1、6.2 等差数列 回回顾旧顾旧知知2学习学习目目标标1新授新授3小小结结4作作业业5课题学习目标学习目标o 1、知识目标：通过生活实例，理解等差数列的概念，理解等差数列通项公式的含义，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式o 2、能力目标：会用等差数列的通项公式和前n项和公式解决简单的实际问题。复习回顾1.数列 数列的项 数列的一般形式2.有穷数列和无穷数列3.数列的通项公式4.能根据数列的通项公式写出它的任一项5.能观察一些简单数列写出它的通项公式及任一项6.数列的三种表示法：列表法、图像法、通项公式1+2+3+100=?高斯，高斯，(1777(177718551855）德国著德国著名数学家名
2、数学家。得到得到数数列列 1，2，3，4，100引例一引例一 姚明刚进姚明刚进NBANBA一周训练罚球的个数一周训练罚球的个数：第一天：第一天：6000，第二天：第二天：6500，第三天：第三天：7000，第四天：第四天：7500，第五天：第五天：8000，第六天：第六天：8500，第七天：第七天：9000.得到得到数数列：列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000引例二引例二 匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）引例三引例三 2124212321252122，23，24，25，26，得到得到数数列列212421232
3、1252122，23，24，25，26，姚明姚明罚罚球球个数个数的的数数列：列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000发现？发现？观察观察：以上：以上数数列有什列有什么么共同特点？共同特点？从从第第 2项项起，每一起，每一项与项与前一前一项项的差都等于同一常的差都等于同一常数数。高斯高斯计计算的算的数数列：列：1，2，3，4，100观察归纳观察归纳 2124212321252122，23，24，25，26运动运动鞋尺鞋尺码码的的数数列列问题情景问题情景:等差等差数数列的定列的定义义：一般地，如果一一般地，如果一个数个数列列从从 第第2项项 起，每一起，每一项与它项
4、与它的前一的前一项项的差等于的差等于同一同一个个常常数数，那，那么这个数么这个数列就叫做列就叫做等差数列等差数列。这个这个常常数数叫等差叫等差数数列的列的公差公差，通常用字母，通常用字母d d 表示。表示。数学语数学语言言：an-an-1=d （d是常是常数数，n2，nN*）或或an+1-an=d（d是常是常数数）即即 a2-a 1=a3 a2 =a4-a3=.=anan-1=d例例1：判判断断下列下列数数列是否列是否为为等差等差数数列列.若是若是,指出首指出首项项和公差和公差(1)1,1,1,1,1.(2)4,7,10,13,16.(3)-3,-2,-1,1,2.(4)15,12,10,8,
5、6,4,2.（1）所）所给数给数列是首列是首项为项为1，公差，公差为为0的等差的等差数数列；列；（2）所）所给数给数列是首列是首项为项为4，公差，公差为为3的等差的等差数数列；列；）（）（）（）（1-12-1-3 ；所所给给数数列列不不是是等等差差数数列列412-151012（）；所所给给数数列列不不是是等等差差数数列列解：解：小小结结：判：判断断一一个数个数列是不是等差列是不是等差数数列，主列，主要是由定要是由定义进义进行判行判断断：(1)从从第二第二项开项开始始 (2)后一后一项与项与前一前一项项的差的差 (3)同一同一个个常常数数(公差公差d)即即 an+1-an是不是同一是不是同一个个
6、常常数数？是是不是不是不是不是 练练 习习 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项如果是，写出首项a1 1和公差和公差d,如果不是，说明理由。如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，（2）9，6，3，0，-3 （3）-8，-6，-4，-2，0，（4）3，3，3，3，（6）1，0，1，0，1，1111(5)1,2345是是是是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0 例例2 下列数列是否是等差数列？请说明理由下列数列是否是等差数列？请说明理由nbn1)2(23)1(nan3)23(2)1(31nn
