1、新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答第一章导数及其应用31 变化率与导数练习（P6）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为-1和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度大约以 1 h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 h 的速率上升.练习（P8）函数h(t) 在t = t 附近单调递增，在t = t 附近单调递增. 并且，函数h(t) 在t 附近比在t 附近3443增加得慢.说明：体会“以直代曲”的思想.练习（P9）函数r(V ) =3V (0 V 5) 的图象为34p根据图象，估算出r(0.6) 0.3， r(1.2) 0.2 .说明：如果没有信息
2、技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.习题 1.1A 组（P10）W (t ) -W (t- Dt)W (t ) -W (t - Dt)1、在t处，虽然W (t) = W (t) ，然而1 01 02 02 0.01 02 0-Dt-Dt所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、 Dh = h(1+ Dt) - h(1) = -4.9Dt - 3.3 ，所以， h(1)= -3.3 .DtDt新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第1页共 25 页）这说明运动员在t = 1s 附近以 3.3 ms 的
3、速度下降.3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数s(t) 在t = 5 时的导数.Ds = s(5 + Dt) - s(5) = Dt +10 ，所以， s(5) = 10 .DtDt因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为 10 ms，它在第 5 s 的动能 Ek= 1 3102 = 150 J.24、设车轮转动的角度为q ，时间为t ，则q = kt 2(t 0) .25p25p由题意可知，当t = 0.8 时，q = 2p . 所以k =，于是q =t 2.88车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数q (t) 在t = 3.2 时的导数.Dq = q(3.2 + Dt) -
4、q(3.2) = 25p Dt + 20p ，所以q(3.2) = 20p .DtDt8因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为20p s-1 .说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数 f (x) 在 x = -5 处切线的斜率大于零，所以函数在 x = -5 附近单调递增. 同理可得，函数 f (x) 在 x = -4 ， -2 ，0，2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数f (x) 的图象如图（1）所示；第二个函数的
5、导数 f (x) 恒大于零，并且随着x 的增加， f (x) 的值也在增加； 对于第三个函数，当 x 小于零时， f (x) 小于零，当 x 大于零时， f (x) 大于零，并且随着 x 的增加， f (x) 的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第2页共 25 页）习题 3.1B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的 v(t) 的信息获得 s(t) 的相关
6、信息，并据此画出 s(t) 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数 f (x) 的图象在点(1,-5) 处的切线斜率为-1，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3） 某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一.1.2 导数的计算练习（P18）1、 f (x) = 2x - 7 ，所以， f (2) = -3， f (6) = 5 .2、（1） y =1x
7、ln 2；（2） y = 2ex ；（3） y = 10x4 - 6x ；（4） y = -3sin x - 4cos x ；（5） y = - 1 sin x ；（6） y =1.332 x -1新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第3页共 25 页）习题 1.2A 组（P18）1、 DS = S (r + Dr) - S (r) = 2p r + Dr ，所以， S(r) = lim(2p r + Dr) = 2p r .DrDr2、h(t) = -9.8t + 6.5 .Dr 033、r(V ) = 13.34p V 24、（1） y = 3x2 +1x ln 2；（2） y
