1、 热点专题 6 实际应用题 河南中考数学命题中，方案的选取和设计是每年必考的，占 9 分或 10 分。首先应用题 一定要理解题意，再仔细分析，运用方程组、不等式（组）、一次函数的性质或二次函数性 质这些知识去解决问题。方案设计与决策问题主要考查学生的阅读理解、动手操作、分析推 理、数据处理、概括归纳等多种能力. 河南省中考 考试说明要求 读懂题意或图象，找等量与不等关系，建立模型(方程、不等式、函数)， 确定方案设计或选取问题。 考向考向 1 方案的设计问题方案的设计问题 1.(2019 年开封中考模拟） 某宾馆准备购进一批换气扇,从电器商场了解到:一台 A 型换气扇和 三台 B 型换气扇共需
2、 275 元;三台 A 型换气扇和二台 B 型换气扇共需 300 元. (1)求一台 A 型换气扇和一台 B 型换气扇的售价各是多少元; (2)若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共 80 台,并且 A 型换气扇的数量不多于 B 型 换气扇数量的 3 倍,请设计出最省钱的购买方案,并求出该购买方案所需的总费用. 【答案】(1)一台 A 型换气扇的售价为 50 元,一台 B 型换气扇的售价为 75 元. (2)最省钱的方案是购进 60 台 A 型换气扇,20 台 B 型换气扇,总费用为 4 500 元. 【解析】 (1) 设一台 A 型换气扇的售价为 x 元,一台 B 型换气扇的售价 为 y
3、元,根据题意得 3275, 32300, xy xy 解得 50, 75. x y 答:一台 A 型换气扇的售价为 50 元,一台 B 型换气扇的售价为 75 元. (2)设购进 A 型换气扇 m 台,总费用为 W 元,则有 m3(80-m), 解得 m60, W=50m+75(80-m)=-25m+6 000, -2510 时,y2=42 10+42(x-10) 0.8,即 y2=33.6x+84. y2= 42 (010), 33.684(10). xx xx 当购买数量超过 10 个时,y 2=33.6x+84. (i)当 y133.6x+84, 解得 x35. 当购买数量超过 35 个
4、时,购买 B 品牌的计算器更合算. 2.（2019 年河南省南阳市镇平县中考数学三模试卷）“莓好河南，幸福家园”，2019 年某省 草莓旅游文化节期间，甲、乙两家草莓采摘园草莓品质相同，销售价格也相同，且推出了如 下的优惠方案： 甲园 游客进园需购买 20 元/人的门票，采摘的草莓六折优惠 乙园 游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠 活动期间， 小雪与爸爸妈妈决定选一个周末一同去采摘草莓， 若设他们的草莓采摘量为 x （千 克）（出园时欲将自己采摘的草莓全部购买），在甲采摘园所需总费用为 y1（元），在乙采 摘园所需总费用为 y2（元），图中折线 OAB表示 y2与
5、 x之间的函数关系 （1）求 y1、y2与 x 之间的函数关系式； （2）请在图中画出 y1与 x之间大致的函数图象； （3）若小雪和爸爸妈妈当天所采摘的草莓不少于 10千克，则选择哪个草莓园更划算？请说 明理由 【答案】（1）y118x+60， ；（2）见解析；（3）当草莓采摘量 x 的范围为：10x30时，甲采摘园更划算；当草莓采摘量 x30 时，两家采摘园所需费用 相同；当草莓采摘量 x的范围为 x30时，乙采摘园更划算 【解析】 （1）根据题意结合图象即可求出 y1与 x之间的函数关系式，结合图象利用待定系数法即可 求出 y2与 x 之间的函数关系式；（2）根据（1）的结论解答即可；（
6、3）分两种情形构建不 等式即可解决问题 【详解】（1）根据题意，结合图象可知：甲乙两园的草莓单价为：300 1030（元/千克）， y130 0.6x+20 318x+60； 由图可得，当 0x10时，y230x， 当 x10时，设 y2kx+b，将（10，300）和（20，450）代入 y2kx+b， 得，解得， 当 x10 时，y215x+150， ； （2）y2与 x 之间大致的函数图象如图所示： （3）y1y2（x10），即 18x+6015x+150，解得 x30； y1y2，即 18x+6015x+150，解得 x30； y1y2，即 18x+605x+150，解得 x30， 答：
7、当草莓采摘量 x的范围为：10x30时，甲采摘园更划算；当草莓采摘量 x30时，两 家采摘园所需费用相同；当草莓采摘量 x 的范围为 x30时，乙采摘园更划算 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键. 考向考向 3 一次函数图象型问题一次函数图象型问题 1.(2019 河南新乡二模) “五一”期间,甲、乙两家商店以相同的价格销售同一种商品,两家商店 的优惠方案:甲商店一次性购物满 200元,超过200元的部分打七折;乙商店一次性购物满500 元,超过 500 元的部分打五折.设商品原价为 x 元(x0), 购物应付金额为 y 元. (1)求在甲商店购物时 y 与