7、aann解：解：（1）所以所以 是等差数列是等差数列 na(2)由由题题意，意，即即数数列列为为 ，因，因为为 ，故此故此数数列列 不是等差不是等差数数列列41,31,21,14321bbbb41,31,21,12131121练习练习：P9根据等差根据等差数数列的定列的定义填义填空空a2 a1d，a3 d（）d a1 d，a4 d（）d a1 d，an da2a1+d2a3a1+2 d3a1（n 1）等差等差数数列的通列的通项项公式公式 结论结论：若一个等差数列：若一个等差数列 ，它的首项为，它的首项为 ，公差是公差是d d，那么这个数列的通项公式是：那么这个数列的通项公式是：1(1)naan
8、d na1aa a1 1、d d、n n、a an n中中知三求一知三求一例例3 已知等差已知等差数数列列 的首的首项项是是1，公差是，公差是3，求求 其第其第 11项项 na解：解：根据根据11,3,11ndadnaan)1(1313)111(111a求等差求等差数数列通列通项项公式的基本量法：公式的基本量法：只要求出只要求出 a1 和和 d，就可以得出通，就可以得出通项项公式，公式，并并求出求出任一任一项项例例4 求等差求等差数数列列 8，5，2，的通的通项项公式和第公式和第 20 项项解解 因因为为 a18，d 583，所以所以这个数这个数列的通列的通项项公式是公式是 an=8(n1)(
9、3)，即即an 3 n11 所以所以a203201149.求等差求等差数数列通列通项项公式的基本量法：公式的基本量法：只要求出只要求出 a1 和和 d，就可以得出通，就可以得出通项项公式，公式，并并求出求出任一任一项项例例5 等差等差数数列列5，9，13，的第多少的第多少项项是是401？解解 因因为为 a15，d9(5)4，an401，所以所以 4015(n1)(4)解得解得 n100 即即这个数这个数列的第列的第 100 项项是是401 等差数列通项公式等差数列通项公式 中，中，共有四个量共有四个量a a1 1、d d、n n、a an n，知三求一知三求一dnaan)1(1例例6 在等差在
10、等差数数列列an中：中：（1）d3，a7 8，求，求 a1；（2）a316，a6 8，求，求 d 及通及通项项公式公式课堂练习：P11求等差求等差数数列的通列的通项项公式的方法：公式的方法：1、基本量法、基本量法2、列方程或方程、列方程或方程组组法法探究探究探究探究泰姬陵中有一泰姬陵中有一个镶个镶嵌着大小相同嵌着大小相同宝宝石石的三角形的三角形图图案（如案（如图图），共有），共有100层层，这个图这个图案上共有多案上共有多少少颗宝颗宝石？石？1+2+3+99+100=?由由100+99+98+2+1 两两式相加，得式相加，得所以所以 )1001(1002100S2)1001(100100S等差
11、数列的前等差数列的前n n项和公式的推导项和公式的推导,1a,2a,3a,na，nnnaaaaaS1321由等差由等差数数列列的前的前n项项和和得得)1()2()(1111dnadadaaSn)1()2()(dnadadaaSnnnnn个（nnnnnaaaaaaS)2111)1naan（2)(1nnaanSdnnnaSdnaann2)1()1(112.根据下列根据下列条条件，求相件，求相应应的等差的等差数数列列 的的 nanS;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda.32,7.0,5.14)4(1nada2)1nnaanS（.5002)955(1010 SdnnnaSn
12、2)11（2550)2(2)150501005050（S2)1nnaanS（dnaan)1(1,2617.05.1432n.5.6042)325.14(2626 S21,55,3)3(211Saa求若609221)553(21S 3.求自然求自然数数中前中前n个数个数的和的和.2)1nnaanS（.2)1(2)1(nnnnSn4.求正奇求正奇数数数数列列 1,3,5,7,前前100项项之和之和1000022)1100(1001100100SdnnnaSn2)11（一个定义：一个定义：两个公式：通项公式两个公式：通项公式 求和公式求和公式 两种思想：两种思想：基本量思想、方程思想基本量思想、方程
13、思想12,(nnnnNadad是常数)本节课主要学习：本节课主要学习：1(1)naanddnnnaSaanSnnn2)1(2)(11五、作业：P 14 习题习题 1-5等差数列复习2nan(1)2nnna 按一定的次序排成的一列数叫做数列。1.数列：2.写出下列数列的通项公式：次序次序2nan1 11 12 48 16，1，4，9，16，25，36 2，4，6，8（1）（2）（3）观察与思考：下面的几个数列相邻两项有什么共同点：(2)1，3，5，7，9，11.(3)1，0，-1，-2，-3，(1)2，2，2，2，2，2，定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前项起，每