8、= nxn-1ex + xnex ；3x2 sin x - x3 cos x + cos x（3） y =；（4） y = 99( x +1)98 ；sin2 x（5） y = -2e- x ；（6） y = 2sin(2 x + 5) + 4x cos(2 x + 5) .5、 f (x) = -8 + 2 2x . 由 f (x ) = 4 有 4 = -8 + 2 2x ，解得 x= 3 2 .0006、（1） y = ln x +1 ；（2） y = x -1 .7 、 y = - x +1.p8、（1）氨气的散发速度 A(t) = 500 ln 0.834 0.834t .（2） A
9、(7) = -25.5 ，它表示氨气在第 7 天左右时，以 25.5 克天的速率减少.习题 1.2B 组（P19）1、（1）（2） 当h 越来越小时， y =sin(x + h) - sin x h就越来越逼近函数 y = cos x .新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第4页共 25 页）（3） y = sin x 的导数为 y = cos x .2、当 y = 0 时， x = 0 . 所以函数图象与 x 轴交于点 P(0,0) .y = -ex ，所以 y= -1.x=0所以，曲线在点 P 处的切线的方程为 y = -x .2、d (t) = -4sin t . 所以，上午6
10、:00 时潮水的速度为-0.42 mh；上午9:00 时潮水的速度为-0.63 mh；中午 12:00 时潮水的速度为-0.83 mh；下午 6:00 时潮水的速度为-1.24 mh.1.3 导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为 f (x) = x2 - 2x + 4 ，所以 f (x) = 2x - 2 .当 f (x) 0 ，即 x 1 时，函数 f (x) = x2 - 2x + 4 单调递增； 当 f (x) 0 ，即 x 0 ，即 x 0 时，函数 f (x) = ex - x 单调递增； 当 f (x) 0 ，即 x 0 ，即-1 x 1 时，函数 f (x) = 3
11、x - x3 单调递增； 当 f (x) 0 ，即 x 1 时，函数 f (x) = 3x - x3 单调递减.（4）因为 f (x) = x3 - x2 - x ，所以 f (x) = 3x2 - 2x -1 .1当 f (x) 0 ，即 x 1 时，函数 f (x) = x3 - x2 - x 单调递增；3新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第5页共 25 页）1当 f (x) 0 ，即- x 0 时，f (x) 0 ，即 x -f (x) 0 ，即 x -（2） 当a 0 ，即 x -f (x) -b 时，函数 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) 单调递增；2a
12、b 时，函数 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) 单调递减.2ab 时，函数 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) 单调递增；2ab 时，函数 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) 单调递减.2a4、证明：因为 f (x) = 2x3 - 6x2 + 7 ，所以 f (x) = 6x2 -12x .当 x (0,2) 时， f (x) = 6x2 -12x 1 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增；当 x 1 时， f (x) 0 ，即 x 3 时；当 f (x) 0 ，即-3 x 0 ，即-2 x 2 时；当 f (x) 0 ，即 x 2
13、 时.当 x 变化时， f (x)， f (x) 变化情况如下表：x(-, -2)-2(-2,2)2(2, +)f (x)00f (x)单调递减-10单调递增22单调递减因此，当 x = -2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为-10 ； 当 x = 2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 22（4）因为 f (x) = 3x - x3 ，所以 f (x) = 3 - 3x2 .令 f (x) = 3 - 3x2 = 0 ，得 x = 1 .下面分两种情况讨论：当 f (x) 0 ，即-1 x 1 时；当 f (x) 0 ，即 x 1 时.当 x 变化时， f (x)， f (x)
14、 变化情况如下表：x(-, -1)-1(-1,1)1(1,+)f (x)00f (x)单调递减-2单调递增2单调递减因此，当 x = -1 时， f (x) 有极小值，并且极小值为-2 ；当 x = 1 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 2练习（P31）（1）在0,2 上，当 x =时， f (x) = 6x2 - x - 2 有极小值，并且极小值为 f () = -.1149121224又由于 f (0) = -2 ， f (2) = 20 .因此，函数 f (x) = 6x2 - x - 2 在0,2 上的最大值是 20、最小值是- 49 .24（2）在-4,4 上，当 x = -
