1、 解题模型一解题模型一 针对训练针对训练 1.（2016枣庄）如图，在ABC 中，AB=AC，A=30，E 为 BC 延长线上一点，ABC 与ACE 的平分 线相交于点 D，则D 的度数为（ ） A15 B17.5 C20 D22.5 【小结】本题若不套用模型，则需要通过三角形的外角性质证明得到A、D 的数量关系. （1）如图 1，若点 P 是ABC 和ACB 的角平分线的交点，则P=90+A； （2）如图 2，若点 P 是外角CBF 和BCE 的角平分线的交点，则P=90A； （3）如图 3，若点 P 是ABC 和外角ACE 的角平分线的交点，则P=A 图 1 图 2 图 3 2.（2018
2、巴中）如图，在ABC 中，BO、CO 分别平分ABC、ACB若BOC=110，则A= 【分析】由解题模型一中的（1）可知，BOC=90+A，把BOC=110代入计算可得到A 的度数 【详解】BOC=90+A，BOC=110，90+A=110.A=40 【小结】本题若不套用模型，需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到BOC、A 的数量 关系. 3.（2018深圳）在 RtABC 中，C=90，AD 平分CAB，BE 平分ABC，AD、BE 相交于点 F，且 AF=4， EF=，则 AC= AD 平分CAB，BE 平分ABC，CF 是ACB 的平分线.ACF=45=AFE. CAF=FAE
3、，AEFAFC.AC=，故答案为 【小结】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出 AE 是解本题的关 键 4.（2018济南历城区模拟）如图，BA1和 CA1分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，BA2是A1BD 的角平分线，CA2是A1CD 的角平分线，BA3是A2BD 的角平分线，CA3是A2CD 的角平分线，若 A1=，则A2018= 【详解】A1B 是ABC 的平分线，A1C 是ACD 的平分线， A1BC=ABC，A1CD=ACD， 又ACD=A+ABC，A1CD=A1BC+A1， 【小结】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质
4、，以及角平分线的 定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键。 解题模型二解题模型二 1 1角平分线平行线等腰三角形 如图 1，BD 是ABC 的平分线，点 O 是 BD 上一点，OEBC 交 AB 于点 E，则BOE 是等腰三角形 2 2与角平分线有关的辅助线 （1）过角平分线上的点作角两边的垂线 如图 2，BO 是ABC 的平分线，过点 O 作 OEAB 于点 E，过点 O 作 OFBC 于点 F，则 OEOF， BEOBFO. 图 1 图 2 图 3 图 4 （2）角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形 如图 3，BO 是ABC 的平分线，在 BA，BC
5、上取线段 BEBF，则BEOBFO. （3）过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形 如图 4，BD 是ABC 的平分线，点 E 是 BD 上一点，过点 E 作 BD 的垂线，则BGH 是等腰三角形且 BD 垂直平分 GH. 针针对训练对训练 5.（2018长春）如图，在ABC 中，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E若 A=54，B=48，则CDE 的大小为（ ） A44 B40 C39 D38 【小结】此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质详 解 6. （2016湖州） 如图， ABCD， BP
6、 和 CP 分别平分ABC 和DCB， AD 过点 P， 且与 AB 垂直 若 AD=8， 则点 P 到 BC 的距离是（ ） A8 B6 C4 D2 【分析】过点 P 作 PEBC 于 E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PA=PE，PD=PE，那么 PE=PA=PD，又 AD=8，进而求出 PE=4 【详解】过点 P 作 PEBC 于点 E. ABCD，PAAB，PDCD. BP 和 CP 分别平分ABC 和DCB，PA=PE，PD=PE.，PE=PA=PD. PA+PD=AD=8，PA=PD=4.PE=4故选：C 【小结】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟
7、记性质并作辅助线是解题的关 键 7.（2018常德）如图，已知 BD 是ABC 的角平分线，ED 是 BC 的垂直平分线，BAC=90，AD=3，则 CE 的长为（ ） A6 B5 C4 D3 【小结】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三 角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线 段两端点的距离相等是解题的关键 8.（2018淄博）如图，在 RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MNBC 交 AC 于点 N， 且 MN 平分AMC，若 AN=1，则 BC 的长为（ ） A4 B6 C D8 【分析】根据题意，可以求得B 的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求
