1、- 1 - 绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效答题卡上
2、。写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的. 1.若 z=1+i，则|z22z|=（） A. 0 B. 1 C.2D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意首先求得 2 2zz 的值，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得： 2 2 12zii，则 2 222 12zzii . 故 2 222zz . 故选：D. 【点睛】本题主要
3、考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 2.设集合 A=x|x240，B=x|2x+a0，且 AB=x|2x1，则 a=（ ） A. 4B. 2C. 2D. 4 【答案】B 【解析】 - 2 - 【分析】 由题意首先求得集合 A,B，然后结合交集的结果得到关于 a 的方程，求解方程即可确定实数 a 的值. 【详解】求解二次不等式 2 40x 可得： 2|2Axx， 求解一次不等式20xa可得：| 2 a Bx x . 由于| 21ABxx ，故：1 2 a ，解得：2a . 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算 求解能力.
4、 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高 为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底 面正方形的边长的比值为（） A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 2 【答案】D 【解析】 【分析】 设,CDa PEb，利用 2 1 2 POCD PE得到关于, a b的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设,CDa PEb，则 2 222 4 a POPEOEb ， - 3 - 由题意 2 1 2 POab，即 2 2 1 42 a bab，化简得 2 4( )210 bb aa ， 解得 1
5、5 4 b a （负值舍去）. 故选：C. 【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容 易题. 4.已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9， 则 p=（） A. 2B. 3 C. 6D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知|12 2 A p AFx，即129 2 p ，解得 6p =. 故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容 易题. 5.某校一
6、个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：C）的关系，在 20 - 4 - 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据( ,)(1,2,20) ii x yi 得到下面的散点图： 由此散点图，在 10C 至 40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是（） A.y abx B. 2 yabx C.exyabD.lnyabx 【答案】D 【解析】 【分析】 根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是lnyabx. 故选
7、：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 6.函数 43 ( )2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为（） A.21yx B.21yx C.23yxD.21yx 【答案】B 【解析】 【分析】 求得函数 yf x的导数 fx ， 计算出 1f和 1 f 的值， 可得出所求切线的点斜式方程， - 5 - 化简即可. 【详解】 43 2f xxx， 32 46fxxx， 11f ， 12 f ， 因此，所求切线的方程为121yx ，即21yx . 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 7.设函数( )cos
8、 () 6 f xx在 ,的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（） A. 10 9 B. 7 6 C. 4 3 D. 3 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由图可得：函数图象过点 4 ,0 9 ，即可得到 4 cos0 96 ，结合 4 ,0 9 是 函数 fx图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到 4 962 ，即可求得 3 2 ， 再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点 4 ,0 9 ， 将它代入函数 fx可得： 4 cos0 96 - 6 - 又 4 ,0 9 是函数 fx图象与x轴负半轴的第一个交点， 所以 4 962 ，解得： 3 2 所以函数 fx
9、的最小正周期为 224 3 3 2 T 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中 档题. 8. 2 5 ()()xx y x y的展开式中 x3y3的系数为（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】 求得 5 ()xy展开式的通项公式为 5 15 rrr r TC xy （rN且5r ） ，即可求得 2 y x x 与 5 ()xy展开式的乘积为 6 5 rrr C xy 或 42 5 rrr C xy 形式，对r分别赋值为 3，1 即可求得 33 x y的 系数，问题得解. 【详解】 5 ()xy展开式
10、的通项公式为 5 15 rrr r TC xy （rN且5r ） 所以 2 y x x 与 5 ()xy展开式的乘积可表示为： 56 155 rrrrrr r xTxC xyC xy 或 22 542 155 rrrrrr r TC xy x Cy yy x x 在 6 15 rrr r xTC xy 中，令3r ，可得： 333 45 xTC x y，该项中 33 x y的系数为10， 在 42 15 2 rrr r TC x x y y 中，令1r ，可得： 5 2 133 2 TC y x x y，该项中 33 x y的系数为5 - 7 - 所以 33 x y的系数为10515 故选：C
