1、 决战决战 20202020 年中考典型压轴题大突破年中考典型压轴题大突破 模块一模块一 中考压轴题应用题专题中考压轴题应用题专题 考向导航考向导航 新的课程标准指出:“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。”为了和新的教育理念接 轨，各地中考命题都加大了考查应用题的力度.近几年的数学应用题主要有以下特色:涉及的数学知识并不 深奥，也不复杂，无需特殊的解题枝巧，涉及的背景材料十分广泛.涉及到社会生产生活的方方面面:再就 是题目文字冗长.常令学生抓不住要领，不知如何解题。解答的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、 概括所给的实际问题.将其转化为数学模型。 专题 05 几何型应用题 方法点拨
2、方法点拨 几何应用题常常以现实生活情最为背景,考查学生识别图形的能力、动手操作图形的能力、运用几何知 识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力和观察、想像、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、 概括、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法。 精典例题精典例题 1（2020崇明区一模）如图 1 为放置在水平桌面 l 上的台灯，底座的高 AB 为 5cm，长度均为 20cm 的连杆 BC、CD 与 AB 始终在同一平面上 （1）转动连杆 BC，CD，使BCD 成平角，ABC150，如图 2，求连杆端点 D 离桌面 l 的高度 DE （2）将（1）中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，经试验后
3、发现，如图 3，当BCD150时台灯光线 最佳求此时连杆端点 D 离桌面 l 的高度比原来降低了多少厘米？ 【点睛】（1）如图 2 中，作 BODE 于 O解直角三角形求出 OD 即可解决问题 （2）过 C 作 CGBH，CKDE，由题意得，BCCD20m，CGKH，解直角三角形即可得到结论 【详解】解：（1）如图 2 中，作 BODE 于 O OEABOEBAE90， 四边形 ABOE 是矩形， OBA90， DBO1509060， ODBDsin60203（cm）， DEOD+OEOD+AB（203 +5）cm； （2）过 C 作 CGBH，CKDE， 由题意得，BCCD20m，CGKH，
4、 在 RtCGB 中，sinCBH= = 20 = 3 2 ， CG103cm， KH103cm， BCG906030， DCK150903030， 在 RtDCK 中，sinDCK= = 20 = 1 2， DK10cm， （203 +5）（15+103）103 10， 答：比原来降低了（103 10）厘米 巩固突破巩固突破 1（2009新华区校级一模）气象台发布的卫星云图显示，某台风在海岛 A 北偏西 60方向上的点 B 处生 成，某城市（设为点 C）在海岛 A 北偏东 45方向上，以 O 为原点建立如图所示的直角坐标系，点 A 位于 y 轴上，台风生成处 B 和城市所在处 C 都在 x
5、轴上，其中点 A 的坐标为（0，100） （1）请在图中表示北偏东 45方向的射线 AC，并标出点 C 的位置； （2）点 B 的坐标为 （1003，0） ，点 C 的坐标为 （100，0） ；（结果保留根号） （3）若此台风中心从点 B 以 30km/h 的速度向正东方向移动，已知距台风中心 30km 的范围内均会受到 台风的侵袭，那么台风从生成到最初侵袭 C 城要经过多长时间？（本问中3取 1.7） 【点睛】（1）先在图中表示北偏东 45方向的射线 AC，与 x 轴的交点即为点 C 的位置； （2）在 RtAOB 中根据三角函数的知识可得点 B 的坐标，根据等腰直角三角形的性质可求出点 C
6、 的坐 标； （3） 先求出 BC 的长， 根据速度求台风从生成到最初侵袭 C 城要经过的路程， 再根据时间路程速度， 列式计算即可 【详解】解：（1）如图所示：射线 AC，与 x 轴的交点即为点 C 的位置 （2）OBOAtan601003，OCOA100， 点 B 的坐标为 （1003，0），点 C 的坐标为 （100，0）； （3）BCOB+OC1003 +100270km， （27030）308 小时 台风从生成到最初侵袭 C 城要经过 8 小时 2（2019苏州一模）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过 A、B 两个景点，景区管委会又开发了 风景优美的景点 C，经测量景点 C
