1、 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法 目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1.1.了解并掌握因式分解的定义及意义了解并掌握因式分解的定义及意义.（重点）（重点）2.2.熟练运用提公因式法进行因式分解熟练运用提公因式法进行因式分解.(难点）难点）学习目标新课导入思 考请把下列多项式写成整式的乘积的形式：(1)x2+x;(2)x2-1.根据整式的乘法，可以联想到：(1)x2+x=x(x+1);(2)x2-1=(x+1)(x-1).这样的运算是什么，有什么计算方法？新课讲解 知识点1 因
2、式分解定义：定义：把一个多项式把一个多项式化成几个整式的积化成几个整式的积的形式，像这样的式子变的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的形叫做这个多项式的因式分解因式分解，也叫做把这个多项式，也叫做把这个多项式分解因式分解因式.可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即新课讲解 知识点1 因式分解 (1)因式分解是一种恒等变形，整式乘法是一种运算，故因式分解与整式乘法不是互逆运算，只是方向相反的变形；(2)因式分解不针对单项式，只针对多项式，而且是针对多项式的整体，而不是部分.因式分解的结果中的每个因式都是整式且不能再分解.新课讲解 (1)
3、(1)因式分解的结果一定是因式分解的结果一定是几个整式的乘积几个整式的乘积的的形式，乘积中形式，乘积中相同因式的积要写成幂相同因式的积要写成幂的形式；的形式；(2)(2)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能不能再分解为止再分解为止.重 点 知识点1 因式分解新课讲解练一练1判断下列式子中哪些是因式分解？是是是是否否否否3x+6y=3(x+2y);4m2n3+2mn2=2mn2(2mn+1);(x+2y)2=x2+4xy+4y2;(a+4)(a-4)=a2-16.新课讲解练一练2下列变形属于因式分解的有（）8xy3=2xy4y2;(x+5)(x-5)=
4、x2-25;x2+2x-3=x(x+2)-3;x2y+xy2=xy(x+y).A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ）（xxxx112 分析：分析：要判断一个式子从左到右的变形是否为因式分解，关键是看这个变形是否把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.新课讲解练一练2下列变形属于因式分解的有（）8xy3=2xy4y2;(x+5)(x-5)=x2-25;x2+2x-3=x(x+2)-3;x2y+xy2=xy(x+y).A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ）（xxxx112中等号左边不是多项式，所以不是因式分解;中 不是整式，所以不是因式分解;是整式的乘法，所以不是因式分解;中等号的右边不是积
5、的形式，所以不是因式分解;符合因式分解的概念，是因式分解.分析：分析：x1新课讲解 知识点2 用提公因式法因式分解公因式：一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.公因式的确定：(1)确定公因式的系数：当多项式中各项系数都是整数时，公因式的系数就是多项式中各项系数的最大公因数；当多项式中各项系数都是分数时，公因式的系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数；新课讲解 知识点2 用提公因式法因式分解(2)确定相同字母：公因式应取多项式各项中的相同的字母；(3)确定公因式中相同字母的指数：取相同字母的指数的最小值作为公因式中此字母的指数；
6、(4)确定公因式：由步骤(1)(3)写出多项式的公因式.新课讲解 知识点2 用提公因式法因式分解 确定公因式的示例：nm22234nm取相同字母取相同字母m中指中指数最低的数最低的m2取相同字母取相同字母n中指中指数最低的数最低的n取取2 2和和4 4的最的最大公约数大公约数2 2公因式公因式2m2n新课讲解 (1)(1)公因式必须是公因式必须是多项式中各项都含有多项式中各项都含有的公共的因式，只的公共的因式，只在某一项或某些项中存在而在其他项中没有的因式，不能作为公在某一项或某些项中存在而在其他项中没有的因式，不能作为公因式的一部分；因式的一部分；(2)(2)公因式可以是数，也可以是单项式或
