1、 1 / 6 【数学大咖群】绝密本科目考试启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数 学 本试卷共 5 页，150 分，考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后， 将本试卷和答题卡 第一部分（选择题共第一部分（选择题共 4 40 0 分）分） 一、选择题共一、选择题共 1 10 0 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4 40 0 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 1,0,1,2, 03ABxx ，则AB （A） 1,0,1 （B）
2、0,1 （C） 1,1,2 （D）1,2 （2）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i z （A）1 2i （B）2 i （C）1 2i （D）2 i （3）在 5 (2)x 的展开式中， 2 x的系数为 （A）5 （B）5 （C）10 （D）10 （4）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 （A）63 （B）62 3 （C）123 （D）122 3 （5）已知半径为 1 的圆经过点)4 , 3(，则其圆心到原点的距离的最小值为 （A）4 （B）5 2 / 6 （C）6 （D）7 （6）已知函数12)(xxf x ，则不等式( )0f x 的解集是 （A）
3、) 1 , 1( （B）(-1)(1,), （C）(0,1) （D）(0)(1), （7）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l；P是抛物线异己O的一点，过P做PQl于Q，则线段FQ的 垂直平分线 （A）经过点O （B）经过点P （C）平行于直线OP （D）垂直于直线OP （8）在等差数列 n a中， 1 9a ， 5 1a ，记 12 (1,2,) nn Ta aa n，则数列 n T （A）有最大项，有最小项 （B）有最大项，无最小项 （C）无最大项，有最小项 （D）无最大项，无最小项 （9）已知 R,，则“存在kZ，使得( 1)kk ”是“sinsin”的 （A）充分而不必要条件 （B）
4、必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日( ay)D。历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中 的“割圆术”相似，数学家阿尔 卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正n6边形的周长和 外切正n6边形（各边均与圆相切的正n6边形）的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值。按照阿尔 卡 西的方法，的近似值的表达方式是 （A） 3030 3 (sintan)n nn （B） 3030 6 (sintan)n nn （C） 6060 3 (sintan)n nn （D） 6060 6 (sintan
5、)n nn 第二部分第二部分（非选择题（非选择题 共共 1 11010 分分） 二二、填空题填空题 5 5 小题小题，每小题每小题 5 5 分，共分，共 2 25 5 分分 3 / 6 （11）函数 1 ( )=ln 1 f xx x 的定义域是_ （12）已知双曲线 22 :1 63 xy C，则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线的距离是_ （ 13 ） 已 知 正 方 形A B C D的 边 长 为2， 点P满 足 1 2 A PA BA C， 则PD _ ； PB PD_ （14）若函数( )sin()cosf xxx的最大值为2，则常数的一个取值为_ （15）为满足人民对美好生活
6、的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改设企 业的污水排放量W与时间t 的关系为( )Wf t，用 ( )( )f bf a ba 的大小评价在, a b这段时间内企业污水 治理能力的强弱 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示 给出下列四个结论： 在 12 ,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 2 t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 3 t时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； 甲企业在 1 0,t， 12 ,t t， 23 ,t t这三段时间中，在 1 0,t的污水治理能力最强 其中所有正确结论的序号是_
7、4 / 6 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8585 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 13 分） 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点 （）求证： 1 BC平面 1 ADE； （）求直线 1 AA与平面 1 ADE所成角的正弦值 （17） （本小题 13 分） 在ABC中，11ab ，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求： （）a 的值； （）sinC和ABC的面积 条件：7c ， 1 cos 7 A 条件， 1 cos, 8 A 9 cos. 16 B
8、注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 5 / 6 （18） （本小题 14 分） 某校为举办甲乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二、为了解该校学生对活动方案是 否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200 人 400 人 300 人 100 人 方案二 350 人 250 人 150 人 250 人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立 （）分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率： （）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方
9、案一的概率； （）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 0 p,假设该校一年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外 其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 1 p，试比较 0 p与 1 p的大小 （结论不要求证明） （19） （本小题 15 分） 已知函数 2 12f xx （I）求曲线 yf x的斜率等于2的切线方程； （II）设曲线yf x （ ）在点 tf t，处的切线与坐标轴围城的三角形面积为 S t，求 S t的最小值。 6 / 6 （20） （本小题 15 分） 已知椭圆 22 22 1 xy C ab ：过点21A ，且2ab （I）求椭圆C的方程： （II）过点4,
10、0B （）的直线l交椭圆C于点,M N,直线,MA NA分别交直线4x于点,P Q求 PB BQ 的值 （21） （本小题 15 分） 已知 n a是无穷数列，给出两个性质： 对于 n a中任意两项 ij a aij,，在 n a中都存在一项 m a，使得 2 i m j a a a . 对于 n a中任意一项3 n a n （），在 n a都存在两项 kl aakl, , ，使得 2 k n l a a a （I）若1,2, n an n,判断 n a是否满足性质，说明理由： （II）若 1 21,2, n n an ，判断数列 n a是否同时满足性质和性质，说明理由； （III）若 n a是递增数列，且同时满足性质和性质，证明： n a为等比数列。
