1、 两个计数原理两个计数原理 复习课复习课(一一) 计数原理计数原理 (1)两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以 选择题、填空题的形式出现，难度中等选择题、填空题的形式出现，难度中等 (2)运用两个计数原理解题的关键在于正确区分运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类分类”与与 “分步分步”分类就是能分类就是能“一步到位一步到位”任何一类中任何一种任何一类中任何一种 方法都能完成这件事情，而分步则只能方法都能完成这件事情，而分步则只能“局部到位局部到位”任何任何 一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一步中任何一种方
2、法都不能完成这件事情，只能完成事件的某 一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成 考点精要考点精要 计数原理计数原理 (1)分类加法计数原理：分类加法计数原理：Nn1n2n3nm； (2)分步乘法计数原理：分步乘法计数原理：Nn1 n2 n3 nm 典例典例 如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色 的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两 池的花色不同，则最多的栽种方案有池的花色不同，则最多的栽种方案有 ( ) A180 种种 B24
3、0 种种 C360 种种 D420 种种 解析解析 由题意知，最少用三种颜色的花卉， 按照花卉选种由题意知，最少用三种颜色的花卉， 按照花卉选种 的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色 当用三种颜色时，花池当用三种颜色时，花池 2,4 同色和花池同色和花池 3,5 同色，此时共同色，此时共 有有 A3 5种方案 种方案 当用四种颜色时，花池当用四种颜色时，花池 2,4 同色或花池同色或花池 3,5 同色，故共有同色，故共有 2A4 5种方案 种方案 当用五种颜色时有当用五种颜色时有 A5 5种方案 种方案 因此所有栽种方案为
4、因此所有栽种方案为 A3 5 2A4 5 A5 5 420(种种) 答案答案 D 类题通法类题通法 使用两个原理解决问题时应注意的问题使用两个原理解决问题时应注意的问题 (1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理 又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画 出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰 (2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类 方法里再分步方法里再分步 题组训练题组训练 1从黄瓜、白菜、油菜、
5、扁豆从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出种蔬菜品种中选出 3 种，分别种，分别 种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种 植方法有植方法有 ( ) A24 种种 B18 种种 C12 种种 D6 种种 解析：解析：选选 B 法一：法一：(直接法直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有若黄瓜种在第一块土地上，则有 326 种不同的种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块种不同的种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块 土地上均有土地上均有 326 种不同的种植方法 故不同的种植方法共种不同的种植方法 故不同的种植方法共 有有 6318
6、 种种 法二：法二：(间接法间接法)从从 4 种蔬菜中选出种蔬菜中选出 3 种种在三块地上，有种种在三块地上，有 43224 种方法，其中不种黄瓜有种方法，其中不种黄瓜有 3216 种方法，种方法， 故共有不同的种植方法故共有不同的种植方法 24618 种种 2有红、黄、蓝旗各有红、黄、蓝旗各 3 面，每次升一面、二面或三面在旗杆上面，每次升一面、二面或三面在旗杆上 纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共 可以组成的信号有可以组成的信号有_种种 解析：解析：每次升每次升 1 面旗可组成面旗可组成 3 种不同的信号；每次升种不同的
7、信号；每次升 2 面面 旗可组成旗可组成 339 种不同的信号；每次升种不同的信号；每次升 3 面旗可组成面旗可组成 33327 种不同的信号根据分类加法计数原理，共可种不同的信号根据分类加法计数原理，共可 组成组成 392739 种不同的种不同的信号信号 答案：答案：39 排列与组合应用问题排列与组合应用问题 (1)高考中往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综高考中往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综 合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空 题形式出现，有时与概率结合考查题形式出现，有时与概率结合考查 (2)解决排列组合