7、 位于景点 A 的北偏东 30方向 8km 处，位于景点 B 的正北方向，已 知 AB5km （1）求景点 B 与景点为 C 的距离；（结果保留根号） （2）为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点 C 向公路 a 修建一条距离最短的公路，不考虑其 它因素，求出这条公路的长（结果精确到 0.1km参考数据：3 =1.73，5 =2.24） 【点睛】（1）过点 A 作 ADCB，交 CB 的延长线于点 D，先解 RtADC，得出 CD43，再解 Rt ABD，得出 BD3，则 BCCDBD； （2）过点 C 作 CEAB 于点 E在 RtCBE 中，由正弦函数的定义即可求解 【详解】解：（1）
8、如图，过点 A 作 ADCB，交 CB 的延长线于点 D 在 RtADC 中，ADC90，ACD30， AD= 1 2AC= 1 2 84， CD= 2 2=43 在 RtABD 中，BD= 2 2= 52 42=3， BCCDBD43 3， 答：景点 B 与景点为 C 的距离为（43 3）km； （2）过点 C 作 CEAB 于点 EsinABD= = 4 5 在 RtCBE 中，sinCBE= ， ABDCBE， sinCBE= 4 5， CECBsinCBE（43 3） 4 5 = 16312 5 3.1（km） 答：这条公路长约为 3.1km 3（2019锡山区期末）如图 1 是超市的
9、手推车，如图 2 是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为 5cm，两 个车轮的圆心的连线 AB 与地面平行，测得支架 ACBC60cm，AC、CD 所在直线与地面的夹角分别为 30、60，CD50cm （1）求扶手前端 D 到地面的距离； （2） 手推车内装有简易宝宝椅， EF 为小坐板， 打开后， 椅子的支点 H 到点 C 的距离为 10cm， DF20cm， EFAB，EHD45，求坐板 EF 的宽度（本题答案均保留根号） 【点睛】（1）如图 2，过 C 作 CMAB，垂足为 M，又过 D 作 DNAB，垂足为 N，过 C 作 CGDN， 构造 RtAMC 和 RtCGD 中，通过解这两个直
10、角三角形求得相关线段的长度； （2）由平行线的性质知EFHDCG60；根据题意得到 CD50cm，DF20cm，FH20cm，如 图 2，过 E 作 EQFH，垂足为 Q，设 FQx，通过解 RtEQF 和 RtEQH，根据等量关系 HQ+FQ FH20cm 列出方程3 +x20，通过解方程求得答案 【详解】（1）如图 2，过 C 作 CMAB，垂足为 M， 又过 D 作 DNAB，垂足为 N，过 C 作 CGDN，垂足为 G，则DCG60 ACBC60cm，AC、CD 所在直线与地面的夹角分别为 30、60， AB30， 则在 RtAMC 中，CM= 1 2 =30cm 在 RtCGD 中，
11、sinDCG= ，CD50cm， DGCDsinDCG50sin60= 50 3 2 = 253 又 GNCM30cm，前后车轮半径均为 5 cm， 扶手前端 D 到地面的距离为 DG+GN+5= 253 +30+535+253（cm）； （2）EFCGAB， EFHDCG60， CD50cm，椅子的支点 H 到点 C 的距离为 10 cm，DF20cm， FH20cm， 如图 2，过 E 作 EQFH，垂足为 Q，设 FQx， 在 RtEQF 中，EFH60， EF2FQ2x，EQ= 3， 在 RtEQH 中，EHD45， HQEQ= 3， HQ+FQFH20cm， 3 +x20，解得 x=
12、 103 10 EF2（103 10）= 203 20 答：坐板 EF 的宽度为（203 20）cm 4（2019南昌模拟）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图 MN 是装订机的底座，AB 是装订机的 托板， 始终与底座平行， 连接杆 DE 的 D 点固定， 点 E 从 A 向 B 处滑动， 压柄 BC 可绕着转轴 B 旋转 已 知压柄 BC 的长度为 15cm，BD5cm，压柄与托板的长度相等 （1）当托板与压柄夹角ABC37时，如图点 E 从 A 点滑动了 2cm，求连接杆 DE 的长度； （2）当压柄 BC 从（1）中的位置旋转到与底座 AB 的夹角ABC127，如图求这个过程中点