7、多项式，也可以是多项式公因式可以是数，也可以是单项式或多项式，也可以是多项式的幂的形式；的幂的形式；(3)(3)若多项式各项中含有互为相反数的因式，则若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的可将互为相反数的因式统一成相同的因式因式统一成相同的因式；若多项式各项中含有；若多项式各项中含有相同相同的多项式因式，的多项式因式，则则应将其看成一个整体，不要拆开应将其看成一个整体，不要拆开.重 点 知识点2 用提公因式法因式分解新课讲解 知识点2 用提公因式法因式分解定义：定义：一般地，如果多项式的一般地，如果多项式的各项有公因式各项有公因式，可以把这个公因式，可以把这个公因式提取提取出来
8、，将多项式写成公因式与另外一个因式的出来，将多项式写成公因式与另外一个因式的乘积乘积的形式，的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法这种分解因式的方法叫做提公因式法.使用提公因式法分解因式时，所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不再含有公因式.新课讲解 知识点2 用提公因式法因式分解提公因式法的一般步骤：(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；(3)把多项式写成这两个因式的积的形式.新课讲解(1)(1)提公因式法的依据是提公因式法的依据是乘法分配律的逆用乘法分配
9、律的逆用，关键是找准，关键是找准公因式；公因式；(2)(2)当多项式首项系数是当多项式首项系数是负数时负数时，一般应先提出，一般应先提出“-”号，但要注号，但要注意，此时括号内各项都要意，此时括号内各项都要改变符号改变符号.(3)(3)多项式有几项，提取公因式后，各项的剩余部分组成的新多项多项式有几项，提取公因式后，各项的剩余部分组成的新多项式就有几项，式就有几项，不能漏项；不能漏项；(4)(4)当公因式与多项式中某一项相同时，提取公因式后该项当公因式与多项式中某一项相同时，提取公因式后该项剩余的剩余的项为项为“1”1”，一定不要漏项，一定不要漏项.重 点 知识点2 用提公因式法因式分解 重
10、点新课讲解练一练3将下列各式分解因式：(1)ax+ay;(2)8mn2+2mn;(3)2a(y-z)-3b(z-y).解：解：(1)(1)ax+ay=a(x+y);(2)8mn2+2mn=2mn(4n+1);(3)2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(2a+3b)(y-z).课堂小结因式分解因式分解因式分解的定义因式分解的定义提公因式法分解因式的方法和步骤提公因式法分解因式的方法和步骤当堂小练1.下列等式从左到右是因式分解的有()(1)x2-x=x(x-1);(2)a(a-b)=a2-ab；(3)a2-9=(a+3)(a-3)；(4)a2-2a+1=a(a-2)+1
11、；A.1个B.2个C.3个D.4个B当堂小练2.分解因式：3a2(x-y)3-4b2(y-x)2.解：原式解：原式=3a2(x-y)(x-y)2-4b2(x-y)2 =(x-y)23a2(x-y)-4b2 =(x-y)2(3a2x-3a2y-4b2)当堂小练解：解：7y(x-3y)2-2(3y-x)3 =7y(x-3y)2+2(x-3y)3 =(x-3y)27y+2(x-3y)=(x-3y)2(2x+y)=126=63.已知 求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.2x+y=6，x-3y=1，拓展与延伸已知m-4n=-3，mn=4，求-m3n+8m2n2-16mn3的值.解析：解析：由条件等式求式子的值的通法是根据已知条件求出式子中字母由条件等式求式子的值的通法是根据已知条件求出式子中字母的值，然后代入求值的值，然后代入求值.但是本题中但是本题中m m，n n不容易求出，可以不容易求出，可以先分解因式，先分解因式，将所求整式整理成只含将所求整式整理成只含m m-4-4n n和和mnmn的形式，然后的形式，然后整体代入求值整体代入求值即可即可.解：解：-m3n+8m2n2-16mn3=-mn(m2-8mn+16n2)=-mn(m-4n)2.因为因为m-4n=-3，mn=4，所以原式所以原式=-4(-3)2 =-49=-36.
