1、2023年中考数学考前冲刺：二次函数常考热点 高频压轴题（共12小题，每小题10分，满分120分）1如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式(2)点是轴负半轴上的一点，且，点在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点，连接，当平分时，求点的坐标(3)直线交对称轴于点，是坐标平面内一点，请直接写出与全等时点的坐标2如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B为抛物线y上的两个动点，且OAOB(1)若点B的坐标是（2，m），则点A的坐标是 ；(2)过点B作BCx轴，垂足为C，若AOB与OBC相似，求cosOBA(3)在（1）问的条件下，若点
2、E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH垂直于X轴于点H，交线段AB于点F，以EF为直径的圆M与AB交于点R，求当EFR周长取最大值时E点的坐标；(4)在（3）问的条件下，以BH为直径作圆N，点P为圆N上一动点，连接AP，Q为AP上一点且，连接HQ，求OQ的最小值；3如图1，抛物线y=ax2+3ax2与x轴交于点A、点B(1，0)，与y轴交于点C，连接AC，D点为抛物线上第三象限内一动点(1)求抛物线解析式；(2)连接AC，过点D作DEx轴，交AC于点F，过点D作DGAC，交AC于点G，若AF：FG=5：3，求点D的坐标；(3)如图2，过点N(3，0)作y轴的平行线，交AD所在直线于点E，交
3、BD所在直线于点F，在点D的运动过程中，求4NE+NF的值4如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，且点A的坐标为(1)求二次函数的表达式及点B的坐标；(2)若点D为第四象限内抛物线上的一动点，连接交于点E，过点E作轴于点M，轴于点N当线段的长取最小值时，求直线的函数表达式；(3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使线段绕点F旋转得到线段，且点恰好落在二次函数图象上？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由5如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C(1)A点坐标为_，B点坐标为_，C点坐
4、标为_；(2)如图1，D为B点右侧抛物线上一点，连接AD，若tanCAD2，求D点坐标；(3)E、F是对称轴右侧第一象限抛物线上的两动点，直线AE、AF分别交y轴于M、N若OMON2，求证直线EF过某定点P，并求出定点P点的坐标6如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yax2+2ax+c与x轴交于点A、C，且C(2，0)，与y轴交于点B(0，4)，直线yx+5与x轴交于点D、与y轴交于点E(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接PE，将线段PE绕点E逆时针旋转90得到线段EF，过点F作FMx轴于点M，设P点横坐标为t，FM的长为d，求d与t之间的函数解析式（
5、不要求写自变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，当t时，过E点作EHDE交MF的延长线于点H，Q是AC的中点，连接PQ、DH交于点G，求G点坐标7直线：与抛物线相交于点A，B，与y轴相交于点C，点在L上且位于点A，B之间，轴交l于点Q(1)小静得出结论：l与L有一个公共点在x轴上，请判断小静的结论是否正确，并说明理由(2)若，如图1当时，求点Q的坐标；当m为何值时，的面积最大？并求出这个最大值(3)若n随m的增大而增大，直接写出a的取值范围8已知：抛物线与x轴交点和点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)P为直线上方抛物线上一点，过点P作轴于点H，交于点D，连接、，设的面积为S，
6、点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；(3)如图在（2）的条件下，在线段上取点M，使，在第一象限的抛物线上取点N，连接、，过点M作交直线于点G，连接，求线段的长9如图，二次函数yax2+bx3（x3）的图象过点A（1，0），B（3，0），C（0，c），记为L将L沿直线x3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A，C(1)求a，b，c的值；(2)画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；(3)某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线ym和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）直接写出m的取值范围；若MNB为等腰直角
7、三角形，求m的值10如图，以AB为直径的D与抛物线yabxc交于点A、B、C，与y轴交于点E，点A、C的坐标分别是（-3，0）、（0，3），过点B作y轴的垂线垂足为F（0，4）(1)求线段CE的长；(2)求抛物线的函数表达式：(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使P与直线AB和x轴都相切?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由11已知：抛物线y（x+k）（x7）交x轴于A、B（A左B右），交y轴正半轴于点C，且OBOC(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接AP，AP交y轴于点D，设P的横坐标为m，CD的长为d，求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的
8、取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，过点P作PEy轴于点E，延长EP至点G，使得PG3CE，连接CG交AP于点F，且AFC45，连接AG交抛物线于T，求点T的坐标12如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点 的左侧），与轴交于点 ，抛物线经过点和点，点是第一象限抛物线上的一个动点(1)求直线和抛物线的表达式；(2)在轴上取点，连接，当四边形的面积是时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴的左侧时，直线上存在两点，（点在点的上方），且，动点从点出发，沿的路线运动到终点，当点的运动路程最短时，请直接写出点的坐标参考答案1（1）解：抛物线经过，两点，解得：，抛
9、物线的解析式为：（2）解：如图1，设对称轴与轴交于点，平分，又，抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线，在中，；（3）解：由题意可知：，直线经过，直线解析式为，抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点，坐标为；，设点坐标为，则，则，若与全等，有两种情况，当，即，解得：，即点坐标为，当，即，解得：，即点坐标为，故若与全等，点有四个，坐标为，2(1)设，过点作AEx轴于点E，则OE=-x,AE=x2所以OA=代入y=x2，m=22=4，B(2，4)，OC = 2,BC = 4,OB=AOB = 90,AOE BOC = 90,OEA =BCO = 90AOEOAE = 90OAE =BOC,OAEBOC,(
10、2)如图，过点A作AEx轴于点E，过点O作OFAB于点F，BCx轴，垂足为C设A(a，a2) ，B(b，b2)则OE-a,AE=a2,BCx轴，垂足为C，OC = b，BC = b2，若AOB与OBC相似，分两种情况讨论：当ABO=CBO时，BOC = BAO，由（1）知，BOC=OAE:OAB= OAE，OC = OF，OE = OF，OC=OE，a=b，根据对称性，a2=b2，AB/x轴，四边形AECB是矩形，OC在y轴上，OF =OC= BC， 45当ABO=BOC时，AB/x轴，同可得综上，(3)由可知，B(2,4)，设直线的解析式为则解得直线的解析式为设，则设，根据题意不变，则为定值
11、，依题意，是直径，则是直角三角形EFR周长为取得最大值时，EFR周长最大时，EFR周长最大，此时(4)如图，连接,取的中点， 在以为半径的上由（3）可知，,最小值为=3（1）解：抛物线过点B(1，0)，0=a+3a-2，解得a=，y=x2+x2；（2）解：令y=x2+x2=0，(x+4)(x-1)=0，x=-4或1，A(-4，0)，令x=0，则y=-2，D在抛物线上，设D(m，m2+m2)，设直线AC的解析式为y=kx+b， ，解得，y=-x-2，则F(m，-m-2)， EF=m+2，AE=m-(-4)=m+4，AEF=AOC=90，sinEAF= ，FDG+DFG=90，EAF+AFE=90
