1、 - 1 - 安徽省滁州市定远县育才学校 2017-2018 学年高一数学下学期第一次月考试题（普通班） 分值： 150 分 时间 120 分钟 一、选择题 (共 12 小题 ,每小题 5.0 分 ,共 60 分 ) 1.已知点 A(1,3)， B(4， 1)，则与向量 同方向的单位向量为 ( ) A ( ， ) B ( ， ) C ( ， ) D ( ， ) 2.向量 a (1， 1)， b ( 1,2)，则 (2a b) a 等于 ( ) A 1 B 0 C 1 D 2 3.在下列向量组中，可以把向量 a (3,2)表示出来的是 ( ) A e1 (0,0)， e2 (1,2) B e1
2、( 1,2)， e2 (5， 2) C e1 (3,5)， e2 (6,10) D e1 (2， 3)， e2 ( 2,3) 4.已知向量 a (cos 75 ， sin 75) ， b (cos 15 ， sin 15) ，则 |a b|的值为 ( ) A B 1 C 2 D 3 5.如图，已知 a， b， 3 ，用 a， b 表示 ，则 等于 ( ) A a b B a b C a b D a b 6.若平面向量 b 与向量 a (1， 2)的夹角是 180 ，且 |b| 3 ，则 b 等于 ( ) A ( 3,6) B (3， 6) C (6， 3) D ( 6,3) 7.河水的流速为
3、5 m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以 12 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中 的速度大小为 ( ) A 13 m/s B 12 m/s C 17 m/s D 15 m/s 8.在四边形 ABCD 中，若 (1,2)， ( 4,2)，则该四边形的面积为 ( ) A B 2 C 5 D 10 9.在 ?ABCD 中， AD 1， BAD 60 ， E 为 CD 的中点，若 1，则 AB 的长为 ( ) - 2 - A 1 B C D 10.锐角 ABC 三边长分别为 x， x 1， x 2，则 x 的取值范围是 ( ) A ( 1,3) B (1,3) C (3， ) D (1,3)(3
4、 ， ) 11.设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 bcosC ccosB asinA，则 ABC 的形状为 ( ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 12.在 ABC 中，若 c4 2(a2 b2)c2 a4 a2b2 b4 0，则 C 等于 ( ) A 90 B 120 C 60 D 120 或 60 二、填空题 (共 4 小题 ,每小题 5.0 分 ,共 20 分 ) 13.设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a 2b 平行，则实数 _. 14.若 |a| 1， |b| 2， a 与 b 的夹角为 60 ，若 (3a
5、5b)( ma b)，则 m 的值为 _ 15.在 ABC 中， a2 b2 bc， sinC 2 sinB，则 A _. 16.关于平面向量有下列四个命题： 若 a b a c，则 b c； 已知 a (k,3)， b ( 2,6)，若 a b，则 k 1； ( )( ) 0. 其中正确的命题为 _ (写出所有正确命题的序号 ) 三、解答题 (共 6 小题 ,共 70 分 ) 17.已知 a， b， c 是同一平面内的三个向量，其中 a (1,2) (1)若 |b| 2 ，且 a b，求 b 的坐标； (2)若 |c| ，且 2a c 与 4a 3c 垂直，求 a 与 c 的夹角 . - 3
6、 - 18.如图，已知 a， b， c， d， e， f，试用 a， b， c， d， e， f 表示以下向量： (1) ； (2) ； (3) . - 4 - 19.已知 (1,0)， (0,1)， (t， t)(t R)， O 是坐标原点 (1)若 A， B， M 三点共线，求 t 的值； (2)当 t 取何值时， 取到最小值？并求出最小值 20.在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 bsinA acosB. (1)求角 B 的 大小； (2)若 b 3， sinC 2sinA，求 a， c 的值 21.(1)已知在 ABC 中， a 2 ， b 2 ，
7、c ，求 A， B， C； (2)在 ABC 中，已知 a 8， B 60 ， c 4( 1)，解此三角形 - 5 - 22.如图所示， ABC 的顶点坐标分别为 A(3,4)， B(0,0)， C(c,0) (1)若 c 5，求 sin BAC； (2)若 BAC 为钝角，求 c 的取值范围 - 6 - 答案解析 1.【答案】 A 【解析】由已知，得 (3， 4)，所以 | | 5， 因此与 同方向的单位向量是 ( ， )，故选 A. 2.【答案】 C 【解析】 2 a b (2， 2) ( 1,2) (1,0)， (2 a b) a (1,0)(1 ， 1) 1， 故选 C. 3.【答案】
8、 B 【解析】由题意知， A 选项中 e1 0， C、 D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选 B. 4.【答案】 B 【解析】如图，将向量 a， b 的起点都移到原点，即 a ， b ，则 |a b| | |且 xOA 75 ， xOB 15 ，于是 AOB 60 ，又因为 |a| |b| 1，则 AOB 为正三角形，从而| | |a b| 1. 5.【答案】 B 【解析】 ( ) a b. 6.【答案】 A 【解析】设 b ka (k， 2k)， k 0，而 |b| 3 ，则 3 ， k 3， b ( 3,6) 7.【答案】 A 【解析】设小船在静水中的速度为 v1， 河水的流速为
9、 v2， v1与 v2的合速度为 v， 为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向， 即小船在静水中的速度 v1斜向上游方向，河水速度 v2平行于河岸， 合速度 v 指向对岸， - 7 - 静水速度 |v1| 13(m/s) 8.【答案 】 C 【解析】 0， AC BD. 四边形 ABCD 的面积 S | | | 2 5. 9.【答案】 B 【解析】设 AB 的长为 a(a 0)， 因为 ， ， 所以 ( )( ) 2 2 a2 a 1. 由已知，得 a2 a 1 1， 又因为 a 0，所以 a ，即 AB 的长为 . 10.【答案】 C 【解析】首先 x (x 1)x 2， x1，其次 x2
10、 (x 1)2(x 2)2，解得 x3，综上 x3.故选 C. 11.【答 案】 B 【解析】因为 bcosC ccosB asinA，所以 sinBcosC sinCcosB sinAsinA，又 sinBcosCsinCcosB sin(B C) sinA联立两式得 sinA sinAsinA由于 A(0 ， ) ， sinA0 ，所以 sinA 1， A .选 B. 12.【答案】 D 【解析】由 c4 2(a2 b2)c2 a4 a2b2 b4 0，得 (a2 b2)2 2(a2 b2)c2 c4 a2b2， ( a2 b2 c2)2 a2b2， a2 b2 c2 ab， cos C
11、， C 120 或 C 60. 13.【答案】 【解析】 a b 与 a 2b 平行， a b t(a 2b) ta 2tb， - 8 - 14.【答案】 【解析】由题意知 (3a 5b)( ma b) 3ma2 (5m 3)ab 5b2 0，即 3m (5m 3)2cos 60 54 0，解得 m . 15.【答案】 30 16.【答案】 【解析】 中， a b a c?a( b c) 0， 当 a 0 时也成立，故 错； 中，若 a b，则有 6 k 23 ?k 1，故 正确； 中， ( )( ) ( )2 ( )2 0，故 正确 17.【答案】解 (1)设 b (x， y)， 因为 a
12、b，所以 y 2x. 又因为 |b| 2 ，所以 x2 y2 20. 由 联立， 解得 b (2,4)或 b ( 2， 4) (2)由已知 (2a c)(4 a 3c)， 得 (2a c)(4 a 3c) 8a2 3c2 2a c 0， 由 |a| ， |c| ， 解得 a c 5， 所以 cos ， 0 ， ， 所以 a 与 c 的夹角 . 【解析】 18.【答案】解 (1) c a. (2) d a. (3) 0. - 9 - 【解析】 19.【答案】解 (1) ( 1,1)， (t 1， t) A， B， M 三点共线， 与 共线， (t 1) t 0， t . (2) (1 t， t)， ( t,1 t)， 2t2 2t 2 2 ，易知当 t时， 取得最小值 . 【解析】 20.【答案】解 (1)由 bsinA acosB 及正弦定理 ， 得 sinB cosB. 所以 tanB ，所以 B . (2)由 sinC 2sinA 及 ，得 c 2a. 由 b 3 及余弦定理 b2 a2 c2 2accosB， 得 9 a2 c2 ac. 所以 a ， c 2 . 【解析】 21.【答案】解 (1)由余弦定理的推论，得 cosA . 0 .