8、问题的关键是掌握四项基本原则解决排列组合问题的关键是掌握四项基本原则 特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置， 优先考虑这些特殊元素或特殊位置的解题原则优先考虑这些特殊元素或特殊位置的解题原则 先取后排原则： 在既有取出又需要对取出的元素进行排先取后排原则： 在既有取出又需要对取出的元素进行排 列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进 行排列行排列 正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问 题的原则题的原则 先分组后分配
9、原则： 在分配问题中如果被分配的元素多先分组后分配原则： 在分配问题中如果被分配的元素多 于位置，这时要先进行分组，再进行分配于位置，这时要先进行分组，再进行分配 考点精要考点精要 1排列与组合的概念排列与组合的概念 名称名称 定义定义 排列排列 从从n个不同元素个不同元素 中 取 出中 取 出 m(mn) 个元素个元素 按照一定的顺序排按照一定的顺序排 成一列成一列 组合组合 合成一组合成一组 2排列数与组合数的概念排列数与组合数的概念 名称名称 定义定义 排列数排列数 从从n个不同元素中取个不同元素中取 出出m(mn)个元素的个元素的 所有不同所有不同 排列的个数排列的个数 组合数组合数
10、组合的个数组合的个数 3排列数与组合数公式排列数与组合数公式 (1)排列数公式排列数公式 Am n n(n1)(nm1) n！ nm ！； ；An n n！ ！ (2)组合数公式组合数公式 Cm n A m n Am m n n 1 n2 nm1 m！ n！ m！ nm ！ 4组合数的性质组合数的性质 (1)Cm n Cn m n ；(2)Cm n Cm 1 n Cm n 1 典例典例 (1)一排一排 9 个座位坐了个座位坐了 3 个三口之家， 若每家人坐在一个三口之家， 若每家人坐在一 起，则不同的坐法种数为起，则不同的坐法种数为 ( ) A33! B3(3！)3 C(3！)4 D9! (2
11、)(重庆高考重庆高考)某次联欢会要安排某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、个歌舞类节目、2 个小品类个小品类 节目和节目和 1 个相声类节目的演出顺序， 则同类节目不相邻的排法种数个相声类节目的演出顺序， 则同类节目不相邻的排法种数 是是 ( ) A72 B120 C144 D168 (3)从从 6 位同学中选出位同学中选出 4 位参加一个座谈会，要求张、王两同位参加一个座谈会，要求张、王两同 学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为 ( ) A9 B14 C12 D15 解析解析 (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这把一家三口看作一个排列，然后再
12、排列这 3 家，家， 所以有所以有(3！)4种种 (2)依题意， 先仅考虑依题意， 先仅考虑 3 个歌舞类节目互不相邻的排法种数为个歌舞类节目互不相邻的排法种数为 A3 3A 3 4 144，其中，其中 3 个歌舞类节目互不相邻但个歌舞类节目互不相邻但 2 个小品类节目相个小品类节目相 邻的排法种数为邻的排法种数为 A2 2A 2 2A 3 3 24，因此满足题意的排法种数为，因此满足题意的排法种数为 144 24120，选，选 B (3)法一：法一：(直接法直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，分两类，第一类张、王两同学都不参加， 有有 C4 4种选法；第二类张、王两同学中只有 种选法
13、；第二类张、王两同学中只有 1 人参加，有人参加，有 C1 2C 3 4种 种 选法故共有选法故共有 C4 4 C1 2C 3 4 9 种选法种选法 法二：法二：(间接法间接法)C4 6 C2 4 9 种种 答案答案 (1)C (2)B (3)A 类题通法类题通法 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 (1)相邻问题捆绑法在特定条件下，将几个相关元素视相邻问题捆绑法在特定条件下，将几个相关元素视 为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内内 部部”的排列的排列 (2)相间问题插空法先把一般元素排好
14、，然后把特定元相间问题插空法先把一般元素排好，然后把特定元 素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用 (3)特殊元素特殊元素(位置位置)优先安排法 优先考虑问题中的特殊元优先安排法 优先考虑问题中的特殊元 素或位置，然后再排列其他一般元素或位置素或位置，然后再排列其他一般元素或位置 题组训练题组训练 1有有 5 盆各不相同的菊花，其中黄菊花盆各不相同的菊花，其中黄菊花 2 盆、白菊花盆、白菊花 2 盆、红菊盆、红菊 花花 1 盆，现把它们摆放成一排，要求盆，现把它们摆放成一排，要求 2 盆黄菊花必须相邻，盆黄菊花必须相邻，2 盆白菊花
15、不能相邻，则这盆白菊花不能相邻，则这 5 盆花的不同摆放种数是盆花的不同摆放种数是 ( ) A12 B24 C36 D48 解析：解析： 选选 B 2 盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排 列，列，2 盆白菊花采用插空法，所以这盆白菊花采用插空法，所以这 5 盆花的不同摆放共盆花的不同摆放共 有有 A2 2A 2 2A 2 3 24 种种 2某班准备从含甲、乙的某班准备从含甲、乙的 7 名男生中选取名男生中选取 4 人参加人参加 4100 米米 接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时 参加