11、 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及 分析能力，属于中档题. 9.已知 ()0,，且3cos2 8cos5，则sin（） A. 5 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 5 9 【答案】A 【解析】 【分析】 用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用 同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】3cos28cos5，得 2 6cos8cos80 ， 即 2 3cos4cos40 ，解得 2 cos 3 或cos2（舍去） ， 又 2 5 (0, ),sin1cos 3 . 故选：A. 【点睛】本题考查三角
12、恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考 查计算求解能力，属于基础题. 10.已知, ,A B C为球O的球面上的三个点， 1 O为ABC的外接圆，若 1 O的面积为4， 1 ABBCACOO，则球O的表面积为（） A.64B.48C.36D.32 【答案】A 【解析】 【分析】 - 8 - 由已知可得等边ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出 1 OO的值，根据球截面性质， 求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆 1 O半径为r，球的半径为R，依题意， 得 2 4 ,2rr ， 由正弦定理可得 2 sin602 3ABr ， 1 2 3OOAB，根据圆截面性质 1
13、OO 平面ABC， 2222 11111 ,4OOO A ROAOOO AOOr， 球O的表面积 2 464SR . 故选：A 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于 基础题. 11.已知M： 22 2220xyxy，直线l：220xy，P为l上的动点，过点P 作M 的切线,PA PB，切点为,A B，当| |PMAB最小时，直线AB的方程为（） A.210xy B.210xy C.210xy D. 210xy 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点, , ,A P B M共圆，且ABMP，根据 - 9 - 2
14、2 PAM PMABSPA 可知，当直线MPl时，PMAB最小，求出以MP为直 径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程 【 详 解 】 圆 的 方 程 可 化 为 22 114xy， 点M到 直 线l的 距 离 为 22 2 1 1 2 52 21 d ，所以直线l与圆相离 依圆的知识可知，四点, , ,A P B M四点共圆，且ABMP，所以 1 222 2 PAM PMABSPAAMPA ，而 2 4PAMP ， 当直线MPl时， min 5MP， min 1PA，此时PMAB最小 1 :11 2 MP yx 即 11 22 yx，由 11 22 220 yx xy 解得， 1
15、 0 x y 所以以MP为直径的圆的方程为1110xxy y，即 22 10xyy ， 两圆的方程相减可得：210xy ，即为直线AB的方程 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意 在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题 12.若 24 2log42log ab ab，则（） A.2abB.2abC. 2 abD. 2 ab 【答案】B 【解析】 【分析】 设 2 ( )2log x f xx，利用作差法结合 ( )f x的单调性即可得到答案. 【详解】 设 2 ( )2log x f xx， 则 ( )f x为增函数， 因为 2
16、242 2log42log2log abb abb 所以 ( )(2 )f afb 2 22 2log(2log 2 ) ab ab 22 22 2log(2log 2 ) bb bb - 10 - 2 1 log10 2 ， 所以( )(2 )f afb，所以2ab. 2 ( )()f af b 2 2 22 2log(2log) ab ab 2 22 22 2log(2log) bb bb 2 2 2 22log bb b， 当1b 时， 2 ( )()20f af b，此时 2 ( )()f af b，有 2 ab 当2b 时， 2 ( )()10f af b ，此时 2 ( )()f
17、af b，有 2 ab ，所以 C、D 错误. 故选：B. 【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大 小，是一道中档题. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13.若 x，y 满足约束条件 220, 10, 10, xy xy y 则 z=x+7y 的最大值为_. 【答案】1 【解析】 【分析】 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数7zxy即： 11 77 yxz ， - 11 - 其中 z 取得最大值时，其几
18、何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 联立直线方程： 220 10 xy xy ，可得点 A 的坐标为：()1,0A， 据此可知目标函数的最大值为： max 17 01z . 故答案为：1 【点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距 最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距 最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大. 14.设, a b为单位向量，且| | 1ab ，则|ab_. 【答案】 3 【解析】
19、 【分析】 整理已知可得： 2 abab ， 再利用, a b 为单位向量即可求得2 1a b ， 对ab rr 变 形可得： 22 2abaa bb ，问题得解. 【详解】因为, a b 为单位向量，所以1ab rr 所以 222 2221ababaa bba b 解得：2 1a b 所以 222 23ababaa bb 故答案为： 3 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 15.已知 F 为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为
