1、试卷第 1页，共 5页湖北省圆梦杯湖北省圆梦杯 20232023 届高三下学期统一模拟（二）数学试题届高三下学期统一模拟（二）数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题1若集合230Mx xx，ln1Nx yx则MN（）A 03xxB 13xxC 03xxD 13xx2已知向量,m n 的夹角为60，若2,mmmn，则n（）A1B2C3D43已知等差数列 na的前n项和为nS，命题:p“560,0aa”，命题:q“70S”，则命题p是命题q的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4若正数,x y满足22xy，则1yxy的最小值为（）A21B2 2
2、1C2D525已知函数f axb图象的对称轴为xc，则 fx图象的对称轴为（）AxabcBxabcCxacbDxacb6已知直三棱柱111ABCABC-存在内切球，若3,4,ABBCABBC，则该三棱柱外接球的表面积为（）A26B27C28D297用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中能被 15 整除的有（）A38 个B40 个C42 个D44 个8在农业生产中，自动化控制技术的应用有效提高了农业生产效率.如图所示，在某矩形试验田MNPQ中，24,MQMNR为MN中点，F为QR中点，三角形MQR区域种植小麦，梯形RNPQ区域种植玉米.为提高劳动效率，节约用水，现采用自动浇水机器
3、人（忽略机器人的面积）对试验田进行灌溉.已知该机器人沿着以F为焦点，MQ为准线的抛物线运动，且向以自身为圆心，半径为18的圆形区域内浇水.记小麦田能够被机器人灌溉的面积为S，则（）（若直线l与抛物线E相切于点A，平行于l的直线l与E交试卷第 2页，共 5页于B C两点，记BC与E围成的图形面积为1,SABC的面积为2S，则1234SS）A14S=B1494192SC49192S D49192S 二、多选题二、多选题9若复数2i2iz，则（）A1z B1z zC1zzD11zz10已知随机事件,A B的概率分别为 ,P AP B，且11(),(),()()32P AP BP A BP A B，则
4、（）A事件A与事件B相互独立B事件A与事件B相互对立C23P ABD1()6P AB B 11 已知函数 2sinsin4f xaxbx在区间30,4内存在两个极值点1212,x xxx，则（）AabBabC121sinsin442xxD121coscos442xx 12已知0mn，定义：x表示不超过x的最大整数，例如3.13,2.13.若函数 elnxfxaxax，其中0a，则（）A当1a 时，fx存在零点B若 1fx，则10,ln2a试卷第 3页，共 5页C若 f nf m，则0,eaD若 0f m，则ln0am 三、填空题三、填空题13二项式262()xx展开式中的常数项为_（用数字作答
5、）14若4sin21cos2，则tan_.四、双空题四、双空题15曲线22:C xyxy围成的封闭图形的面积为_，若直线2yk x与C恰有两个公共点，则k的取值范围为_.五、填空题五、填空题16在矩形ABCD中，2,1ABBC，点M是线段CD上的一点，且满足01CM.现将AMD与BMC分别沿,AM BM进行翻折，使点C落到边DM上，得到AMD与BMC，若线段C M上存在一点P（含端点），满足60ABP，则CM的取值范围为_.六、解答题六、解答题17记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，设ABC的外接圆半径为R，且2232cos cosbcRBC.(1)求A；(2)若1,2ab，求
6、ABC的面积.18已知数列 na的前n项和为nS，若*21,222,NnnaSnann.(1)求na；(2)记11nnnba a，求数列 nb的前n项和nT.19如图，S为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC内接于3 2,2O ACBC ACBC，2,3,AMMS ASPQ 为O的一条弦，且SB/平面PMQ.试卷第 4页，共 5页(1)求PQ的最小值；(2)若SAPQ，求直线PQ与平面BCM所成角的正弦值.20五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的
7、机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.(1)若小明设定机器人一共行走 4 步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为X步，求X的分布列和期望；(2)记*Nip i为设定机器人一共行走2i步时游戏胜利的概率，求ip，并判断当i为何值时，游戏胜利的概率最大；(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上
8、面的疑惑：将n个 0 和n个 1 排成一排，若对任意的12kn，在前k个数中，0 的个数都不少于1 的个数，则满足条件的排列方式共有122CCnnnn种，其中，122CCnnnn的结果被称为卡特兰数.若记iP为设定机器人行走2i步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的ip，有*N21iipPii21已知抛物线2:2(0)E ypx p，双曲线222:1yC xp，点11,A x y在C的左支上，过A作x轴的平行线交E于点M，过M作E的切线1l，过A作直线2l交1l于点P，交E于点N，且APPN.(1)证明：2l与E相切；(2)过N作x轴的平行线交C的左支于点22,B xy，过P的直线3l平分MPN，记3l的试卷第 5页，共 5页斜率为,kMPN，若2cosk，证明：1211xx恒为定值.22已知函数 1elnx afxaxxx.(1)当1a 时，讨论 fx的单调性；(2)若 2f xa，求a的取值范围.