14、一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。等差数列。公差公差 d=2 公差公差 d=-1公差公差 d=0第第2项项同同一个一个常数常数这个这个常数常数叫做叫做等差数列等差数列的的公差公差，公差公差通常用字母通常用字母d d表示。表示。aaaaaaaaaannnn11342312.=d 判断下列数列是否是等差数列?如果是等差数列，公差又是多少?（1）1，3，5，6，8（2）2，4，6，8（6）7，8，9（5）1，1/2，1/3，1/4（3）1，-1，1，-1练习1（不是不是）（是是 ）（不是不是）（4）0,0,0,0,2d 1d 0d（7）
15、1,2,3,4,.（不是不是）（8）1，2，4，9，16（不是不是）（不是不是）（是是 ）（是是 ）填上适当的数，组成等差数列填上适当的数，组成等差数列 （1）1，0 ,（2）_，2，4（3）_,3 ,5 ,_(4)1 ,_,3练习2-10171例例已知等差数列的首项为12，公差为 5，试写出这个数列的第2项到第5项解解由于 因此112,5ad ，211257 aad；32752 aad；35234daa.85345daa通项公式的推导daa12daddadaa3)2(1134daddadaa4)3(1145dnaan)1(1因为 是等差数列，它的公差为d.所以有 na解：由此可知由此可知12
16、ad32aad1()add=已知等差数列已知等差数列 的首项是的首项是 ,公差是公差是 .写出写出 、,并试着推导出并试着推导出.na1adna3a2a当 时，等式两边都等于 ，公式成立。nN 1a1n dnaan)1(1等差数列的通项公式例题2,20,385,81nda49)3()120(820 adnaan)1(1（1）求等差数列）求等差数列8，5，2，的第的第20项。项。解：解：例题2因此，因此，)4()1(5401n解得解得100n答：这个数列的第答：这个数列的第100项是项是-401.dnaan)1(1（2）401是不是是不是等差数列等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项
17、？的项？如果是，是第几项？解：解：,401,4)5(9,51nada例后思考等差数列的通项公式等差数列的通项公式 a an n=a=a1 1+(n-1)d +(n-1)d 中中 ，a an n,a,a1 1,n,d,n,d 这四个变这四个变量量 ，知道其中三个量知道其中三个量就可以求余下的一个就可以求余下的一个 量量.例后思考：例后思考：例题351410aad1211131aad解得解得12a 3d 解：解：na51210,31aa 在等差数列在等差数列 中，中，,求求 首项首项 与公差与公差 .1ad6.2 等差数列例例4 4 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构成一个等差数列,他
18、们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄.分析分析 知道三个数构成等差数列，并且知道这三个数的和,可以将这三个数设为 ad，a，a+d，这样就可以方便的求出 a，从而解决问题dadadaada54,120则25,40da解得.65,15dada从而解解 设小明、爸爸和爷爷的年龄分别为ad，a，a+d，其中d为公差，答答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为15岁、40岁和65岁.练习31.求等差数列求等差数列2，9，16，的第的第10项；项；2.求等差数列求等差数列0，-7/2，-7的第的第n项；项；77701222nann 102(10 1)765a练习
19、，3、在等差数列、在等差数列 中，已知中，已知na76a 40a,1a d，；6-2求：求：（1）（2）na；28n（3）10是不是这个数列中的项？是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？如果不是说明如果是，是第几项？如果不是说明理由。理由。练习4、等差数列、等差数列1，-1，-3，-5，-89，它的它的项数是项数是5、在等差数列在等差数列 中中,2645,6,aaa 则则1a na-846练习6、等差数列、等差数列 中，中，nak 4113,9kaa aa则则 13 1、等差数列的概念、等差数列的概念：1(2,nnaad nnN）2、等差数列的通项公式：、等差数列的通项公式：1(1)naan
