1、 1 湖北省武汉市东湖高新技术开发区 2016-2017学年高一数学下学期期中试题 一、 选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知等比数列na满足：9273 ?aa，则5cosa= A21?B C21?D23?2. ABC? 中， ,abc分别为角 ,ABC 的对边， 3 , 2 , 4 5a b B? ? ?，则角 C 的大小为 A. 15 B. 75 C. 15 或 75 D. 60 或 120 3. 已知向量 )2,1(?a ， )1,3(?b ， )4,(kc? ，且 cba ? )( ，则 ? )(
2、bac A. )12,2( B. ( 2,12)? C. 14 D. 10 4. 已知数列 na 的 通项为 nan 2114?，则满足 nn aa ?1 的 n 的最大值为 A 3 B 4 C 5 D 6 5. ABC? 的三个内角 CBA , 所对的边分别为 cba, . 设向量 ),( bcap ? ， ,( abq ? )ac? ，若 p q ，则角 C 的大小为 A 6? B 3? C 2? D 32? 6. 已知 nS 是等差数列 na 的前 n 项和， 85?a ， 63?S ，则 710 SS ? 的值是 A 24 B 48 C 60 D 72 7. 已知 ( 1 ,1 ) ,
3、 , ,a O A a b O B a b? ? ? ? ? ?若 OAB? 是以点 O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB? 的面积为 A 2 B 4 C 22 D 2 第 1行 1 第 2行 2 3 第 3行 4 5 6 7 2 第 15 题 图 A B C D 第 10 题图 O 8一个正整数数表如右表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2倍），则第 9行中的第 6个数是 A 132 B 261 C 262 D 517 9. 在 ABC? 中， 三个内角 CBA , 所对的边分别为 cba, . 已知 cBa ?cos2 ，且满足 2 1s i n s i n ( 2 c
4、o s ) s i n 22CA B C? ? ?，则 ABC? 为 A. 锐角非等边三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 10. 在 ABC? 中， 2AB? ， 3 , 6 0 ,BC ABC? ? ?AD 为 BC 边上的高， O 为 AD 的中点，若 AO AB BC?，则 ? A 35? B 21? C 21 D 32 11. 设数列 na 满足 21?a ，1211 ? nn aa，记数列 na 的前 n 项之 积 为 nT ，则 ?2018T A 1 B 2 C 31 D 32 12 已知 ABC? 周长为 6， ,abc分别为角 ,ABC 的对边，且
5、 ,abc成等比数列，则 BABC? 的取值范围为 A )18,2 B 2,2 )15(3( ? C )2 5927,2 ? D )539,2( ? 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分） 13. 已知向量 ba, 满足 )3,1(?b ， 3)( ? bab ，则向量 a 在 b 方向上的投影为 . 14. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 23 ? nnS ，则数列 na 的通项公式为 15. 如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 60 ，沿倾斜角为 15 的斜坡向上走 200 米到 B ，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 75 ，则山高? ? ? ?
6、 第 8 题图 3 h? _米 . 16 已 知数 列 na 的前 n 项和 为 nS ， 对任 意 *Nn? ， 321)1( ? naSnnnn，且 0)( 1 ? ? nn atat 恒成立，则实数 t 的取值范围为 三、解答题： (本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ) 17. （本小题满分 10 分） 设正项等比数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且满足 3 3 232S a a?， 4 8a? . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设数列 2lognnba? ，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，求使得 nT 取最大值的正整数
7、 n 的值 . 18. （本小题满分 12 分） 在 ABC? 中， ,abc分别为角 ,ABC 的对边， 2 74 s in c o s 222BC A? ?. （ 1）求角 A 的度数； （ 2）若 33 , 3 ,2a c b? ? ?求 ABC? 的面积 . 19. （本小题满分 12 分） 已知向量 ba, 满足 1?a ， 1?b ， bkabak ? 3 ， 0?k . （ 1）求 a 与 b 的夹角 ? 的最大值； （ 2）若 a 与 b 共线，求实数 k 的值 . 20. （本小题满分 12 分） 如 图 ， 某 小 区 准 备 将 闲 置 的 一 直 角 三 角 形 地 块
8、 开 发 成 公 共 绿 地 ， 图 中, , 32B A B a B C a? ? ? ?.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道 MN ，且两边是两个关于走A C M B N A ?第 20 题图 4 道 MN 对称的三角形（ AMN? 和 AMN? ） . 现考虑方便和绿地最大化原则，要求点 M 与点 ,AB均不重合， A 落在边 BC 上且不与端点 ,BC重合，设 AMN ?. （ 1）若 3? ，求此时公共绿地的面积； （ 2）为方便小区居民的行走，设计时要求 AN ， AN的长度最短，求此时绿地公共走道 MN 的长度 . 21. （本小题满分 12 分） 已知数列
9、na 满足1212 ? nn n aaa（ *Nn? ）， 11?a . （ 1）证明：数列 1na为等差数列，并求数列 na 的通项公式； （ 2）若记 nb 为满足不等式 1*11( ) ( ) ( )22nnka n N? ? ?的正整数 k 的个数，数列 nnab 的前 n 项和为 nS ，求关于 n 的不等式 4032nS ? 的最大正整数解 . 22. （本小题满分 12 分） 已知数列 ?na 满足 11?a ，点 ),( 1?nn aa 在直线 12 ? xy 上 . （ 1） 求数列 ?na 的通项公式； （ 2）若数列 nb 满足 11 ab? ， ),2(111 *121