8、x 之间的函数关系; (2)两种购物方式对应的函数图象如图所示,求交点 C 的坐标; (3)根据图象,请直接写出“五一”期间选择哪家商店购物更优惠. 【解析】 (1)根据题意分 0x200,x200 两种情况求 y 即可; (2)先求直线 BC 的解析式,再解 BC 和 AC 的解析式所组成的方程组,即可求得交点 C 的坐标; (3)观察图象,比较函数值的大小即可. (1)当 0x200 时,y=x, x200 时,y=0.7(x-200)+200=0.7x+60. (2)直线 BC 解析式为 y=0.5(x-500)+500=0.5x+250, 0.7x+60=0.5x+250 x=950
9、当 x=950 时 725609507 . 0 点 C 坐标为(950,725). (3)由图象可知,当 0x200 或 x=950 时,选择甲、乙两家商店购 物所需的费用一样. 当 200x950 时,选择乙商店购物更优惠. 2.（2019 年河南省实验外国语学校中考数学模拟试卷）某公司开发出一款新的节能产品，该 产品的成本价为 6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期 30天的试销售， 售价为 8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成如图所示的图象， 图中的折线 ODE表示日销售量 y(件)与销售时间 x(天)之间的函数关系， 已知线段 DE表示的 函数关系中
10、，时间每增加 1 天，日销售量减少 5件 (1)第 24 天的日销售量是_件，日销售利润是_元 (2)求线段 DE所对应的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围) (3)通过计算说明试销售期间第几天的日销售量最大？最大日销售量是多少？ 【答案】（1）330，660；（2）y=5x+450；（3）试销售期间第 18天的日销售量最大，最 大日销售量是 360件 【解析】 （1）根据第 22 天销售了 340 件，结合时间每增加 1 天日销售量减少 5 件，即可求出第 24 天的日销售量，再根据日销售利润=单件利润 日销售量即可求出日销售利润； （2）根据第 22 天销售了 340 件，结合时间每增
11、加 1 天日销售量减少 5 件，即可求出线段 DE 的函数关系式； （3）根据点（17，340）的坐标利用待定系数法即可求出线段 OD 的函数关系式，联立两函 数关系式求出交点 D 的坐标 【详解】解：（1）340（2422） 5=330（件）， 330 （86）=660（元） 故答案为 330；660 （2）线段 DE所表示的 y与 x之间的函数关系式为 y=3405（x22）=5x+450； （3）设线段 OD 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx， 将（17，340）代入 y=kx中， 340=17k，解得：k=20， 线段 OD所表示的 y与 x之间的函数关系式为 y=2
12、0x 联立两线段所表示的函数关系式成方程组， 得 20 5450 yx yx ， 解得： 18 360 x y ， 交点 D 的坐标为（18，360）， 点 D的坐标为（18，360）， 试销售期间第 18 天的日销售量最大，最大日销售量是 360件 【点睛】考查了一次函数的应用、待定系数法一次函数解析式，解题的关键是利用待定系数 法求出 OD 的函数关系式以及依照数量关系找出 DE 的函数关系式 考向考向 4 与二次函数有关的最值问题与二次函数有关的最值问题 1.（河南省新乡市长垣市 2020 届九年级上学期期末调研测试数学试题）我市某化工材料经 销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克
13、30 元，物价部门规定其销售单价不低于成 本价且不高于成本价的 2 倍，经试销发现，日销售量 y（千克）与销售单价 x（元）符合一 次函数关系，如图所示 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若在销售过程中每天还要支付其他费用 500 元，当销售单价为多少时，该公司日 获利最大？最大获利是多少元？ 【解析】（1）设一次函数关系式为 ykx+b（k0）， 由图象可得，当 x30 时，y140；x50 时，y100， ，解得 y 与 x 之间的关系式为 y2x+200（30x60） （2）设该公司日获利为 W 元， 由题意得 W（x30）（2x+200）50
14、02（x65）2+1950， a20， 抛物线开口向下；来源:学,科,网 对称轴 x65， 当 x65 时，W 随着 x 的增大而增大； 30x60， x60 时，W 有最大值； 即销售单价为每千克 60 元时，日获利最大，最大获利为 1900 元 2.（河南省洛阳市 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）我市某公司用 800万元购得 某种产品的生产技术后， 进一步投入资金 1550万元购买生产设备，进行该产品的生产加工， 已知生产这种产品每件还需成本费 40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价需要定在 200元到 300 元之间较为合理.销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间