8、得 NC 的长，从而可以 求得 BC 的长 【小结】本题考查 30角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，详解本题的关键是 明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想详解 9. （2018大庆） 如图， B=C=90， M 是 BC 的中点， DM 平分ADC， 且ADC=110， 则MAB= （ ） A30 B35 C45 D60 【分析】作 MNAD 于 N，根据平行线的性质求出DAB，根据角平分线的判定定理得到MAB= DAB，计算即可 【小结】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两个端点的距离相等. 10.（2018河北）如图，点 I 为
9、ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将ACB 平移使其顶点与 I 重合， 则图中阴影部分的周长为（ ） A4.5 B4 C3 D2 【分析】连接 AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以 AI 是CAB 的平分线，由平行的性 质和等角对等边可得：AD=DI，同理 BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边 AB 的长 【小结】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内 心是角平分线的交点是关键 11.（2018枣庄）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F若 A
10、C=3，AB=5，则 CE 的长为（ ） A B C D 【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分线和对顶角 相等得出CEF=CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案 【详解】过点 F 作 FGAB 于点 G，如图所示. BC=4，= FC=FG，= ， 解得 FC=， 即 CE 的长为故选：A 【小结】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角 形的判定与性质等知识，关键是推出CEF=CFE 12.（2017滨州）如图，点 P 为定角AOB 的平分线上的一个定点，且MPN 与AOB
11、 互补，若MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论： （1）PM=PN 恒成立； （2） OM+ON 的值不变； （3） 四边形 PMON 的面积不变； （4） MN 的长不变， 其中正确的个数为 （ ） A4 B3 C2 D1 在POE 和POF 中，POEPOF（HL）.OE=OF. 在PEM 和PFN 中，PEMPFN（ASA）.EM=NF，PM=PN，故（1）正确. SPEM=SPNF，S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确.OM+ON=OE+ME+OFNF=2OE=定值，故（2） 正确，MN 的长度是变化的，故（4）
12、错误.，故选：B 【小结】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学 会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型 13.（2018德州）如图，OC 为AOB 的平分线，CMOB，OC=5，OM=4，则点 C 到射线 OA 的距离为 3 【小结】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等 14.（2018广安）如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB 于 C，若 EC=1，则 OF= 2 【分析】作 EHOA 于点 H，根据角平分线的性质求出 EH，根据直角三角形的性质求出 EF，根据等腰 三角形的性质
13、详解 【详解】作 EHOA 于点 H，如图所示. 【小结】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌 握角的平分线上的点到角的两边的距离相 等是解题的关键 15.（2018桂林）如图，在ABC 中，A=36，AB=AC，BD 平分ABC，则图中等腰三角形的个数是 3 【答案】3 【分析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形的判定： 等角对等边详解，做题时要注意，从最明显的找起，由易到难，不重不漏 【小结】本题考查了等腰三角形的性质及等腰三角形的判定，角的平分线的性质；求得各个角的度数 是正确详解本题的关键 16.（2016长春）感知：如图 1，AD 平分B
14、ACB+C=180，B=90，易知：DB=DC 探究：如图 2，AD 平分BAC，ABD+ACD=180，ABD90，求证：DB=DC 应用：如图 3，四边形 ABCD 中，B=45，C=135，DB=DC=a，则 ABAC= （用含 a 的代数式表 示） 【分析】探究：欲证明 DB=DC，只要证明DFCDEB 即可 应用：先证明DFCDEB，再证明ADFADE，结合 BD=EB 即可解决问题 【详解】探究：证明：如图中，DEAB 于 E，DFAC 于 F， DA 平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF. B+ACD=180，ACD+FCD=180，B=FCD. 在DFC 和DEB 中，D
15、FCDEB（AAS）.DC=DB ABAC=a故答案为a 【小结】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等 知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型 解题模型一解题模型一 平移模型平移模型 针对训练针对训练 1 （2018桂林）如图，点 A、D、C、F 在同一条直线上，AD=CF， AB=DE，BC=EF （1）求证：ABCDEF； （2）若A=55，B=88，求F 的度数 【分析】 （1）求出 AC=DF，根据 SSS 推出ABCDEF （2）由（1）中全等三角形的性质得到：A=EDF，进而得出结论即可 【小结】本题考查了
