1、江苏省江苏省 20202020 届届三轮复习三轮复习填空压轴题突破填空压轴题突破 -多元变量多元变量最值问题最值问题（一）分离变量法（一）分离变量法 【方法点拨】【方法点拨】 多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较 难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，将无 关变量分离即可. 【典型题示例】【典型题示例】 例 1 （2020扬州五月调研12）已知 x0，y0，则 16y x xxy 的最小值为 分析：所求变形为 16116 =() y xxy xxyxy ，由于 x，y 彼此无关联，两次使用基本不等 式即可. 解析：所求
2、变形为 16116 =() y xxy xxyxy y0 1616 28yy yy ，当且仅当4y 时，等号成立， x0， 16 8y y 1688 24 2 y xxx xxyxx ，当且仅当2 2x 时，等号成立， 16y x xxy 的最小值为4 2，当且仅当2 2x ，4y 成立 点评：直接分离变量两次使用基本不等式 例 2 已知 a0，b0，c2，且 ab2，那么ac b c ab c 2 5 c2的最小值为_ 分析：a、b 间有制约条件“ab2” ， “c”为独立变量，故将所求变形为ac b c ab c 2 5 c2 c a b 1 ab 1 2 5 c2，先求出 a b 1 a
3、b的最小值即可. 解析： 因为 a0， b0， 所以a b 1 ab 1 2 a b ab2 4ab 1 2 a b a22abb2 4ab 1 2 5a 4b b 4a 5 2 ， 当且仅当 b 5a 时等号成立 又因为 c2，由不等式的性质可得ac b c ab c 2 5 c2c a b 1 ab 1 2 5 c2 5 2 c 5 c2. 又因为 5 2 c 5 c2 5 2 (c2) 5 c2 5 10 5，当且仅当 c2 2时等号成立， 所以ac b c ab c 2 5 c2的最小值为 10 5. 点评： 本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值， 然后使用不等式的
4、性 质放缩，再使用一次基本不等式. 【巩固训练】【巩固训练】 1.已知0ab，则 2 64 () a b ab 的最小值为 答案：32 解析： 2 2 () () 24 baba b ab ，当且仅当2ab时，等号成立， 222 22 64644 64 232 () 4 aaa ab aba ，当且仅当4a时，等号成立， 2 64 () a b ab 的最小值为32，当且仅当4a，2b成立 2. （2019 苏北三市第一学期期末联考 14） 已知0x ，0y ，0z ， 且36xyz， 则 32 3xyz的最小值为 答案： 37 4 解析：先减元 32 3xyz 32 3(63 )xyxy 3
5、2 3 345 3() 24 xxy 令 3 ( )3f xxx， 2 3 345 ( )() 24 g yy， 2 ( )333(1)(1)fxxxx ，0x ， ( )f x在（0,1）上递减，在（1，）上递增， 所以， min ( )f xf（1）2 当 y 3 3 2 时，( )g y有最小值： min 45 ( ) 4 g y 所以 32 3xyz的最小值为2 45 4 37 4 . 3. （2020 海安中学 12 月考 11） 设正实数x，y满足 xy xy xy ， 则实数x的最小值为 答案：21 解：由正实数x，y满足 xy xy xy ，化为 11xy xy xyyx ， 为求x的最小值，将含“x”项用“y”的函数表示 得： 11xy xy xxyy 11 2yy yy （当且仅当1y ， “=”成立） 1 2x x ，解得21x 实数x的最小值为21 4.（2020镇江八校第二次联考13） 已知正数, a b满足 2 (2)4a bab，则ab的最小 值为 答案：2 解析：将已知条件 2 (2)4a bab视为关于b的一元二次方程，利用解方程分离元来实施 减元. 由 2 (2)4a bab解得 2 4 = a ba a 2 2 2 44 =2 a aba aa ，当且仅当2a 时，取等.