15、3 时， f (x) = x3 - 27 x 有极大值，并且极大值为 f (-3) = 54 ； 当 x = 3 时， f (x) = x3 - 27 x 有极小值，并且极小值为 f (3) = -54 ；又由于 f (-4) = 44 ， f (4) = -44 .因此，函数 f (x) = x3 - 27 x 在-4,4 上的最大值是 54、最小值是-54 .1（3）在- ,3 上，当 x = 2 时， f (x) = 6 +12x - x3 有极大值，并且极大值为 f (2) = 22 .3155又 由 于 f (- ) =， f (3) = 15 .327155因此，函数 f (x)
16、= 6 +12x - x3 在- ,3 上的最大值是 22、最小值是.327（4）在2,3 上，函数 f (x) = 3x - x3 无极值.因为 f (2) = -2 ， f (3) = -18 .因此，函数 f (x) = 3x - x3 在2,3 上的最大值是-2 、最小值是-18 .习题 1.3A 组（P31）1、（1）因为 f (x) = -2x +1，所以 f (x) = -2 0 ， x (0, p ) .22p因此，函数 f (x) = x + cos x 在(0,) 上是单调递增函数.2（3）因为 f (x) = -2x - 4 ，所以 f (x) = -2 0 .因此，函数
17、 f (x) = 2x3 + 4x 是单调递增函数. 2、（1）因为 f (x) = x2 + 2x - 4 ，所以 f (x) = 2x + 2 .当 f (x) 0 ，即 x -1 时，函数 f (x) = x2 + 2x - 4 单调递增.当 f (x) 0 ，即 x 0 ，即 x 当 f (x) 0 ，即 x 0 .因此，函数 f (x) = 3x + x3 是单调递增函数.（4）因为 f (x) = x3 + x2 - x ，所以 f (x) = 3x2 + 2x -1.当 f (x) 0 ，即 x 11 时，函数 f (x) = x3 + x2 - x 单调递增.3当 f (x)
18、0 ，即-1 x - 1 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增；12当 x - 1 时， f (x) 0 ，即 x 2 时；当 f (x) 0 ，即-2 x 0 ，即 x 2 时；当 f (x) 0 ，即-2 x 0 ，即 x 2 时；当 f (x) 0 ，即-2 x 2 时.当 x 变化时， f (x)， f (x) 变化情况如下表：x(-, -4)-4(-4,4)4(4, +)f (x)00f (x)单调递减-128单调递增128单调递减因此，当 x = -4 时， f (x) 有极小值，并且极小值为-128 ； 当 x = 4 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 128.
19、6、（1）在-1,1上，当 x = -时，函数 f (x) = 6x2 + x + 2 有极小值，并且极小值为.1471224由于 f (-1) = 7 ， f (1)= 9 ，所以，函数 f (x) = 6x2 + x + 2 在-1,1上的最大值和最小值分别为 9，47 .24（2）在-3,3 上，当 x = -2 时，函数 f (x) = x3 -12x 有极大值，并且极大值为 16； 当 x = 2 时，函数 f (x) = x3 -12x 有极小值，并且极小值为-16 .由于 f (-3) = 9 ， f (3) = -9 ，所以，函数 f (x) = x3 -12x 在-3,3 上
20、的最大值和最小值分别为 16， -16 .11（3）在- ,1上，函数 f (x) = 6 -12x + x3 在- ,1上无极值.331269由 于 f (- ) =， f (1)= -5 ，3271269所以，函数 f (x) = 6 -12x + x3 在- ,1上的最大值和最小值分别为， -5 .327（4）当 x = 4 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 128.由于 f (-3) = -117 ， f (5) = 115 ，所以，函数 f (x) = 48x - x3 在-3,5 上的最大值和最小值分别为 128， -117 .习题 3.3B 组（P32）1、（1）证明：设
21、 f (x) = sin x - x ， x (0,p) .因为 f (x) = cos x -1 0 ， x (0,p )所以 f (x) = sin x - x 在(0,p ) 内单调递减图略因此 f (x) = sin x - x f (0) = 0 ， x (0,p ) ，即sin x 0 ， f (x) 单调递增，2f (x) = x - x2 f (0) = 0 ；当 x ( 1 ,1) 时， f (x) = 1- 2x f (1) = 0 ；图略11又 f ( ) = 0 . 因此， x - x2 0 ， x (0,1).24（3）证明：设 f (x) = ex -1- x ，
22、x 0 .因为 f (x) = ex -1 ， x 0所以，当 x 0 时， f (x) = ex -1 0 ， f (x) 单调递增，f (x) = ex -1- x f (0) = 0 ；当 x 0 时， f (x) = ex -1 f (0) = 0 ； 综上， ex -1 x ， x 0 .图略（4）证明：设 f (x) = ln x - x ， x 0 .因为 f (x) = 1 -1 ， x 0x所以，当0 x 0 ， f (x) 单调递增，xf (x) = ln x - x f (1)= -1 1 时， f (x) = 1 -1 0 ， f (x) 单调递减，xf (x) = l