16、全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等 图示： 解题模型二解题模型二 对称模型对称模型 针对训练针对训练 2 （2018南充）如图，已知 AB=AD，AC=AE，BAE=DAC 求证：C=E 【分析】由BAE=DAC 可得到BAC=DAE，再根据“SAS”可判断BACDAE，根据全等的性质即 可得到C=E 【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”； 全等三角形的对应角相等，对应边相等 图示： 3 （2018广州）如图，AB 与 CD 相交于点 E，AE=CE，DE=BE求证：A=C 【分析】根据 AE=E
17、C，DE=BE，AED 和CEB 是对顶角，利用 SAS 证明ADECBE 即可 【解答】证明：在AED 和CEB 中， ， AEDCEB（SAS）. A=C（全等三角形对应角相等） 【小结】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要 求学生应熟练掌握 4 （2018乐山）如图，已知1=2，3=4，求证：BC=BD 【分析】由3=4 可以得出ABD=ABC，再利用 ASA 就可以得出ADBACB，就可以得出结论 【小结】本题考查了等角的补角相等的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三 角形全等是关键 5 （2017郴州）已知ABC 中，AB
18、C=ACB，点 D，E 分别为边 AB、AC 的中点，求证：BE=CD 【分析】由ABC=ACB 可得 AB=AC，又点 D、E 分别是 AB、AC 的中点得到 AD=AE，通过ABE ACD，即可得到结果 【小结】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键 6 （2018武汉）如图，点 E、F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，B=C，AF 与 DE 交于点 G，求证：GE=GF 【分析】求出 BF=CE，根据 SAS 推出ABFDCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论 【解答】证明：BE=CF，BE+EF=CF+EF.BF=CE. 在ABF 和DC
19、E 中，ABFDCE（SAS）.GEF=GFE.，EG=FG 【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法 是解题的关键 7 （2018泰州）如图，A=D=90，AC=DB，AC、DB 相交于点 O求证：OB=OC 【分析】因为A=D=90，AC=BD，BC=BC，知 RtBACRtCDB（HL） ，所以 AB=CD，证明ABO 与CDO 全等，所以有 OB=OC 【小结】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和 角相等的重要工具 8 （2018镇江）如图，ABC 中，AB=AC，点 E，F 在边 BC 上，B
20、E=CF，点 D 在 AF 的延长线上，AD=AC （1）求证：ABEACF； （2）若BAE=30，则ADC= 75 【分析】 （1）要证明ABEACF，由题意可得 AB=AC，B=ACF，BE=CF，从而可以证明结论成立； （2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得ADC 的度数 【小结】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件， 利用数形结合的思想解答 解题模型三解题模型三 旋转模型旋转模型 针对训练针对训练 9 （2018柳州）如图，AE 和 BD 相交于点 C，A=E，AC=EC求证：ABCEDC 【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的
21、两个三角形全等进行判断 【解答】证明：在ABC 和EDC 中， ， ABCEDC（ASA） 【小结】本题主要考查了全等三角形的判定，两角 及其夹边分别对应相等的两个三角形全等 图示： 10 （2018昆明）如图，在ABC 和ADE 中，AB=AD，B=D，1=2求证：BC=DE 【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”； 全等三角形的对应边相等. 11 （2017常州） 如图， 已知在四边形 ABCD 中， 点 E 在 AD 上， BCE=ACD=90， BAC=D， BC=CE （1）求证：AC=CD； （2）若 AC=A
22、E，求DEC 的度数 【分析】 （1）根据同角的余角相等可得到3=5，结合条件可得到1=D，再加上 BC=CE，可证得 结论； （2）根据ACD=90，AC=CD，得到2=D=45，根据等腰三角形的性质得到4=6=67.5，由平角 的定义得到DEC=1806=112.5 【小结】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即 SSS、SAS、 ASA、AAS 和 HL 12 （2017恩施州）如图，ABC、CDE 均为等边三角形，连接 BD、AE 交于点 O，BC 与 AE 交于点 P求证：AOB=60 【分析】利用“边角边”证明ACD 和BCE 全等，可得可得CAE=
23、CBD，根据“八字型”证明AOP= PCB=60即可 【小结】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等 三角形解决问题，属于中考常考题型 解题模型四解题模型四 平移平移+旋转模型旋转模型 针对训练针对训练 13 （2018菏泽）如图，ABCD，AB=CD，CE=BF请写出 DF 与 AE 的数量关系，并证明你的结论 【分析】结论：DF=AE只要证明CDFBAE 即可； 【解答】解：结论：DF=AE 理由：ABCD， C=B. CE=BF， CF=BE. 又CD=AB， CDFBAE（SAS）. DF=AE 【小结】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关