16、， 则他们在赛道上顺序不能相邻， 那么不同的排法种数参加， 则他们在赛道上顺序不能相邻， 那么不同的排法种数 为为 ( ) A720 B520 C600 D360 解析：解析：选选 C 根据题意，分根据题意，分 2 种情况讨论种情况讨论只有甲乙其中只有甲乙其中 一人参加，有一人参加，有 C1 2C 3 5A 4 4 480 种情况；种情况；若甲乙两人都参加，若甲乙两人都参加， 有有 C2 2C 2 5A 4 4 240 种情况，其中甲乙相邻的有种情况，其中甲乙相邻的有 C2 2C 2 5A 3 3A 2 2 120 种情况， 不同的排法种数为种情况， 不同的排法种数为 480240120600
17、 种， 故选种， 故选 C 二项式定理及应用二项式定理及应用 (1)求二项展开式中的项或项的系数是高考的热点，通常以求二项展开式中的项或项的系数是高考的热点，通常以 选择题、填空题形式考查，难度中低档选择题、填空题形式考查，难度中低档 (2)解决此类问题常遵循解决此类问题常遵循“知四求一知四求一”的原则的原则 在二项式的通项公式中共含有在二项式的通项公式中共含有 a, b， n， k， Tk 1这五个元素，这五个元素， 只要知道其中的只要知道其中的 4 个元素，便可求第个元素，便可求第 5 个元素的值，在有关二个元素的值，在有关二 项式定理的问题中，常常会遇到这样的问题：知道这项式定理的问题中
18、，常常会遇到这样的问题：知道这 5 个元素个元素 中的若干个中的若干个(或它们之间的关系或它们之间的关系)，求另外几个元素，求另外几个元素 这类问题这类问题 一般是利用通项公式，把问题归结为解方程一般是利用通项公式，把问题归结为解方程(组组)或不等式或不等式 (组组) 这里要注意这里要注意 n 为正整数，为正整数，k 为自然数，且为自然数，且 kn 考点精要考点精要 1二项式定理二项式定理 二项式定理二项式定理 (ab)nC0 na n C1 na n1b Ck na nkbk Cn nb n(n N*) 二项式系数二项式系数 二项展开式中各项系数二项展开式中各项系数 Cr n(r 0,1，n
19、) 二项式通项二项式通项 Tr 1Crnan rbr，它表示第 ，它表示第 r1 项项 2二项式系数的性质二项式系数的性质 典例典例 (1)已知已知(1ax)(1x)5的展开式中的展开式中 x2的系数为的系数为 5，则，则 a ( ) A4 B3 C2 D1 (2)设设 m 为正整数，为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为 a，(xy)2m 1 展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为 b，若，若 13a7b，则，则 m ( ) A5 B6 C7 D8 (3)若若(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则，则 a1a2a3a4 _
20、 解析解析 (1)展开式中含展开式中含 x2的系数为的系数为 C2 5 aC1 5 5， 解得， 解得 a1， 故选故选 D (2)由题意得：由题意得：aCm 2m， ，bCm 2m 1， 所以所以 13Cm 2m 7Cm 2m 1， 13 2m ！ ！ m！ m！ 7 2m1 ！ m！ m1 ！， ， 7 2m 1 m1 13，解得，解得 m6，经检验为原方程的解，选，经检验为原方程的解，选 B (3)令令 x1 可得可得 a0a1a2a3a41，令，令 x0，可得，可得 a01， 所以所以 a1a2a3a40 答案答案 (1)D (2)B (3)0 类题通法类题通法 求二项式展开式有关问题
21、的常见类型及解题策略求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项可依据条件写出第求展开式中的特定项可依据条件写出第 r1 项，再由项，再由 特定项的特点求出特定项的特点求出 r 值即可值即可 (2)已知展开式的某项，求特定项的系数可由某项得出参已知展开式的某项，求特定项的系数可由某项得出参 数项，再由通项公式写出第数项，再由通项公式写出第 r1 项，由特定项得出项，由特定项得出 r 值，最后值，最后 求出其参数求出其参数 (3)与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解 题组训练题组训练 1在在 x(1x)6的展开式中，
22、含的展开式中，含 x3项的系数为项的系数为 ( ) A30 B20 C15 D10 解析：解析：选选 C 只需求只需求(1x)6的展开式中含的展开式中含 x2项的系数即项的系数即 可，而含可，而含 x2项的系数为项的系数为 C2 6 15，故选，故选 C 2若若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则，则 a0a2a4的值为的值为 ( ) A9 B8 C6 D5 解析：解析：选选 B 令令 x1，则，则 a0a1a2a3a40，令，令 x 1，则，则 a0a1a2a3a416，a0a2a48 “回扣验收特训回扣验收特训”见见“回扣验收特训（一）回扣验收特训（一）” ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )
