1、乘法公式乘法公式1 1 5米5米x 米米(X-5)米米(X+5)米米 (a+2)(a-2)=?(2)(3-x)(3+x)=?(3)(2m+n)(2m-n)=?观察以上算式，你发现了什么规律？观察以上算式，你发现了什么规律？运算出结果，你又发现了什么？运算出结果，你又发现了什么？(a a+b b)()(a a-b b)两数两数和和与这两数与这两数差差的的积积，等于这两数的等于这两数的平方差。平方差。=a a2 2-b b2 2(a a+b b)()(a a-b b)两数两数和和与这两数与这两数差差的的积积，等于这两数的等于这两数的平方差。平方差。=a a2 2-b b2 2abab 如图：在边长
2、为如图：在边长为a的大正方形的一角剪去一个边长的大正方形的一角剪去一个边长为为b的小正方形。的小正方形。1图中的红色局部局部面积是图中的红色局部局部面积是_22ba 2你能否将红色局部拼成一个完整的长方形图案吗？你能否将红色局部拼成一个完整的长方形图案吗？)(baba 你能从你能从这个游这个游戏中得戏中得到一个到一个怎样的怎样的等式？等式？你拼出的长方形的面积是你拼出的长方形的面积是_一应用公式：一应用公式：例例1.利用平方差公式计算先确定各题的利用平方差公式计算先确定各题的a与与b，再，再填空填空(1)(5+6x)(5-6x)=()2-()2=_(2)(x-2y)(x+2y)=()2-()2
3、=_(3)(-m+n)(-m-n)=()2-()2=_准确确定准确确定a和和b符号相同的项是符号相同的项是a,符号相反的项是符号相反的项是b56x25-36x2x2yx2-4y2-mnm2-n2问题：利用平方差公式计算的关键是问题：利用平方差公式计算的关键是_ 怎样确定怎样确定a与与b_判断并改错：判断并改错：(1)(a+3)(a-3)=a-3 ()改正：改正：(2)(5y+2)(5y-2)=5y-4 ()改正：改正：(3)(1-4xy)(-1-4xy)=1-16xy ()改正：改正：(4)(-ab+3c)(-3c-ab)=ab-9c ()改正：改正：(5)(-m+7)(7-m)=m-49 (
4、)改正：改正：(a+3)(a-3)=a-9(5y+2)(5y-2)=25y-4原式=(-4xy+1)(-4xy-1)=16xy-1(-m+7)(7-m)=(7-m)(7-m)=(7-m)例例2 2、用平方差公式计算、用平方差公式计算:(1)(1)10310397 97 =(100+3)(100-3)=(100+3)(100-3)=100=1002 2-3-32 2=10000-9=10000-9=9991=9991=(60-0.2)(60+0.2)=(60-0.2)(60+0.2)=60=602222989991100)3(运用平方差公式进行计算运用平方差公式进行计算:200520072006
5、)6(1000110199)5(31143215)4(9.3991.400)3(13111321)2(98.002.1)1(2(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)=a2-b2两数和与这两数差的积，两数和与这两数差的积，等于它们的平方差等于它们的平方差1)1)左边为两个数的和与差的积左边为两个数的和与差的积,右边为两个右边为两个数的平方差数的平方差2)2)有些式子通过适当变形实质上能用公式有些式子通过适当变形实质上能用公式3)3)公式中的公式中的a a和和b b可以是数可以是数,也可以是整式也可以是整式 4)4)最后结果必须化简最后结果必须化简 一养鸡专业户改建一个一养鸡专业户改建一个边长
6、为边长为 a(m)的正方形养鸡场的正方形养鸡场,方案纵向扩大方案纵向扩大3m,横向缩短横向缩短3m,改建为长方形养鸡场改建为长方形养鸡场.问问改建后的养鸡场面积有没有改建后的养鸡场面积有没有变化变化?如果有变化如果有变化,变化多少变化多少?原正方形的面积原正方形的面积=a2改建后的长方形的面积改建后的长方形的面积=(a+3)(a-3)=a2-9(a+3)(a-3)-a2=a2-9-a2=-9a a2 2-b b2 2a a2 2-b b2 2b b2 2-a a2 2b b2 2-a a2 2运用平方差公式计算运用平方差公式计算:)32)(32(1baba、222232)3()2(baba练习
7、练习2 2：2 2、567856785680-56795680-56792 2=(5679-1)(5679+1)-5679=(5679-1)(5679+1)-56792 2=5679=56792 2-1-5679-1-56792 2=-1=-1 运用平方差公式计算运用平方差公式计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)+1=(28-1)(28+1)+1=216-1+1=216 本章要点聚焦本章要点聚焦一、四边形的概念一、四边形的
8、概念1.1.定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形首尾顺次相接组成的图形.2.2.四边形的内角和与外角和均为四边形的内角和与外角和均为360360.3.3.四边形具有不稳定性四边形具有不稳定性.4.4.多边形内角和定理：多边形内角和定理：n n边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2)(n-2)1801805.5.多边形外角和定理：多边形外角和定理：n n边形的外角和等于边形的外角和等于360360.6.6.多边形的对角线多边形的对角线.二二.重要知识规律总结重要知识规律总结:条条(n3)(n3)2 23 3)n n(
9、n n1.1.多边形的对角线多边形的对角线.n n边形的内角和为：边形的内角和为：n n2)2)180180(n3).(n3).2.2.多边形的内角和公式多边形的内角和公式.3.3.平行四边形的性质有：平行四边形的性质有：平行四边形的平行四边形的对边相等对边相等平行四边形的平行四边形的对边平行对边平行平行四边形的平行四边形的对角相等对角相等平行四边形的平行四边形的对角线互相平分对角线互相平分平行四边形平行四边形邻角互补邻角互补中心对称中心对称两个推论两个推论:定理定理2 2：两组对边分别相等两组对边分别相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.定义定义:两组对边分别平行两组对边分别平行的四
10、边形是的四边形是平行四边形平行四边形.定理定理1:1:一组对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.4.4.平行四边形的判定平行四边形的判定:平行四边形平行四边形定理定理4 4：两组对角分别相等两组对角分别相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.推论推论1:有有一组对边平行且有一组对角相等一组对边平行且有一组对角相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.三角形的中位线平行于第三边，并且等三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半于第三边的一半.5.5.三角形的中位线三角形的中位线6.6.逆命题与逆定理逆命题与逆定理.重要逆定理重要逆定理:如果三角
11、形两边的平方和等于第三边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形定理定理1:1:到一条线段的两个端点的距离相等的点到一条线段的两个端点的距离相等的点,在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上.定理定理2:2:如果三角形一边上的中线等于这边一半如果三角形一边上的中线等于这边一半,那那么这个三角形是直角三角形么这个三角形是直角三角形定理定理3:3:一个图形绕一点旋转一个图形绕一点旋转180180度后与原度后与原来图形重合来图形重合.中心对称图形中心对称图形:关于一点成关于一点成中心对称中心对称:一个图形绕一点旋转一个图形绕一点旋转1
12、80度后与度后与另一图形互相重合另一图形互相重合.性质性质:对称中心平分连接两个对称点的线段对称中心平分连接两个对称点的线段直角坐标系中直角坐标系中,点点(x,yx,y)关于原点对称的点是关于原点对称的点是(-x,-y-x,-y)3 3、如图，在锐角、如图，在锐角ABCABC中，中，CDCD、BEBE分分别是别是ABAB、ACAC边上的高，且边上的高，且CDCD、BEBE交于一点交于一点P P，假设，假设A=50A=50，那么，那么BPCBPC的度数是的度数是 ()()4 4、一个正多边形它的一个外角等于与它相邻的内角的、一个正多边形它的一个外角等于与它相邻的内角的四分之一，这个多边形是正边形
13、。四分之一，这个多边形是正边形。B B1 1、在四边形中、在四边形中ABCDABCD，A=500A=500，B=900B=900，C=410C=410，那么那么D=D=；2 2、一个多边形的内角和等于、一个多边形的内角和等于10801080，这个多边形的边，这个多边形的边数是数是A A十十1791790 0根底练习根底练习5 5、下例不能判定四边形、下例不能判定四边形ABCDABCD是平行四边形的是是平行四边形的是 A A、AB=CD AD=BC BAB=CD AD=BC B、AB=CD ABCDAB=CD ABCD C C、AB=CD ADBC DAB=CD ADBC D、AB CD ADB
14、CAB CD ADBC6 6、如下图，在、如下图，在ABCABC中，中，D D、E E、F F分别为分别为ABAB、BCBC、CACA边边的中点，那么图中共有平行四边形的中点，那么图中共有平行四边形()()个个 个个 个个 个个 A D F EB C7 7、如图、如图 ABCDABCD的对角线的对角线BDBD上有两点上有两点E E、F F，要使四边形，要使四边形AECFAECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （填（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形），上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形），并写出你的证明过程。并写出你的证明过程。C
15、 CC CBE=DFBE=DF、BF=DEBF=DE，AEFCAEFC、AFECAFEC8 8、如图在、如图在 ABCDABCD中中CEABCEAB，E E为垂足，为垂足，若若A=125A=1250 0，那么，那么BCE=BCE=。A DE B C9 9、如图在、如图在 ABCABC中中,EFAB,DE:EA=2:3,EF=4,EFAB,DE:EA=2:3,EF=4,则则CD=CD=。D C E F A B A D B C1010、如图在、如图在 ABCDABCD中中,AD=5,AB=3,AE,AD=5,AB=3,AE平分平分 BADBAD交交BCBC于于点点E,E,则则BE=BE=，。A D
16、 OB C1111、在、在 ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于相交于O O点，点，AC=10,BD=8AC=10,BD=8，则，则ADAD的取值范围是的取值范围是()()A.AD A.AD1 B.AD1 B.AD9 9 C.1 C.1ADAD9 D.AD9 D.AD0 035350 010103 32 2C C1212、判断题、判断题:1 1邻角互补的四边形是平行四边形邻角互补的四边形是平行四边形.2 2一组对边平行一组对边平行,另一组对边相等的四边形是另一组对边相等的四边形是平行四边形平行四边形.3 3一组对边平行一组对边平行,一组对角相等的四边形是一组对角相等的四
17、边形是平行四边形平行四边形.4 4对角线相等的四边形是平行四边形对角线相等的四边形是平行四边形.1313、某人到瓷砖商店去购置一种多边形形状的瓷砖，用、某人到瓷砖商店去购置一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板他购置的瓷砖形状不可以是来铺设无缝地板他购置的瓷砖形状不可以是 A A正三角形正三角形 B B正四边形正四边形 C C正八边形正八边形 D D正六边形正六边形 1414、平行四边形一边长为、平行四边形一边长为12cm12cm，那么它的两条，那么它的两条对角线的长度可能是对角线的长度可能是 A A8cm8cm和和14cm 14cm B B10cm10cm和和14cm 14cm C C18c
18、m18cm和和20cm 20cm D D10cm10cm和和34cm34cmC CC C1515、在平行四边形、在平行四边形ABCDABCD中中,AC=10,BD=8,AC=10,BD=8,那么那么ABAB的取值的取值范围是范围是()()A A、2AB18 B2AB18 B、1AB9 1AB2 DAB2 D、AB9AB91616、平行四边形一边长为、平行四边形一边长为 10,10,那么它的两条对角线可那么它的两条对角线可以是以是()()A A、6,8 B6,8 B、8,12 8,12 C C、8,14 D8,14 D、6,146,14B BC C 例题解析例题解析【例例1 1】如图，在如图，在