13、E 滑动的距离（答案保留根号）（参考数据：sin370.6，cos370.8tan370.75） 【点睛】（1）作 DHBE 于 H，在 RtBDH 中用三角函数算出 DH 和 BH，再求出 EH，在三角形 DEH 中用勾股定理即可求得 DE； （2）作 DHAB 的延长线于点 H，在 RtDBH 和 RtDEH 中，用三角函数分别求出 BH，DH，EB 的 长，从而可求得 点 E 滑动的距离 【详解】解：（1）如图，作 DHBE 于 H， 在 RtBDH 中，DHB90，BD5，ABC37， 5 = 37， 5 =cos37， DH5sin3750.63（cm），BH5cos3750.84（
14、cm） ABBC15cm，AE2cm， EHABAEBH15249（cm）， DE= 2+ 2= 32+ 92=310（cm） 答：连接杆 DE 的长度为310cm （2）如图，作 DHAB 的延长线于点 H， ABC127， DBH53，BDH37， 在 RtDBH 中， = 5 =sin370.6， BH3cm， DH4cm， 在 RtDEH 中，EH2+DH2DE2， （EB+3）2+1690， EB（74 3）（cm）， 点 E 滑动的距离为：15（74 3）2（1674）（cm） 答：这个过程中点 E 滑动的距离为（1674）cm 5（2019灌云模拟）如图（1）是一种简易台灯，在其
15、结构图（2）中灯座为ABC（BC 伸出部分不计）， A、C、D 在同一直线上量得ACB90，A60，AB16cm，ADE135，灯杆 CD 长为 40cm，灯管 DE 长为 15cm （1）求 DE 与水平桌面（AB 所在直线）所成的角； （2）求台灯的高（点 E 到桌面的距离，结果精确到 0.1cm） （参考数据：sin150.26，cos150.97，tan150.27，sin300.5，cos300.87，tan30 0.58） 【点睛】（1）直接作出平行线和垂线进而得出EDF 的值； （2）利用锐角三角函数关系得出 DN 以及 EF 的值，进而得出答案 【详解】解：（1）如图所示：过点
16、 D 作 DFAB，过点 D 作 DNAB 于点 N，EFAB 于点 M， 由题意可得，四边形 DNMF 是矩形， 则NDF90， A60，AND90， ADN30， EDF135903015， 即 DE 与水平桌面（AB 所在直线）所成的角为 15； （2）如图所示：ACB90，A60，AB16cm， ABC30，则 AC= 1 2AB8cm， 灯杆 CD 长为 40cm， AD48cm， DNADcos3041.76cm， 则 FM41.76cm， 灯管 DE 长为 15cm， sin15= = 15 =0.26， 解得：EF3.9， 故台灯的高为：3.9+41.7645.7（cm） 6（
17、2019铁西区三模）如图，一扇窗户垂直打开，即 OMOP，AC 是长度不变的滑动支架，其中一端固 定在窗户的点 A 处，另一端在 OP 上滑动，将窗户 OM 按图示方向内旋转 35到达 ON 位置，此时点 A， C 的对应位置分别是点 B，D，测量出ODB25，点 D 到点 O 的距离为 30cm，求滑动支架 BD 的长 （结果精确到 1cm，参考数据：sin250.42，cos250.91，tan250.47，sin550.82，cos55 0.57，tan551.43） 【点睛】根据锐角三角函数可以求得 BE 的长，然后根据 sinBDE 的值即可求得 BD 的长，本题得以解 决 【详解】
18、解：在 RtBOE 中，BOE55， tan55= ， OE= 55， 在 RtBDE 中，BDE25， tan25= ， DE= 25， DO30， DODE+OE= 25 + 55 =30， 解得，BE10.6， 在 RtBDE 中，BDE25， sin25= ， BD= 25 25， 答：滑动支架 BD 的长大约为 25cm 7（2019青岛模拟）在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图 如图所示，其中 AB 表示窗户，且 AB2 米，BCD 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与 水平线 CD 的最小夹角PDN18.6，最大夹角MDN64.5 请
19、你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中 CD 的长是多少米？（结果精确到 0.1） （参考数据：sin18.60.32，tan18.60.34，sin64.50.90，tan64.52.1） 【点睛】解直角三角求出 BC0.34x 米，AC2.1x 米，得出方程，求出方程的解即可 【详解】解：设 CDx 米， 在 RtBCD 中，BCD90，CDBPDN18.6，CBCDtan18.60.34x 米， 在 RtACD 中，ACD90，CDAMDN64.5，ACCDtan64.52.1x 米， AB2 米，ABACBC， 2.1x0.34x2， 解得：x1.1， 即遮阳篷中 CD 的长约为