20、d或或 a an n,a,a1 1,n,d,n,d 这四个变量这四个变量 ，知道其中三知道其中三个量就可以求余下的一个个量就可以求余下的一个 量量.1nnaad nN（）小结：小结：泰姬陵坐落于印度古都阿泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形传说陵寝中有一个三角形图
21、案，以相同大小的圆宝石图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有镶饰而成，共有100100层（见左层（见左图），奢靡之程度，可见一图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？了多少宝石吗？探究发现探究发现200多年前，德国古代著名数学家高斯多年前，德国古代著名数学家高斯10岁岁的时候很快就解决了这个问题。的时候很快就解决了这个问题。你知道高斯是怎样计算的吗？你知道高斯是怎样计算的吗？高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说师说:“现在给大家出道题目现在给大家出道题目:1+2+100=?”过了过了两分钟，正当大家在：两
22、分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+100=5050”1+2+3+100=？高斯的算法是：高斯的算法是：首项与末项的和：首项与末项的和：第第2项与倒数第项与倒数第2项的和项的和:第第3项与倒数第项与倒数第3项的和项的和:第第50项与倒数第项与倒数第50项的和项的和:于是所求的和是：于是所求的和是：101 =50502100 1+100=1012+99 =1013+98 =101 50+51=101 高斯的算法实际上法解决了等差数列：高斯的算法实际上法解决了等差数列：1，2，3，n，的前的前n项和
23、问题项和问题探究发现探究发现问题 ：?nan如何求等差数列的前 项和nnnaaaaaS13211221aaaaaSnnnn如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？nnan等差数列的前 项和,用S 表示，记作：111()1)nSaadand（()(1)nnnnSaadand)(21nnaanS1()12nnn aaS公式dnaan)1(11(1)22nn nSnad公式探究发现探究发现?nnan如何求等差数列的前 项和S倒序相加法倒序相加法等差数列前等差数列前n项和公式项和公式2)(1nnaanS dnnnaSn2)1(1公式公式1公式公式220S 18a
24、，20106a na例例5 已知等差数列中，,求解解由已知条件得20208 106980.2S 13,9,5,1,3,例6 等差数列的前多少项的和等于的前多少项的和等于50？解解 设数列的前n项和是50，由于,4)1(3,131da(1)50134,2n nn故2215 50 0nn ，即 12510,2nn 解得 （舍去），所以，该数列的前10项的和等于50公式应用公式应用知三求二知三求二例例7之之解解:1(1)22nn nSnad公式利用利用a1=1()12nnn aaS公式a20=再根据再根据nnSanda,1，在等差数列在等差数列 中中,已知已知:,求求 及及 .na4 d20 n46
25、0 ns1a20a例例8 某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？课后思考 例例9 小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款从元月份开始，每月第款从元月份开始，每月第1天存入银行天存入银行1000元，银行元，银行以年利率以年利率1.71%计息，试问年终结算时本金与利息之和计息，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）总额是多少（精确到（简称本利和）总额是多少（精确到0.01元）元）?解解 年利率1.71%，折合月利率为0.1425%第1个月的存款利息为10000.1425%12（元）；第2个月的存款利息为10000.1425%11（元）；第3个月的存款利息为10000.1425%10（元）；第12个月的存款利息为10000.1425%1（元）应得到的利息就是上面各期利息之和1000 0.1425%(1 2 312)111.15nS （元），故年终本金与利息之和总额为121000+111.15=12111.15（元）课堂小结等差数列前等差数列前n项和公式项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1