24、键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中 考常考题型 图示： 14 （2017孝感）如图，已知 AB=CD，AEBD，CFBD，垂足分别为 E，F，BF=DE，求证：ABCD 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得B=D，根据平行线的判定，可得答案 【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用等式的性质得出 BE=DF 是解题关键，又利用了全 等三角形的判定与性质 15 （2018铜仁）已知：如图，点 A、D、C、B 在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE FB 【分析】可证明ACEBDF，得出A=B，即可得出 AEBF； 【小结】本题考查了全等三角形的判定及性质以
25、及平行线的判定问题，关键是 SSS 证明ACEBDF 16 （2018怀化）已知：如图，点 A，F，E，C 在同一直线上，ABDC，AB=CD，B=D （1）求证：ABECDF； （2）若点 E，G 分别为线段 FC，FD 的中点，连接 EG，且 EG=5，求 AB 的长 【分析】 （1）根据平行线的性质得出A=C，进而利用全等三角形的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可 【解答】证明： （1）ABDC，A=C. 在ABE 与CDF 中，ABECDF（ASA）. （2）点 E，G 分别为线段 FC，FD 的中点，ED=CD. EG=5，CD=10. ABECDF，AB
26、=CD=10 【小结】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出A=C 解题模型五解题模型五 角平分线模型角平分线模型 针对训练针对训练 17.（2016咸宁）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用 符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已 知和求证 已知：如图，AOC=BOC，点 P 在 OC 上， . 求证： 请你补全已知和求证，并写出证明过程 【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出PDOPEO，由全等三角形的 性质可得结论 图示： 【小结】本题主要考查了角平分线的性质
27、和全等三角形的性质及判定，利用图形写出已知条件和求证 是解答此题的关键 解题模型六解题模型六 三垂直模型三垂直模型 针对训练针对训练 18.在ABC 中， ACB=90， AC=BC， 直线 MN 经过点 C， 且 ADMN 于 D， BEMN 于 E， 求证： DE=AD+BE 【分析】先证明BCE=CAD，再证明ADCCEB，可得到 AD=CE，DC=EB，等量代换，可得出 DE=AD+BE 图示： 【小结】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL证明两线段的和等于一条线段常常借助三角形全等来证明，要注意运用这种方法 19.如图，
28、将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线 l 上，且过 A，B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足 分别为 D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程 【分析】分析图可知，全等三角形为：ACDCBE根据这两个三角形中的数量关系选择 ASA 证明 全等 【小结】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须 有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 解题模型一解题模型一 A 字型字型 针对训练针对训练 1 （2015湘
29、潭）如图，在 RtABC 中，C=90，ACD 沿 AD 折叠，使得点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处 （1）求证：BDEBAC； （2）已知 AC=6，BC=8，求线段 AD 的长度 【分析】 （1）根据折叠的性质得出C=AED=90，利用DEB=C，B=B 证明三角形相似即可； （2）由折叠的性质知 CD=DE，AC=AE根据题意在 RtBDE 中运用勾股定理求 DE，进而得出 AD 即可 【解答】证明： （1）C=90，ACD 沿 AD 折叠， 【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据 1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它 属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形
30、状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等； 2、勾股定理求解 2 （2018黄石）在ABC 中，E、F 分别为线段 AB、AC 上的点（不与 A、B、C 重合） （1）如图 1，若 EFBC，求证： （2）如图 2，若 EF 不与 BC 平行， （1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图 3，若 EF 上一点 G 恰为ABC 的重心，求的值 【分析】 （1）由 EFBC 知AEFABC，据此得=，根据=（）2即可得证； （2）分别过点 F、C 作 AB 的垂线，垂足分别为 N、H，据此知AFNACH，得=， 根据=即可得证； （3）连接 AG 并延长交 BC 于点 M，连接 BG