12、，AFE=GFD，FDG=EAF，sinFDG=sinEAF=，DF=-m-2-(m2+m2)=-m2-2m，FG=(-m2-2m)，AF=EF=(m+2)，AF：FG=5：3，(m+2)：(-m2-2m)=5：3，整理得(m+3)(m+4)=0，解得m=-3或-4(m=-4时，D于A重合，舍去)，m=-3，D(-3，-2)；（3）解：设D(m，m2+m2)，设直线AD的解析式为y=px+q，则-4p+q=0，mp+q=m2+m2，解得p=，q=2(m-1)，直线AD的解析式为y=x+2(m-1)，令x=-3，则y=m-，E(-3，m-)，NE=-m，令x=m，y=m2+m2，设直线BD的解析
13、式为y=ux+v，则u+v=0，mu+v=m2+m2，解得u=(m+4)，v=-(m+4)，设直线BD的解析式为y=(m+4)x-(m+4)，令x=-3，则y=-2(m+4)= -2m-8，F(-3，-2m-8)，NF=2m+8，4NE+NF=4(-m)+2m+8=104(1)解：抛物线的对称轴为直线，解得，图象与x轴交于A，解得，令，即，解得，B（3，0）(2)由已知可得OMEN为矩形，MN=OE，当ODBC时，MN=OE最小，由（1）可知B（3，0）、C（0，3），设直线BC：，将B、C点代入，解得，直线BC：，直线DE：(3)直线DE：，联立抛物线和直线DE，得：，解得，即D过D点作对称
14、轴的垂线交于点M，过D点作对称轴的垂线交于点N，设存在点F（1，m），由已知可得，DFDF，DF= DF，易证DFMF DN（AAS），DM=NF=，FM= DN=，D点D在抛物线上，令，化简得：，当时，当时，F（1，0）、（1，） 5(1)解：令，解得， A点坐标为，B点坐标为；令，则， C点坐标为，故答案为：，(2)解：如图，过点C作于点H，则tanCAH2， A点坐标为，C点坐标为，在和中，；设，则，解得，设AD所在直线的解析式为，将点，代入可得，解得，AD所在直线的解析式为，将与联立，解得，当时，D点的坐标为(3)解：设，将点的坐标为代入可得，将AE所在直线的解析式与抛物线的解析式联立
15、，可得，解得，当时，同理可得，设EF所在直线的解析式为，将点，代入可得，解得，EF所在直线的解析式为：，EF所在直线过定点，此点到原点的距离为定值，定点P的坐标为6（1）解：把B（0，4），C（2，0）代入yax2+2ax+c得，解得，抛物线解析式为yx2x+4；（2）如图，分别过P、F向y轴作垂线，垂足分别为P、F，EPPEFF90，由旋转可知，PEEF，PEF90，由直线DE的解析式为：yx+5，则E（0，5），OE5，PEO+OEF90，PEO+EPP90，EPPOEF，PEPEFF（AAS），PPEFt，则dFMOFOEEF5（t）5+t；（3）如图，由直线DE的解析式为：yx+5，E
16、HED，直线EH的解析式为：yx+5，令yx2x+40，x4或x2，A（4，0）t，P（，+1），EP5（+1）4，FFOMEP4，H（4，+1），P与H的纵坐标相等，PHx轴，PH4，PHDHDQ，QPHPQD，点Q是AC的中点，Q（1，0），DQ4，DQPH4，PGHQGD（AAS），PGGQ，即点G是PQ的中点，作GIx轴于I，作PRx轴于R，GIPR，QGIQPR，,G（，）7（1）解：正确理由：令y=0，对于函数，则x=4，函数经过点（4，0）；令y=0，对于函数，则x=0或x=4，函数经过点（4，0）；l与L有一个公共点（4，0）在x轴上，小静的结论是正确的；（2）解：若，则当时，
17、即，解得当时，；当时，点Q的坐标为或，当时，取得最大值（3）解：由题意，得L经过原点，对称轴为直线，与l的一个公共点在对称轴右侧1）若，L开口向下，点A，B在对称轴两侧，不能使n随m的增大而增大2）若，L开口向上，当点A，B重合时，有两个相等的实数根化为，由，解得当L的顶点在l上时，解得若，则点A，B都在对称轴两侧，n随m的增大而增大；若，则点A，B都在对称轴右侧（或左侧点在对称轴上），n随m的增大而增大a的取值范围是或8（1）解：（1）抛物线与x轴交点A（-1，0）和点B（3，0）， ，解得 ，抛物线的解析式为（2）如图2中，设P（t，-t2+2t+3），C（0，3），B（3，0），直线BC
