1、高考数学（理科）模拟试卷第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足zi=1-i，则z等于A.-1-I B.1-i C.-1+I D.1=i2.等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于A1 B C.- 2 D 33函数的零点个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.34若，则是的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件5.双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A B C D6.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=. .
2、 . .7已知是坐标原点，点若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是( ) A-1.0 B0.1 C0.2 D-1.2 8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次
3、命中的概率为A0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.159.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在0,上的图像大致为10.设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D.第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 .13.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点
4、，若线段AB的长为8，则_ w.w.w.k.s.5.14如图，中，点在边上，则的长度等于 15.当xR，|x|1时，有如下表达式：1xx2xn.两边同时积分得：，从而得到如下等式：.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：_.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213+cos217-sin13cos17（2）sin215+cos215-sin15cos15（3）sin218+cos212-sin18cos12（4）sin2（-18）+cos248-
5、sin2（-18）cos48（5）sin2（-25）+cos255- sin2（-25）cos55() 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 () 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.17. (本小题满分13分)如图三棱柱中，侧面为菱形，.() 证明：；(）若，AB=BC求二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）设是不等式的解集，整数。（）记使得“成立的有序数组”为事件A，试列举A包含的基本事件；（）设，求的分布列及其数学期望.19.（本小题满分13分）设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（）若直线MN的斜率为，求
6、C的离心率；（）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.20. (本小题满分14分)已知函数f(x)sin(x)(0,0)的周期为，图象的一个对称中心为.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象()求函数f(x)与g(x)的解析式；()是否存在x0，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由；()求实数a与正整数n，使得F(x)f(x)ag(x)在(0，n)内恰有2 013个零点21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分
7、，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵 （其中，）（I）若，求矩阵的逆矩阵；（II）若曲线在矩阵所对应的线性变换作用下得到曲线：，求的值 (2)(本小题满分7分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为a，且点A在直线l上（I）求a的值及直线l的直角坐标方程；（II）圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系（3）（本小
8、题满分7分）选修4-5：不等式选讲 解不等式2x-1x+12015年福建省高考数学（理科）模拟试卷参考答案1.【答案】A 【解析】，A正确.2.【答案】C 【解析】且.故选C3.【答案】C 【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C.4.【答案】A 【解析】当时，所以是的充分条件，但是时，或，所以不是的必要条件故选A5.【答案】C 【解析】双曲线y21的顶点为(2,0)，渐近线方程为，即x2y0和x2y0.故其顶点到渐近线的距离，选C.6.【答案】D 【解析】输入；时：；时：；时：；时：输出 . 选D.7.【答案】C 【解析】设作出可行域，如图直线，即经过时，最小，经过时
9、，最大，所以的取值范围是故选C8.【答案】B 【解析】由随机数可估算出每次投篮命中的概率则三次投篮命中两次为0.25故选B.9.【答案】B 【解析】如图：过M作MDOP于，则 PM=，OM=,在中，MD=，选B.10.【答案】C 【解析】11.【答案】2 【解析】12.【答案】 【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，所以其表面积为13.【答案】2 【解析】由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又.14.【答案】 【解析】由余弦定理 ,所以.再由正弦定理 ，即，所以15.【答案】 【解析】由(1x)n，两边同时积分得：，.16. 【解析】()选择（
10、2）式计算如下：. ()证明： 17.【解析】()连结，交于O，连结AO因为侧面为菱形，所以，且O为与的中点又，所以平面，故=又，故 （）因为且O为的中点，所以AO=CO=又因为AB=BC=，所以故OAOB，从而OA，OB，两两互相垂直以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-因为，所以为等边三角形又AB=BC=，则，设是平面的法向量，则，即 所以可取设是平面的法向量，则，同理可取则，所以二面角的余弦值为.18.【解析】()由得，即，由于整数且，所以A包含的基本事件为.()由于的所有不同取值为所以的所有不同取值为，且有，故的分布列为0149P所以=.1
11、9.【解析】（）根据c=以及题设知M（c，），2=3ac将=-代入2=3ac，解得=，=-2（舍去）故C的离心率为（）由题意，原点O的的中点，My轴，所以直线M与y轴的交点D是线段M的中点，故=4，即 由=得=设N（x，y），由题意可知y0,则 即代入方程C，得+=1 将以及c=代入得到+=1解得a=7， a=7，.20.【解析】()由函数f(x)sin(x)的周期为，0，得2.又曲线yf(x)的一个对称中心为，(0，)，故，得，所以f(x)cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得ycos x的图象，再将ycos x的图象向右平移个单位长度后得到函数
12、的图象，所以g(x)sin x.()当x时，sin x，0cos 2x，所以sin xcos 2xsin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2xsin xsin xcos 2x在内是否有解设G(x)sin xsin xcos 2x2cos 2x，x，则G(x)cos xcos xcos 2x2sin 2x(2sin x)因为x，所以G(x)0，G(x)在内单调递增又，且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，即存在唯一的x0满足题意()依题意，F(x)asin xcos 2x，令F(x)asin xcos 2x0.当sin x0，即xk(kZ)时，cos 2x
13、1，从而xk(kZ)不是方程F(x)0的解，所以方程F(x)0等价于关于x的方程，xk(kZ)现研究x(0，)(，2)时方程的解的情况令，x(0，)(，2)，则问题转化为研究直线ya与曲线yh(x)，x(0，)(，2)的交点情况，令h(x)0，得或.当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：xh(x)00h(x)11当x0且x趋近于0时，h(x)趋向于，当x且x趋近于时，h(x)趋向于，当x且x趋近于时，h(x)趋向于，当x2且x趋近于2时，h(x)趋向于.故当a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)内无交点，在(，2)内有2个交点；当a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)内有2个
14、交点，在(，2)内无交点；当1a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)内有2个交点，在(，2)内有2个交点由函数h(x)的周期性，可知当a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，n)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线ya与曲线yh(x)在(0，n)内恰有2 013个交点；又当a1或a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)(，2)内有3个交点，由周期性，2 0133671，所以依题意得n67121 342.综上，当a1，n1 342或a1，n1 342时，函数F(x)f(x)ag(x)在(0，n)内恰有2 013个零点21. 【解析】(1)（）设矩阵的逆矩阵，则，因为，所以，所以，即，所以（）设曲线上的任意一点为，在矩阵所对应的线性变换作用下得到点则，即，又点在曲线上，所以，即为曲线的方程，则，又因为，则(2)（）由点A在直线a上，可得.所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.（）由已知得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r1，因为圆心C到直线l的距离d1，所以直线l与圆C相交(3)当x0时,原不等式可化为又不存在;当时,原不等式可化为又当综上,原不等式的解集为