15、的变化可近似的 看作是如下表所反应的一次函数： 销售单价x（元） 200 230 250 年销售量y（万件） 14 11 9 （1）请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损， 最少亏损是多少？ 【答案】（1）0.134 200300yxx；（2）亏损，赔了 110 万元 【解析】 （1）设y kxb ，将200,14,220,11代入求得系数即可. （2）根据年获利=单件利润销量-800-1550 【详解】解：（1）设y kxb ， 14200 11230 kb kb 1 10 34 k b 0
16、.134yx ； （2）400.134Wxx 2 0.138136xx ， 对称轴190 2 b x a ， 200300x，0.10a， 200x时， max 2240W（万元） 1550+800-2240=110（万元） 赔了 110万元. 【点睛】本题考查了二次函数的实际中的应用，首先要明确题意，确定变量，建立模型解答. 3.（河南省漯河市临颍县 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）某水产养殖户进行小 龙虾养殖. 已知每千克小龙虾养殖成本为 6 元， 在整个销售旺季的 80 天里， 日销售量()y kg 与时间第t天之间的函数关系式为2100yt（180t ，t为整数），销
17、售单价p（元 /kg）与时间第t天之间满足一次函数关系如下表： 时间第t天 1 2 3 80 销售单价p（元/kg） 49. 5 49 48. 5 10 （1）写出销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式； （2）在整个销售旺季的 80 天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） 1 50 2 pt ；（2）第 19 天的日销售利润最大，最大利润是 4761 元. 【解析】 （1）设销售单价 p（元/kg）与时间第 t 天之间的函数关系式为：p=kt+b，将（1，49.5）， （2，49）代入，再解方程组即可得到结论； （2）设每天获得的利润为 w 元，由题意根据
18、利润=销售额-成本，可得到 w=-（t-19） 2+4761， 根据二次函数的性质即可得到结论 【详解】（1）设销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为：pktb， 将(1,49.5),(2,49)代入，得 49.5 249 kb kb ， 解得 1 2 50 k b . 销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为 1 50 2 pt . （2）设每天获得的利润为w元. 由题意，得 1 (2100)506(2100) 2 wttt 2 384400tt 2 (19)4761t . 10a ， w有最大值. 当19t 时， w最大，此时， 4761w 最大 （元） 答：第
19、19 天的日销售利润最大，最大利润是 4761 元. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出 利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键 4.（河南省南阳市淅川县 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）某商场销售一种成本 为每件30元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关 系可近似看作一次函数 10600yx 商场销售该商品每月获得利润为W（元） （1）求W与x之间的函数关系式； （2）如果商场销售该商品每月想要获得2000元的利润，那么每件商品的销售单价应为多 少元？ （3）商场每月要获得最大的利
20、润，该商品的销售单价应为多少？ 【答案】（1） 2 1090018000 Wxx；（2）销售单价应为40元或50元；（3）定价每 件45元时，每月销售新产品的利润最大 【解析】 （1）根据：月利润=（销售单价-成本价） 销售量，从而列出关系式； （2）令 w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价； （3）把（1）中得到的解析式及配方，利用二次函数的性质解答即可 【详解】（1） 2 (30)( 10600)1090018000Wxxxx， （2）由题意得， 2 10900180002000xx， 解得： 1 40x ， 2 50x ， 每月想要获得2000元的利润，销售单价应为40元或50元 （3） 22 109001800010(45)2250Wxxx， 100a，当45x 时，W有最大值， 答：定价每件45元时，每月销售新产品的利润最大 【点睛】本题考查了二次函数的应用，销售问题的数量关系：利润=每件利润 销售量的运 用， 二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质， 解答时求出函数的解析式是关键