20、1.1 米 8（2019鼓楼区校级一模）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 ABCD）靠墙摆放，高 AD 80cm， 宽 AB48cm， 小强身高 166cm， 下半身 FG100cm， 洗漱时下半身与地面成 80 （FGK80） ， 身体前倾成 125（EFG125），脚与洗漱台距离 GC15cm（点 D，C，G，K 在同一直线上） （1）此时小强头部 E 点与地面 DK 相距多少厘米？ （2）此时小强头部 E 点是否恰好在洗漱盆 AB 的中点 O 的正上方？若是，请说明理由；若不是，他应向 前还是向后移动多少厘米， 使头部 E 点恰好是在洗漱盆 AB 的中点 O 的正上方？ （si
21、n800.98， cos80 0.17，2 1.41，结果精确到 1cm） 【点睛】（1）过点 F 作 FNDK 于 N，过点 E 作 EMFN 于 M求出 MF、FN 的值即可解决问题； （2）求出 OH、PH 的值即可判断； 【详解】解：（1）过点 F 作 FNDK 于 N，过点 E 作 EMFN 于 M EF+FG166，FG100， EF66， FGK80， FN100sin8098， EFG125， EFM1801251045， FM66cos45332 46.5， MNFN+FM145， 此时小强头部 E 点与地面 DK 相距约为 145cm （2）过点 E 作 EPAB 于点 P
22、，延长 OB 交 MN 于 H AB48，O 为 AB 中点， AOBO24， EM66sin4546.5， PH46.5， GN100cos8017，CG15， OH24+15+1756，OPOHPH5646.510， 他应向前 10cm 9（2019休宁一模）有一只拉杆式旅行箱（图 1），其侧面示意图如图 2 所示，已知箱体长 AB50cm， 拉杆 BC 的伸长距离最大时可达 35cm，点 A、B、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒A， A 与水平地面切于点 D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点 B 距离水平地面 38cm 时，点 C 到水平面 的距离 CE 为 59cm设 AFM
23、N （1）求A 的半径长； （2） 当人的手自然下垂拉旅行箱时， 人感觉较为舒服， 某人将手自然下垂在 C 端拉旅行箱时， CE 为 80cm， CAF64求此时拉杆 BC 的伸长距离 （精确到 1cm，参考数据：sin640.90，cos640.39，tan642.1） 【点睛】 （1） 作 BHAF 于点 K， 交 MN 于点 H， 则ABKACG， 设圆形滚轮的半径 AD 的长是 xcm， 根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得 x 的值； （2）求得 CG 的长，然后在直角ACG 中，求得 AC 即可解决问题； 【详解】解：（1）作 BHAF 于点 K，交 MN 于点 H 则
24、BKCG，ABKACG 设圆形滚轮的半径 AD 的长是 xcm 则 = ，即 38; 59; = 50 50:35， 解得：x8 则圆形滚轮的半径 AD 的长是 8cm； （2）在 RtACG 中，CG80872（cm） 则 sinCAF= ， AC80，（cm） BCACAB805030（cm） 10（2019锡山区一模）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数 学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点 C，再在笔直的车道 l 上确定点 D， 使 CD 与 l 垂直， 测得 CD 的长等于 24 米， 在 l 上点 D 的同侧取点
25、 A、 B， 使CAD30， CBD60 （1）求 AB 的长（结果保留根号）； （2）已知本路段对校车限速为 45 千米/小时，若测得某辆校车从 A 到 B 用时 2 秒，这辆校车是否超速？ 说明理由（参考数据：3 1.7，2 1.4） 【点睛】（1）分别在 RtADC 与 RtBDC 中，利用正切函数，即可求得 AD 与 BD 的长，继而求得 AB 的长； （2）由从 A 到 B 用时 2 秒，即可求得这辆校车的速度，比较与 40 千米/小时的大小，即可确定这辆校车 是否超速 【详解】解：（1）由题意得，在 RtADC 中，tan30= = 24 ， 解得 AD243 在 RtBDC 中，