19、 ABCDABCD中，中，O O是对角线是对角线ACAC的中点，过的中点，过O O点作直线点作直线EFEF分别交分别交BCBC、ADAD于于E E、F.F.(1)(1)求证：求证：BE=DF.BE=DF.(2)(2)若若ACAC、EFEF将将 ABCDABCD分成的四部分的面积相等，指分成的四部分的面积相等，指出出E E点的位置，并说明理由点的位置，并说明理由.【例【例2 2】如下图，如下图，ABCD ABCD的周长为的周长为30cm30cm，AEBCAEBC于于E E点，点，AFCDAFCD于于F F点，且点，且AEAF=23AEAF=23，C=120C=120，求，求S S ABCD.AB
20、CD.27 (cm2).3 C23，-2 C-23，2 【例例3 3】如图如图RtRtOABOAB的两条直角边都在坐标轴上，的两条直角边都在坐标轴上，AO=2AO=2，OBA=30OBA=300 0，求以，求以O O、A A、B B为其中三个顶点的为其中三个顶点的平行四边形的第四个顶点平行四边形的第四个顶点C C的坐标。的坐标。C23，2 A O B 【例【例4 4】如图平行四边形】如图平行四边形ABCDABCD的周长是的周长是1414，两条对角，两条对角线线ACAC：BD=2BD=2：3 3，ACAC与与BDBD交于交于O O，AOBAOB和和BOCBOC的周长和是的周长和是1717，那么那
21、么AC=AC=，BD=BD=。A D OB C【例【例5 5】如图在】如图在ABCABC中点中点D D、E E分别是分别是ABAB，ACAC边的中点，边的中点，假设把假设把ADEADE饶着点饶着点E E顺时针旋转顺时针旋转18001800得到得到CEFCEF。1 1请指出图中哪些线段与线段请指出图中哪些线段与线段CFCF相等；相等；2 2试判断四边形试判断四边形DBCFDBCF是怎样的四边形？证明你的结论。是怎样的四边形？证明你的结论。A AE EF FD DB BC C2 2、四边形、四边形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，那么，那么：的值可能是的值可能是 1 1、在一个四边形中
22、，、在一个四边形中，：，求这个四边形各内角的度数？：，求这个四边形各内角的度数？A A、：、：5 5：B B、：、：C C、：、：5 5：4 D4 D、：、：5 5：3 3、一个多边形、一个多边形,除了一个内角外除了一个内角外,其余内角和为其余内角和为12051205度度,那么这个内角是多少度那么这个内角是多少度,这是个几边形这是个几边形?D D4 4、如图、如图,在在ABCABC中中,AB=AC=5,D,AB=AC=5,D是是BCBC上的点上的点,DEAB,DEAB交交ACAC于点于点E,DFACE,DFAC交交ABAB于点于点F,F,那么四边形那么四边形AFDEAFDE的周长是的周长是()
23、()B B5 5、已知已知：如图，在：如图，在ABCDABCD中，中，E E，F F是对角线是对角线ACAC上的两上的两点，且点，且AE=CFAE=CF，求证求证：四边形：四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形 6 6.已知已知：如图，在：如图，在ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是ADAD，BCBC的中点的中点求证求证：MNBCMNBC，且，且MN=BCMN=BC127 7、已知如图在、已知如图在 ABCDABCD中中,过点过点O O做任意直线与一组做任意直线与一组对边分别交于点对边分别交于点E E和和F,F,求证：求证：OE=OFOE=OFB BD DC CA AO
24、OE EF FA AB BC CD DO O8 8、如图，、如图，ABCDABCD的周长为的周长为cm,Ocm,O是对角线是对角线ACAC和和BDBD的交点的交点（）若（）若ABCABC的周长是的周长是18cm,18cm,求求OCOC的长的长（）若（）若OABOAB的周长比的周长比OBCOBC的周长短的周长短cmcm，求，求ABAB的长的长4cm4cm3cm3cmE ED DA AC CB BF FO O变式：如图四边形变式：如图四边形ABCDABCD和四边形和四边形BFDEBFDE都是平行都是平行四边形四边形,求证：求证：AE=CFAE=CF9 9、如图在、如图在 ABCDABCD中中,E,