18、的解析式为y=-x+3，F（t，-t+3），（0t3）（3）由题可知，是等腰直角三角形，如图3，作于Q，于K，连接MN，设D（m,-m+3）,，,NG=DG，MG垂直平分DN，MN=MD，由,，由，由,，由D（m，-m+3），将该点坐标代入抛物线解析式整理后可得,(不符题意，舍去），则直线DN的解析式为：，由于直线MG的解析式为：，9（1）解：把A（1，0），B（3，0），C（0，c）代入yax2+bx3，得，解得，a、b、c的值分别为1、2、3（2）由（1）得，L的解析式为yx22x3（x3），yx22x3（x1）24，该抛物线的对称轴为直线x1，顶点坐标为（1，4），将抛物线y（x1）24
19、沿直线x3翻折得到的抛物线的顶点坐标为（5，4），翻折后的抛物线为y（x5）24，即yx210x+21，K与L关于直线x3对称，“部分抛物线”K的解析式为yx210x+21（x3）画出“部分抛物线”K的图象如图1所示：（3）由得，K与L的公共点为B（3，0），如图2，当直线ym在点B上方，由直线ym与图形W只有两个交点M、N，m0；如图3，当直线ym在点B下方，直线ym经过L、K的顶点M（1，4）、N（5，4），此时直线ym与图形W只有两个交点M、N，m4，综上所述，m0或m4如图2，m0，MNB为等腰直角三角形，设BM交y轴于点D，M（x，x22x3），BMBN，MBN90，BMNBNM45
20、，MNx轴，OBDBMN45，BOD90，OBDODB45，OBOD3，D（0，3），设直线BM的解析式为ykx+3，则3k+30，解得k1，直线BM的解析式为yx+3，点M在直线yx+3上，M（x，x+3），x22x3x+3，解得x12，x23（不符合题意，舍去），M（2，5），m5；如图3，m4，BM2+BN22BM22（31）2+（0+4）240，MN2（51）216，BM2+BN2MN2，此时MNB不是等腰直角三角形，综上所述，m的值是510(1)解：过点D作OF的垂线，垂足为H，BFy轴，BFDHAO，OF=4，OH=2，OC=3， CH=OC-OH=1，DHEC，CE=2CH=2(
21、2)连接AC、BC，如图所示：OA=OC，AB是D的直径，BF=CF=FO -CO=1，点B的坐标是（-1，-4），将A（3，0）、B（1，4）、C（0，3）代入得：，解得：y=x2+2x-3(3)，设存在点P，BP=m+4，过点P作x轴的垂线，垂足为H，AH=2，BH=4，AB=，P与直线AB和x轴都相切，即，存在P，11解：（1）当y0时，（x+k）（x7）0，解得：xk或7，点B的坐标为（7，0），A（k，0），OBOC，OCOB7，点C的坐标为（0，7），将点C的坐标代入抛物线表达式得：（0+k）（07）7，解得：k2，y（x+2）（x7）x2x+7，故抛物线的表达式为yx2x+7；（
22、2）过点P作PKAB与点K，PEy轴于点E，如图1，y（x+2）（x7），P（m，（m+2）（m7），A（2，0），AKm+2，tanPAB，DOAOtanPAB2（）7m，CD7（7m）m，dm（3）过点C作WCED使得WDPD，TLAB，连接WD，WP，设ECk，则PG3k，WCDDEP，CDEP，WDPD，WCDDEP，则PWD为等腰直角三角形，WPD45CFD，WPCG，四边形CGPW为平行四边形，CWPG3kED，CD2kPE，tanAPE，由（2）可得tanPAB，m4，k2，EO7+29，EG10，G（10，9），A（2，0），tanGAB，再设T坐标为（t，（t+2）（t7），
23、则tanTAB，t，T（）12(1)解：设直线的表达式为直线经过点和点，解得直线的表达式为将点、的坐标代入抛物线函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：；(2)解：如图，连接，过点作轴于点，作轴于点，将代入，得，依题意设点的坐标为，四边形的面积是，解得，当时，当时，点的坐标是或(3)解：当点在抛物线对称轴的左侧时，点，令点（0，1）为点，连接，则，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时，点运动的路径最短，由直线DE 的解析式为: ，直线DE与x轴夹角为， 四边形是平行四边形， ， 直线的表达式为：，当y=0时，0=-x+1，解得，x=1， 与x轴的交点为（1，0），由中点坐标公式得：点，直线的表达式为：，联立得得：解得：， 点的坐标为：，将点沿向下平移个单位得：第 32 页 共 32 页