26、tan60= = 24 ， 解得 BD83 所以 ABADBD243 83 =163（米） （2）汽车从 A 到 B 用时 2 秒，所以速度为 163 283 13.6（米/秒）， 因为 13.6（米/秒）48.96 千米/小时45 千米/小时 所以此校车在 AB 路段超速 11（2019盘锦模拟） 某数学兴趣小组， 利用树影测量树高， 如图 （1） ， 已测出树 AB 的影长 AC 为 123米， 并测 出此时太阳光线与地面成 30夹角 （1）求出树高 AB； （2）因水土流失，此时树 AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光 线与地面夹角保持不变求树与地面成
27、45角时的影长（用图（2）解答）（结果保留根号） 【点睛】（1）在直角ABC 中，已知ACB30，AC123米利用三角函数即可求得 AB 的长； （2）在AB1C1中，已知 AB1的长，即 AB 的长，B1AC145，B1C1A30过 B1作 AC1的垂 线，在直角AB1N 中根据三角函数求得 AN，BN；再在直角B1NC1中，根据三角函数求得 NC1的长， 再根据当树与地面成 60角时影长最大，根据三角函数即可求解 【详解】解：（1）ABACtan30123 3 3 =12（米） 答：树高约为 12 米 （2）如图（2），B1NANAB1sin4512 2 2 =62（米） NC1NB1ta
28、n6062 3 =66（米） AC1AN+NC162 +66 当树与地面成 60角时影长最大 AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为 AB 的A 相切时影 长最大） AC22AB224； 12（2019衢州一模）小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳 子拉直钉在地上，末端恰好在 C 处且与地面成 60角，小明拿起绳子末端，后退至 E 处，拉直绳子，此 时绳子末端 D 距离地面 1.6m 且绳子与水平方向成 45角 （1）填空：AD AC（填“”，“”，“”） （2）求旗杆 AB 的高度 （参考数据：2 1.41，3 1.73，结果精确到 0.1m） 【
29、点睛】设绳子 AC 的长为 x 米；由三角函数得出 AB，过 D 作 DFAB 于 F，根据ADF 是等腰直角三 角形，得出方程，解方程即可 【详解】解：（1）由图形可得：ADAC； （2）设绳子 AC 的长为 x 米； 在ABC 中，ABACsin60， 过 D 作 DFAB 于 F，如图： ADF45， ADF 是等腰直角三角形， AFDFxsin45， ABAFBF1.6，则 xsin60xsin451.6， 解得：x10， AB10sin608.7（m）， 答：旗杆 AB 的高度为 8.7m 故答案为： 13（2009滦县校级模拟）气象台发布的卫星云图显示，代号为 W 的台风在某海岛（
30、设为点 P）的南偏东 45方向的 B 点生成，测得 PB1006km台风中心从点 B 以 40km/h 的速度向正北方向移动，经 5h 后到达海面上的点 C因受气旋影响，台风中心从点 C 开始以 30km/h 的速度向北偏西 60方向继续移 动某城市（设为点 A）位于海岛 P 的正北方向且处于台风中心的移动路线上 （1）求台风中心大约经过多长时间移动到海岛 P 的正东方向？（3 1.7，结果取整数） （2）求台风中心从生成到 A 城市所经过的路线长是多少 km？ （3）如果距台风中心 20km 的范围内均会受到台风的侵袭，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长 时间？ 【点睛】（1）先根据 P
31、B1006km，EBF45求出 BE 的长，再根据台风中心从点 B 到点 C 的速 度是 40km/h 求出台风到达 E 点所需要的时间即可； （2）过点 A 作 ADBC，则 ADPE，在 RtACD 中由 AC= 60求出 AC 的长，再根据台风中心从 点 B 以 40km/h 的速度向正北方向移动，经 5h 后到达海面上的点 C 得出 BC 的长，进而可得出结论； （3）由（2）中所求的 AC 的长减去 20km 即为台风中心从 C 点开始到刚侵袭该城市的路线长度，再根据 台风中心移动的速度即可求出时间 【详解】解：（1）在 RtPBE 中，PB1006km，EBF45， PEBEPBc
