbbcp)(bcp)(图图2 p形成的前后一对压力均匀形成的前后一对压力均匀分布在涂金属膜的玻璃板前后分布在涂金属膜的玻璃板前后两个半侧上，如图两个半侧上，如图2 2所示所示.这对压力所产生的力矩为这对压力所产生的力矩为cqpbbbcpM2212)(230
26、金属薄膜金属薄膜金属薄膜金属薄膜bbbcp)(bcp)(图图2sin)sin(2SACaNMM因因 的作用，使玻璃板转过小的作用，使玻璃板转过小角度角度.设细线的张力为设细线的张力为N，那，那么张力的水平分量为么张力的水平分量为Nsin，其，其中中为细线转过的角度为细线转过的角度,对应的力对应的力矩为矩为(如图如图3所示所示)ASNNa2aaC图图3aASCsinN因因SA=SC=a故故SAC(-)/2于是于是2cossin2NaM 又又 AC=2aa，故故/2/2因因很小，所以很小，所以12cos22sinsin，于是于是NaM 31NaM ASNNa2aaC图图3aASCsinN 在竖直方向上，力平衡在竖直方向上，力平衡方程为方程为NNNmg22cos2cos2可得可得2mgN 于是于是mgaM21cqpbM221玻璃板平衡时玻璃板平衡时MM 即即cqpbmga22121解得解得mgacpqb2