10、 Nnnaaaabnnn ?. 求 11 )1( ? ? nnnn abab 的值； 求证：1 2 1 210( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )3nnb b b b b b n N ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 5 高一年级数学试题参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C C B B A B C D D C 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13. 21 ； 14. ? ? ? ? 2,32 1,1 1 nna nn； 15. 150( 6 2
11、)?； 16. )411,43(? 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分。 17. 解析：（ 1）设正项等比数列 na 的公比为 q ，则 0?q 由已知的 233 23 aaS ? 有 02 123 ? aaa ，即 02 1121 ? aqaqa ，又 01?a 012 2 ? qq ，故 21?q 或 1?q （舍） ? 4分 744 )21( ? ? nnn qaa ? 6 分 （ 2） 由（ 1）知 nab nn ? 7log 2 ，设 nT 为其最大项，则有 ? ? 001nnbb 即 ? ? ? 06 07 nn ，得 76 ?n ，故当 6?n 或 7 时， nT 达到最大
12、。? 10分 （法 2） 4169)213(212 )13( 2 ? nnnTn，亦可 给分 . 18. 解：（ 1） .依题意可得： 21 c o s ( ) 74 ( 2 c o s 1 )22BC A? ? ? ? ? .2分 22 712 2 c o s 2 c o s 1 4 c o s 4 c o s 1 0 c o s22A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4分 3A ? ? 5分 （ 2） . 由余弦定理 得 ： 2 2 22 2 2 2 2221 3 3c o s 0 3 ( ) 3 02 2 22 7 5 33 3 3 3 048b c aA b
13、c a b c c c cbcc c c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9分 1 1 5 3 3 1 5 3s i n 32 2 8 2 3 2ABCS b c A? ? ? ? ? ? ? ?.12 分 6 19.解：（ 1） 22 )(3)(|3| bkabakbkabak ? 即 kkbabkbakabbakak 4 13632 2222222 ? ? .3分 21)1(41 ? kkba? ，当且仅当 kk 1? 且 0?k 即 1?k 时等号成立 ? .5分 此时21|c o s ? baba ba?又 ?cos?y 在 ,
14、0 ? 上 单 调 递 减 ， 从 而3max ? ? ? .7分 （ 2） ba/? ， a? 与 b 夹角为 0 或 ? ， 1|4 1|1c o s| 2 ? kkbaba ? ? .10 分 又 0?k? ， 32412 ? kkk ?12 分 20.解： （ 1）由图得： 11 2 3 2 2B M A B M A M A M? ? ? ? ? ? ? ? .2分 又 3223B M A M a A B A M a A M a? ? ? ? ? ? ? ? .4分 2 2 21 4 3 2 32 2 s i n2 3 9 2 9A M NS S A M a a? ? ? ? ? ?
15、? ? ? ? 6分 （ 2）由图得： c o s ( 2 )A M A M A B a? ? ? ?且 AM AM? 2 1 c o s ( 2 ) 1 c o s 2 2 s i na a aA M A M ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .7分 在 AMN? 中 ， 由正弦定理可得 ：s in s in ( )3AN AM? ? ?s in22s in ( ) 2 s in s in ( )33A M aAN ? ? ? ? ? 9分 记 22 2 22 s i n s i n ( ) 2 s i n ( s i n c o s c o s s i n ) 3 s i n c o
16、 s s i n3 3 3t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 1 c o s 2 1s i n 2 s i n ( 2 )2 2 6 2? ? ? ? ? 又 ( , )42? ? 10分 2 62? ? ? 3? 时 t取最大， AN 最短 ，则此时 23MN AM a? 7 21.（ 1）由于 11?a ，221 ? n nn a aa，则 0?na )21(211 1 nn aa ? ?即2111 1 ? nn aa，又 111?a? 3分 ?数列 1na是以 1 为首项， 21 为公比的等比数列。 ? 4分 从而2 121)1(11 ? nna n，
17、即 12?nan? 5分 （ 2） 由 111( ) ( )22nnka ?即 1)21(12)21( ? nn k ，得 1212 1 ? ?nn k ， 又 *Nk? ，从而 nnnnb 2)12()12( 1 ? ? ? 7分 故 12)1( ? nnn nab 又 110 2)1(2322 ? nn nS ? nn nS 2)1(23222 21 ? ? 得 nnn nS 2)1(2222 110 ? ? nnn nn 22)1(21 )21(22 1 ? ? 从而 nn nS 2? ? ? 9 分 由 02)2(22)1( 11 ? ? nnnnn nnnSS ，故数列 nS 为递增数列 . 又 403220488 ?S ， 403246089 ?S ， 则使关于 n 的不等式 4032nS ? 成立的最大正整数解为 8 ? 12 分 22.（ 1）由题意知 121 ? nn aa ，即 )1(211 ? nn aa 由于 0211 ?a ，所以 01?na ，从而数列 1 ?na 是以 2 为首项， 2 为公比的等 比数列， nna 21? ，即 12 ? nna ?