32、os451006 2 2 =1003， 台风中心从点 B 到点 C 的速度是 40km/h， 台风中心从点 B 到点 E 所用的时间= 40 = 1003 40 = 53 2 4（小时）； （2）过点 A 作 ADBC，则 ADPE1003， 在 RtACD 中， AC= 60 = 1003 3 2 =200km， 台风中心从点 B 以 40km/h 的速度向正北方向移动，经 5h 后到达海面上的点 C， BC405200km， BC+AC200+200400km，即台风中心从生成到 A 城市所经过的路线长是 400km； （3）距台风中心 20km 的范围内均会受到台风的侵袭， 从点 C 开
33、始到 A 城市受到袭击的时间= 20 30 = 20020 30 =6（小时）， 台风中心从点 B 到点 C 移动的时间是 5 小时， 台风从生成到最初侵袭该城要经过 6+511（小时） 14（2019简阳市模拟）在一平直河岸 l 同侧有 A，B 两个村庄，A，B 到 l 的距离分别是 3km 和 2km，AB akm（a1）现计划在河岸 l 上建一抽水站 P，用输水管向两个村庄供水 方案设计 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图 1 是方案一的示意图，设该方案中管道长度为 d1，且 d1 PB+BA （km） （其中 BPl 于点 P） ； 图 2 是方案二的示意图， 设该方案中管道长
34、度为 d2， 且 d2PA+PB （km）（其中点 A与点 A 关于 l 对称，AB 与 l 交于点 P） 观察计算 （1）在方案一中，d1 km（用含 a 的式子表示） （2）在方案二中，组长小宇为了计算 d2的长，作了如图 3 所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， d2 km（用含 a 的式子表示） 探索归纳 （1）当 a4 时，比较大小：d1 d2（填“”、“”或“”）； 当 a6 时，比较大小：d1 d2（填“”、“”或“”）； （2）请你参考方框中的方法指导，就 a（当 a1 时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度 较短， 应选择方案一还是方案二？ 【点睛】观察计算：（1
35、）由题意可以得知管道长度为 d1PB+BA（km），根据 BPl 于点 P 得出 PB 2，故可以得出 d1的值为 a+2 （2）由条件根据勾股定理可以求出 KB 的值，由轴对称可以求出 AK 的值，在 RtKBA由勾股定理 可以求出 AB 的值2+ 24就是管道长度 探索归纳：（1）把 a4 代入 d1a+2 和 d2= 2+ 24就可以比较其大小； 把 a6 代入 d1a+2 和 d2= 2+ 24就可以比较其大小； （2）分类进行讨论当 d1d2，d1d2，d1d2时就可以分别求出 a 的范围，从而确定选择方案 【详解】解：（1）如图 1，作 A 关于执行 l 的对称点 A，连接 PA，
36、 A 和 A关于直线 l 对称， PAPA， d1PB+BAPB+PAa+2； 故答案为：a+2； （2）因为 BK2a21， AB2BK2+AK2a21+52a2+24 所以 d2= 2+ 24； 故答案为：2+ 24； 探索归纳： （1）当 a4 时，d16，d2= 40，d1d2； 当 a6 时，d18，d2= 60，d1d2； 故答案为：，； （2）d12d22（a+2）2（2+ 24）24a20 当 4a200，即 a5 时，d12d220， d1d20， d1d2； 当 4a200，即 a5 时，d12d220， d1d20， d1d2 当 4a200，即 a5 时，d12d220
37、， d1d20， d1d2 综上可知：当 a5 时，选方案二； 当 a5 时，选方案一或方案二； 当 1a5 时，选方案一 15（2019皇姑区校级模拟）著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高 速公路 X 同侧，AB50km，A、B 到直线 X 的距离分别为 10km 和 40km，要在沪渝高速公路旁修建一服 务区 P，向 A、B 两景区运送游客小民设计了两种方案，图 1 是方案一的示意图（AP 与直线 X 垂直， 垂足为 P），P 到 A、B 的距离之和 S1PA+PB，图 2 是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A，连接 BA交直线 X 于点
38、P），P 到 A、B 的距离之和 S2PA+PB （1）S1 kmS2 km （2）PA+PB 的最小值为 km （3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图 3 所示的直角坐标系，B 到直线的距 为 30km，请你在 X 旁和 P 旁各修建一服务区 P、Q，使 P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小，（用尺 画出点 P 和点 Q 的位置）这个最小值为 km 【点睛】（1）根据勾股定理分别求得 S1、S2的值即可； （2） 在公路上任找一点 M， 连接 MA， MB， MA， 由轴对称知 MAMA， 由三角形的三边关系得出 MB+MA MB+MAAB，得出 S2BA为最小； （