31、并延长交 AC 于点 N，连接 MN， 由重心性质知 SABM=SACM、=，设=a， 利用（2）中结论知=、=a， 从而得=+a， 结合=a 可关于 a 的方程，解之求得 a 的值即可得出答案 =. =. （3）如图 2，连接 AG 并延长交 BC 于点 M，连接 BG 并延长交 AC 于点 N，连接 MN，则 MN 分别是 BC、AC 的中点， 【小结】本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形 重心的定义及其性质等知识点 3 （2017衢州）如图，AB 为半圆 O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 切半圆 O 于点 D，连接 OD作 BECD
32、 于点 E，交半圆 O 于点 F已知 CE=12，BE=9 （1）求证：CODCBE； （2）求半圆 O 的半径 r 的长 【分析】 （1）由切线的性质和垂直的定义得出E=90=CDO，再由C=C，得出CODCBE （2）由勾股定理求出 BC=15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案 【小结】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的判 定与性质是解决问题的关键 4 （2017杭州）如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AGBC 于点 G，AFDE 于点 F，EAF=GAC （1）求证：ADEABC； （2）若 AD=
33、3，AB=5，求的值 【分析】 （1）由于 AGBC，AFDE，所以AFE=AGC=90，可证明AED=ACB，进而可证ADE ABC； （2）ADEABC，又易证EAFCAG，所以，从而可知 【小结】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型 解题模型二解题模型二 8 字型字型 针对训练针对训练 5 （2018江西）如图，在ABC 中，AB=8，BC=4，CA=6，CDAB，BD 是ABC 的平分线，BD 交 AC 于点 E，求 AE 的长 【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出D=CBD，求出 BC=CD=4，证AEBCED，得出 比例式，求出 A
34、E=2CE，即可得出答案 =，=，AE=2CE AC=6=AE+CE，AE=4 【小结】本题考查了相似三角形的性质和判定和等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，能求出 AE=2CE 和ABECDE 是解此题的关键 6 （2017来宾）如图，在正方形 ABCD 中，H 为 CD 的中点，延长 AH 至 F，使 AH=3FH，过 F 作 FG CD，垂足为 G，过 F 作 BC 的垂线交 BC 的延长线于点 E （1）求证：ADHFGH； （2）求证：四边形 CEFG 是正方形 【分析】 （1）由正方形的性质以及 FGCD 得出ADH=FGH=90，结合对顶角AHD=FHG，即可判 定ADHFG
35、H； （2）根据三角形相似的性质得出 GF=CG，再根据已知条件 FGCD，DCBE，FEBE，即可判定四边 形 CEFG 是正方形 =3. GF=AD，DH=CH，CG=2GH，CD=6GH. CG=CD. GF=CG. FGCD，DCBE，FEBE， 四边形 CEFG 是正方形 【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关 键 解题模型三解题模型三 母子型母子型 针对训练针对训练 7 （2018东营）如图，CD 是O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上 （1）求证：CAD=BDC（2）若 BD=AD，AC=3，求 CD 的长 求出 CD 的
36、长 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图所示 CD=2 【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是： （1）利 用等角的余角相等证出CAD=BDC； （2）利用相似三角形的性质找出 解题模型四解题模型四 一线三等角型一线三等角型 针对训练针对训练 8 （2018杭州）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 为 BC 边上的中线，DEAB 于点 E （1）求证：BDECAD （2）若 AB=13，BC=10，求线段 DE 的长 【分析】 （1）想办法证明B=C，DEB=ADC=90即可解决问题； （2）利用面积法：ADBD=ABDE 求解即可； 【小结】本题
37、考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本 知识，学会利用面积法确定线段的长 9 （2018盐城节选）如图，已知等边ABC，将直角三角板的 60角顶点 D 任意放在 BC 边上（点 D 不 与点 B、C 重合） ，使两边分别交线段 AB、AC 于点 E、F （1）若 AB=6，AE=4，BD=2，则 CF= ； （2）求证：EBDDCF 【分析】（1） 先求出 BE 的长度后发现 BE=BD 的， 又B=60， 可知BDE 是等边三角形， 可得BDE=60， 另外DEF=60，可证得CDF 是等边三角形，从而 CF=CD=BCBD； （2）证明EBDDCF，这
38、个模型可称为“一线三等角相似模型”，根据“AA”判定相似. CDF+BDE=120，BED+BDE=120. BED=CDF 又B=C=60， EBDDCF. 10 （2017东营）如图，在等腰三角形 ABC 中，BAC=120，AB=AC=2，点 D 是 BC 边上的一个动点（不 与 B、C 重合） ，在 AC 上取一点 E，使ADE=3 0 （1）求证：ABDDCE； （2）设 BD=x，AE=y，求 y 关于 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围； （3）当ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长 【解答】证明： （1）ABC 是等腰三角形，且BAC=120， ABD=ACB=30