25、E、F F是对角线是对角线ACAC上的两点，且上的两点，且AE=CF,AE=CF,求证：求证：四边形四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形1010、:如图如图,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,ADEADE和和BCFBCF都是等边三角形都是等边三角形.求证求证:BD:BD和和EFEF互相平分互相平分.ABCFDE1111、:如图如图,O,O是等边三角形是等边三角形ABCABC内任意一内任意一点点,ODBC,OEAC,OFAB,ODBC,OEAC,OFAB,点点D,E,FD,E,F分别在分别在AB,BC,ACAB,BC,AC上上.求证求证:OD+OE+OF=BC.:O
26、D+OE+OF=BC.A AF FO OE ED DB BC CM MN N1212、请说出、请说出“等腰三角形两腰上的高相等的等腰三角形两腰上的高相等的逆命题这个逆命题是真命题吗？请证明你的逆命题这个逆命题是真命题吗？请证明你的判断判断.作图应用作图应用3 3、如图，在、如图，在 ABCDABCD中，两条对角线相交于点中，两条对角线相交于点O O，E E、F F、G G、H H分别是分别是AOAO、BOBO、COCO、DODO的中点，以图的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形。中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形。A AD DC CB BE EF FG GH HO Ow我们知道
27、我们知道,三角形的三条中线交于一点三角形的三条中线交于一点.这一点这一点 叫做三角形的叫做三角形的重心重心.w三角形的重心分每一条中线的比为三角形的重心分每一条中线的比为1212(重心到每边的中点距离重心到每边的中点距离重心重心到所对角的顶点的距离到所对角的顶点的距离).).w你能证明这个命题吗你能证明这个命题吗?w三角形的重心有一个重要的几何性质三角形的重心有一个重要的几何性质:ABCDEFG探索提高探索提高证明一：连结证明一：连结EFEF，利用三角形的中位线按理证明，利用三角形的中位线按理证明w:如图如图,AE,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCABC的三条中线的三条中线,且相交于点且
28、相交于点G.G.w分析分析:要证明要证明GEGA=12GEGA=12,可以考虑折半法可以考虑折半法(如取如取GAGA的中点的中点M,GBM,GB的中点的中点N).N).w转化为证明转化为证明AM=MG=GE,BN=NG=GF.AM=MG=GE,BN=NG=GF.w分别连接分别连接FE,EN,NM,MF.FE,EN,NM,MF.w求证求证:GEGA=GFGB=GDGC=12GEGA=GFGB=GDGC=12.ABCDEFGM Nw从而借助于三角形的中位线从而借助于三角形的中位线构造平行四边形来获得证明构造平行四边形来获得证明.证明二：证明二：w证明证明:取取GAGA的中点的中点M,GBM,GB的
29、中点的中点N,N,分别连接分别连接FE,EN,NM,MF.FE,EN,NM,MF.wF,EF,E是是AC,BCAC,BC的中点的中点,w FEMN,FE=MN.FEMN,FE=MN.ABCDEFGM Nw四边形四边形FENMFENM是平行四边形是平行四边形.wMG=GE,NG=GF.MG=GE,NG=GF.21ABFE FEAB,MNAB,MNAB,.21ABMN wAM=MG=GE,BN=NG=GF.AM=MG=GE,BN=NG=GF.w GEGA=GFGB=12.GEGA=GFGB=12.w同理同理,GD GC=1 2.wGEGA=GFGB=GDGC=12.GEGA=GFGB=GDGC=12.w:如图如图,AE,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCABC的三条中线的三条中线,且相交于点且相交于点G.G.w求证求证:GEGA=GFGB=GDGC=12GEGA=GFGB=GDGC=12.
