1、 贵阳市普通高中贵阳市普通高中 20172017- -20182018 学年度第一学期期末质量监测试卷学年度第一学期期末质量监测试卷 高一数学高一数学 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 个小题个小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，选 A. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，选 A. 3. 甲、 乙两人在一次赛跑中， 路程 与时间 的函数
2、关系如图所示， 则下列说法正确的是 （ ） A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多 C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲先到达 终点 【答案】D 【解析】由路程和时间的函数图像可以得到甲和乙同时出发，甲的速度大于乙的速度，甲先 于乙到达.选 D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，故选 D. 5. 若幂函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设，则，故，从而，故选 C. 6. 函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，令，故，符合；当时，令，故，符合， 所以的零点有 2 个，选 B.
3、 7. 在下列给出的函数中，以 为周期且在区间内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，故，又，故，而，故 ，故的大小关系为，选 C. 点睛：注意利用函数的单调性来比较大小. 9. 在中， 为边上一点，且，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】由题设有，整理有，从而有，故 ，选 D. 点睛：在向量的线性运算中，注意利用加减法把未知的向量向已知的向量转化. 10. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变） ，然后向左 平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度
4、，得到的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到的图 像对应的解析式为，然后向左平移 个单位长度后得到的图像对应的解析式为 ，再向下平移 个单位长度后，得到的图像对应的解析式，其最小 正周期为，故排除 C、 D，又该函数的图像过，故选 A. 点睛：一般地，图像变换有周期变换和平移变换，要注意如下事实： （1）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 倍（） ，那么所得图 像对应的解析式为； （2）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为 . 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 4 分，满分
5、分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 11. 如图，若集合，则图中阴影部分表示的 集合为_ 【答案】 【解析】图像阴影部分对应的集合为， ，故，故填 . 12. 已知函数是定义在 上的奇函数，且当时，则的值为 _ 【答案】-1 【解析】因为为奇函数，故，故填. 13. 设向量，则_ 【答案】 14. 设 、 、 为的三个内角，则下列关系式中恒成立的是_（填写序号） ； 【答案】、 【解析】因为是的内角，故，从而 ， 故选、. 点睛：三角形中各角的三角函数关系，应注意利用 这个结论. 15. 如图所示，矩形的三个顶点 ， ， 分别在函数，的图象 上，且矩形的边分别
6、平行于两坐标，若点 的纵坐标为 ，则点 的坐标为_ 【答案】 【解析】因为 的纵坐标为 ，所以令，解得 的横坐标为 ，故令，解 得，故，令，故，所以，填 点睛： 由于是矩形且它的边平行于坐标轴， 所以， 因已知， 故可求， 也就求得了，最后求出即得 的坐标 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 5 5 小题，共小题，共 4040 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 16. 已知，且 为第二象限角. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】 （1）（2） 【解析】试题分析： （1）因为 为第二象限角且正弦已知，故可以利用平方关系计
7、算其余弦， 再利用二倍角公式计算 （2）由（1）可以得到，故利用两角和的正切可得 解析： （1）因为，且 为第二象限角，所以，故 （2）由（1）知，故 17. 设 ， 为两个不共线的向量，若,. （1）若 与 共线，求实数 的值； （2）若 ， 为互相垂直的单位向量，且，求实数 的值. 【答案】 （1）（2）. 【解析】试题分析： （1）因为 与 共线，故存在实数 ，使得，再利用平面向量基本定理 可以求出 （2）因为，故，再利用化简前者，可以得到， 从而得到 解析： （1）设为两个不共线的向量，若，由 与 共线可知，存在实 数 ，使得，即,故 （2） 由得， 即，又，故化简得，则 （或 由为互
8、相垂直的单位向量， 则可设.由可得， 即， 故） 点睛：在向量数量积的计算中，注意合理利用向量垂直简化运算. 18. 已知函数，其中. （1）求的定义域； （2）当时，求的最小值. 【答案】 （1）（2）. 【解析】试题分析： （1）利用对数的真数为正数求出函数的定义域为.（2）在定义域上 把化为，利用二次函数求出，从而求出函数的最小 值为. 解析： （1）欲使函数有意义，则有，解得，则函数的定义域为. （2） 因为， 所以， 配方得到 因 为，故，所以（当时取等号） ，即 的最小值为. 点睛：求与对数有关的函数的定义域，应该考虑不变形时自变量满足的条件. 19. 某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部
9、，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张 球台每小时 5 元；乙家按月计费，一个月中小时以内（含小时）每张球台元，超过小 时的部分每张球台每小时 元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动， 活动时 间不少于小时，也不超过小时，设在甲家租一张球台开展活动 小时的收费为元，在乙 家租一张球台开展活动 小时的收费为元. （1）试分别写出与的解析式； （2）选择哪家比较合算？请说明理由. 【答案】 （1）（） ，（2）见解析 【解析】试题分析： （1）由题设，后者是分 段函数.（2）令，解得，则时，分别有 ，从而可以确定哪家比较合算. 解析： （1）由题设有， . （2）令时，解得
10、；令，解得，所以： 当时， ，选甲家比较合算； 当时，两家一样合算； 当时，选乙家比较合算. 20. 阅读与探究 人教 A 版普通高中课程标准实验教科书 数学 4（必修） 在第一章的小结中写到： 将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标 系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵 坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与 圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系.例如，和单位圆相关的“勾股定 理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性； 单位圆周长为与正弦函数、
11、余弦函数的周 期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等.因此， 三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想. 依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质. 比如：由图 1.2-7 可知，角 的终边落在四个象限时均存在正切线；角 的终边落在 轴上时， 其正切线缩为一个点， 值为 ； 角 的终边落在 轴上时， 其正切线不存在； 所以正切函数 的定义域是. （1）请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性； （2）根据阅读材料中途 1.2-7，若角 为锐角，求证：. 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析： （1）在单位圆中画出
12、角的正切线，观察随 增大正切线的值得变 化情况，再观察时，正切线的值随 增大时的变化情况，发现正切函数在区间 上单调递增.（2）当 是锐角时，有，由此得到 . 解析： （1）当时， 增大时正切线的值越来越大；当时，正切线与区间 上的情况完全一样； 随着角 的终边不停旋转， 正切线不停重复出现， 故可得出正切函数 在区间上单调递增；由题意知正切函数的定义域关于原点对称， 在坐标系中画出角 和，它们的终边关于 轴对称，在单位圆中作出它们的正切线，可以发 现它们的正切线长度相等，方向相反，即，得出正切函数为奇函数. （2）如图，当 为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线，正切线，又因为，所以 ，又 ，而 ，故即. 点睛：三角函数线是研究三角函数性质（如定义域、值域、周期性、奇偶性等）的重要工具， 它体现了数形结合的数学思想，是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具.