39、. ABD=ADE=30. ADC=ADE+EDC=ABD+DAB， EDC=DAB. ABDDCE. （2）如图 1，AB=AC=2，BAC=120， （3）当 AD=DE 时，如图 2， 由（1）可知：此时ABDDCE，则 AB=CD，即 2=2x， x=22，代入 y=x+2， 解得 y=42，即 AE=42. 当 AE=ED 时，如图 3，EAD=EDA=30，AED=120， DEC=60，EDC=90， 则 ED=EC，即 y=（2y）.解得 y=，即 AE=. 当 AD=AE 时，AED=EDA=30，EAD=120， 此时点 D 与点 B 重合，不符合题意，此情况不存在， 当A
40、DE 是等腰三角形时，AE=42或 【小结】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形 30角的性质，本题的几个问题全部围绕ABDDCE，解决问题；难度适中 解题模型五解题模型五 一线三垂直型一线三垂直型 针对训练针对训练 11 （2018梧州）如图，AB 是M 的直径，BC 是M 的切线，切点为 B，C 是 BC 上（除 B 点外）的 任意一点，连接 CM 交M 于点 G，过点 C 作 DCBC 交 BG 的延长线于点 D，连接 AG 并延长交 BC 于 点 E （1）求证：ABEBCD； （2）若 MB=BE=1，求 CD 的长度 【分析】 （1）根据
41、直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似； （2）利用勾股定理和面积法得到 AG、GE，根据三角形相似求得 GH，得到 MB、GH 和 CD 的数量关系， 求得 CD 【解答】 （1）证明：BC 为M 切线 ABC=90. DCBC， BCD=90. ABC=BCD. AB 是M 的直径， AGB=90，即 BGAE. CBD=A. ABEBCD. （2）解：过点 G 作 GHBC 于点 H. GH= . 又GHAB， 【小结】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似解答时，注意根据条 件构造相似三角形 12 （2018武汉）在ABC 中，ABC=90 （1）如图 1，分别
42、过 A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线，垂足分别为 M、N，求证：ABMBCN； （2）如图 2，P 是边 BC 上一点，BAP=C，tanPAC=，求 tanC 的值； （3）如图 3，D 是边 CA 延长线上一点，AE=AB，DEB=90，sinBAC=，直接写出 tanCEB 的值 【分析】 （1）利用同角的余角相等判断出BAM=CBN，即可得出结论； （2）先判断出 MP=MC，进而得出=，设 MN=2m，PN=m， 根据勾股定理得，PM=3m=CM，即可得出结论； （3）先判断出=，再同（2）的方法，即可得出结论 【解答】解： （1）AMMN，CNMN， AMB=BNC=90.
43、BAM+ABM=90. ABC=90， （3）在 RtABC 中，sinBAC=， 如图 3，过点 A 作 AGBE 于 G，过点 C 作 CHBE 交 EB 的延长线于点 H. DEB=90，CHAGDE，= . 同（1）的方法得，ABGBCH，. 设 BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n， AB=AE，AGBE，EG=BG=4m. 【小结】此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函 数，平行线分线段成比例定理，构造图 1 是解本题的关键 解题模型一解题模型一 “独立”型“独立”型 图形图形 关系式关系式 针对训练针对训练 1 （2018台州）
44、图 1 是一辆吊车的实物图，图 2 是其工作示意图，AC 是可以伸缩的起重臂，其转动 点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.4m当起重臂 AC 长度为 9m，张角HAC 为 118时，求操作平台 C 离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53） 【小结】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直 角三角形转化为解直角三角形问题） ，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算 解题模型二解题模型二 “背靠背”型“背靠背”型 图形图形 关系式关系式 针对训练针对训练 2 （2018临沂）如图
45、，有一个三角形的钢架 ABC，A=30，C=45，AC=2（+1）m请计算说明， 工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 2.1m 的圆形门？ 【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出 BD 的长是解此题的 关键 3 （2018长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 A、B 两地间的公路进行改建如图， A、B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地需途径 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽 车可直接沿直线 AB 行驶已知 BC=80 千米，A=45，B=30 （1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到 0.1 千米） （参考数据： 1.41，1.73） （2）cos30=，BC=80（千米） ，BD=BCcos30=80（千米）. tan