39、3）过 A 作关于 x 轴的对称点 A，过 B 作关于 y 轴的对称点 B，连接 AB，交 x 轴于点 P，交 y 轴于点 Q，求出 AB的值即可在公路上任找一点 M，连接 MA，MB，MA，由轴对称知 MAMA，由三角形三 边关系得出 MB+MAMB+MAAB，S2BA为最小；即可得出答案 【详解】解：（1）如图 1 中，过 B 作 BCX 于 C，ADBC 于 D，则 CPAD， 则 BC40km， 又AP10， BDBCCD401030km 在ABD 中，AD= 502 302=40（km）， CP40km， 在 RtPBC 中，BP= 2+ 2= 402+ 402=402（km）， S
40、1402 +10（km） 如图 21 中，过 B 作 BCAA垂足为 C， 则 AC50km， 又BC40km， BA= 402+ 502=1041（km）， 由轴对称知：PAPA， S2BA1041km， 故答案为：（402 +10），1041； （2）在公路上任找一点 M，连接 MA，MB，MA，如图 22 所示： 由轴对称知 MAMA， MB+MAMB+MAAB， S2BA1041km 为最小， 即 PA+PB 的最小值为 1041km； 故答案为：1041； （3）过 A 作关于 x 轴的对称点 A，过 B 作关 y 轴的对称点 B，连接 AB，交 x 轴于点 P，交 y 轴于点 Q，
41、 如图 3 所示： 则 P，Q 即为所求 过 A、B分别作 x 轴、y 轴的平行线交于点 G， BG40+1050km，AG30+30+40100km， AB= 1002+ 502=505（km）， AB+AP+BQ+QPAB+AP+PQ+BQ50+505km， 所求四边形的周长为（50+505）km； 故答案为：（50+505） 16（2019温岭市一模）每年的 6 至 8 月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干 AB（假定 树干 AB 垂直于地面）被刮倾斜 15后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面 D（如图所示），量得 树干的倾斜角为BAC15，大树被折断部分和地面所成的角AD
42、C60，AD4 米，求这棵大树 AB 原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：2 1.4，3 1.7，6 2.4） 【点睛】 过点A作AECD于点E， 由BAC15可求出DAC的度数， 在RtAED中由ADE60， AD4 可求出 DE 及 AE 的长度，在 RtAEC 中由直角三角形的性质可得出 AECE，故可得出 CE 的长 度，再利用锐角三角函数的定义可得出 AC 的长，进而可得出结论 【详解】解：过点 A 作 AECD 于点 E， BAC15， DAC901575， ADC60， 在 RtAED 中， cos60= = 4 = 1 2， DE2， sin60= = 4 = 3
43、2 ， AE23， EAD90ADE906030， 在 RtAEC 中， CAECADDAE753045， C90CAE904545， AECE23， sin45= = 23 = 2 2 ， AC26， AB26 +23 +222.4+21.7+210.210 米 答：这棵大树 AB 原来的高度是 10 米 17（2019潮南区模拟）如图所示，巨型广告牌 AB 背后有一看台 CD，台阶每层高 0.3 米，且 AC17 米， 现有一只小狗睡在台阶的 FG 这，层上晒太阳，设太阳光线与水平地面的夹角为 ，当 60时，测得 广告牌 AB 在地面上的影长 AE10 米，过了一会，当 45，问小狗在 FG 这层是否还能晒到太阳？ 请说明理由（3取 1.73） 【点睛】假设没有台阶，当 45时，从点 B 射下的光线与地面 AD 的交点为点 H，与 FC 的交点为点 M由BFA45，可得 AHAB17.3 米，那么 CHAHAC0.3 米，CMCH0.3 米，所以大楼 的影子落在台阶 FC 这个侧面上，故小狗可以晒到太阳 【详解】解：当 45时，小狗仍可以晒到太阳理由如下： 假设没有台阶，当 45时，从点 B 射下的光线与地面 AD 的交点为点 H，与 FC 的交点为点 M 当 60时，在 RtABE 中， tan60=