23、n x - x f (1)= -1 0 ； 当 x = 1 时，显然ln1 1.因此， ln x x +1 x ， x 0 .综上， ln x x 0图略2、（1）函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ，所以 f (x) = 3ax2 + 2bx + c .下面分类讨论：当a 0 时，分a 0 和a 0 ，且b2 - 3ac 0 时，新课程标准数学选修 22 第一章课后
24、习题解答（第14页共 25 页）设方程 f (x) = 3ax2 + 2bx + c = 0 的两根分别为 x , x ，且 x 0 ，即 x x 时，函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 单调递增；12当 f (x) = 3ax2 + 2bx + c 0 ，即 x1 x 0 ，且b2 - 3ac 0 时，此时 f (x) = 3ax2 + 2bx + c 0 ，函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 单调递增.当a 0 时，设方程 f (x) = 3ax2 + 2bx + c = 0 的两根分别为 x , x ，且 x 0 ，即 x1 x x2时，函
25、数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 单调递增；当 f (x) = 3ax2 + 2bx + c 0 ，即 x x 时，函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 单调递减.12当a 0 ，且b2 - 3ac 0 时，此时 f (x) = 3ax2 + 2bx + c 0 ，函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 单调递减1.4 生活中的优化问题举例习题 1.4A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为 x ， l - x ，则这两个正方形的边长分别为xl - x，两个正方44xl - x1形的面积和为 S = f (x) = ( )2
26、+ ()2 =(2x2 - 2lx + l 2 ) ， 0 x l .4416令 f (x) = 0 ，即4x - 2l = 0 ， x = l .2当 x (0, l ) 时， f (x) 0 .22因此， x = l 是函数 f (x) 的极小值点，也是最小值点.2所以，当两段铁丝的长度分别是 l 时，两个正方形的面积和最小.2x新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第15页共 25 页）a2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为a - 2x ，高为 x .a（1） 无盖方盒的容积V (x
27、) = (a - 2x)2 x ， 0 x 0 ；当 x ( a , a ) 时，V (x) 0 .p R2RV3 2p令 S(R) = - 2V + 4p R = 0 ，解得 R =.R当 R (0,当 R (V ) 时， S(R) 0 .3 2p因此， R =V3 2p是函数 S (R) 的极小值点，也是最小值点. 此时， h =VV3 2pp R2= 2= 2R .所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于 f (x) = 1 n (x - a )2 ，所以 f (x) = 2 n(x - a ) .nii=1nii=1令 f (x) = 0 ， 得 x = 1 n a
28、，nii=1可以得到， x = 1 n anii=1是函数 f (x) 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值 1 n anii=1这就是最小二乘法的基本原理.表示这个物体的长度是合理的，xp x25、设矩形的底宽为 x m，则半圆的半径为m，半圆的面积为m2 ，28矩形的面积为a -p x2ap x-m2 ，矩形的另一边长为() m8x88ap因此铁丝的长为l(x) = p x + x + 2a - p x = (1+ p )x + 2a ， 0 x 8a4 + p2x44x令l(x) = 1+ p4- 2a = 0 ，得 x =x2（负值舍去）.当 x (0,8a 4
29、 + p8a8a4 + p,p) 时， l(x) 0 .8a4 + p因此， x =所以，当底宽为是函数l(x) 的极小值点，也是最小值点.8a4 + pm 时，所用材料最省.6、利润 L 等于收入 R 减去成本C ，而收入 R 等于产量乘单价.由此可得出利润 L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.11收入 R = q p = q(25 -q) = 25q -q2 ，8811利润 L = R - C = (25q -q2 ) - (100+ 4q) = -q2 + 21q -100 ， 0 q 0 ；当q (84,200) 时， L 0 ；因此， q = 84 是函数 L 的极大值点，也是最大值点. 所以，产量为 84 时，利润 L 最大,习题 1.4B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为 x 元，x -1801那么宾馆利润 L(x) = (50 -)(x - 20) = -x2 + 70x -1360 ，180 x 680 .1010令 L(x) = - 1 x + 70 = 0 ，解得 x = 350 .5