20、_. 【答案】2 【解析】 【分析】 - 12 - 根据双曲线的几何性质可知， 2 b BF a ，AF ca，即可根据斜率列出等式求解即可 【详解】依题可得， 3 BF AF ，而 2 b BF a ， AFca，即 2 3 b a ca ，变形得 222 33caaca ，化简可得， 2 320ee ，解得2e 或1e （舍去） 故答案为：2 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题 16.如图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，AC=1， 3ABAD ，ABAC，ABAD， CAE=30，则 cosFCB=_. 【答案】 1 4 【解析】 【分析
21、】 在ACE中，利用余弦定理可求得CE，可得出CF，利用勾股定理计算出BC、BD，可 得出BF，然后在BCF中利用余弦定理可求得cosFCB的值. 【详解】ABAC， 3AB ，1AC ， 由勾股定理得 22 2BCABAC ， 同理得6BD ， 6BFBD ， - 13 - 在ACE中，1AC ， 3AEAD ，30CAE ， 由余弦定理得 222 3 2cos301 32 131 2 CEACAEAC AE ， 1CFCE， 在BCF中，2BC ， 6BF ，1CF ， 由余弦定理得 222 1461 cos 22 1 24 CFBCBF FCB CF BC . 故答案为： 1 4 . 【
22、点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为题为 必考题，每个试题考生都必须作答必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.设 n a是公比不为 1 的等比数列， 1 a为 2 a， 3 a的等差中项 （1）求 n a的公比； （2）若 1 1a ，求数列 n na的前n项和 【答案】 （1）2； （2） 1(13 )
23、( 2) 9 n n n S . 【解析】 【分析】 （1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论； （2）由（1）结合条件得出 n a的通项，根据 n na的通项公式特征，用错位相减法，即可 求出结论. 【详解】 （1）设 n a的公比为q， 1 a为 23 ,a a的等差中项， 2 1231 2,0,20aaa aqq， 1,2qq ； （2）设 n na的前n项和为 n S， 1 1 1,( 2)n n aa ， - 14 - 21 1 12( 2)3 ( 2)( 2)n n Sn ， 231 21 ( 2)2( 2)3 ( 2)(1)( 2)( 2) nn n Sn
24、n ， 得， 21 31( 2)( 2)( 2)( 2) nn n Sn 1( 2)1(13 )( 2) ( 2) 1( 2)3 nn n n n ， 1(13 )( 2) 9 n n n S . 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和， 考查计算求解能力，属于基础题. 18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE ADABC是 底面的内接正三角形，P为DO上一点， 6 6 PODO （1）证明：PA 平面PBC； （2）求二面角BPCE的余弦值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 5 5 . 【解析】 【分析】 （1）要
25、证明PA 平面PBC，只需证明PAPB，PAPC即可； （2）以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平 面PCB的法向量为n ，平面PCE的法向量为m ，利用公式cos, | n m m n n m 计算即可 - 15 - 得到答案. 【详解】 （1）由题设，知DAE为等边三角形，设1AE ， 则 3 2 DO ， 11 22 COBOAE，所以 62 64 PODO ， 2222 66 , 44 PCPOOCPBPOOB 又ABC为等边三角形，则2 sin60 BA OA ，所以 3 2 BA ， 222 3 4 PAPBAB，则 90A
26、PB ，所以 PAPB， 同理PAPC，又PCPBP，所以PA 平面PBC； （2）过 O 作ONBC 交 AB 于点 N，因为PO 平面ABC，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴， ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 121313 (,0,0), (0,0,), (,0), (,0) 244444 EPBC ， 132 (,) 444 PC ， 132 (,) 444 PB ， 12 (,0,) 24 PE ， 设平面PCB的一个法向量为 111 ( ,)nx y z ， 由 0 0 n PC n PB ，得 111 111 320 320 xyz xyz ，令 1 2x
27、，得 11 1,0zy ， 所以( 2,0, 1)n ， - 16 - 设平面PCE的一个法向量为 222 (,)mxyz 由 0 0 m PC m PE ，得 222 22 320 220 xyz xz ，令 2 1x ，得 22 3 2, 3 zy ， 所以 3 (1,2) 3 m 故 2 22 5 cos, 5| |10 3 3 n m m n nm ， 设二面角BPCE的大小为，则 2 5 cos 5 . 【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能 力，数学运算能力，是一道容易题. 19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者
28、被淘汰；比赛前抽签 决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场 轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰， 另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都 为 1 2 ， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】 （1） 1 16 ； （2） 3 4 ； （3） 7 16 . 【解析】 【分析】 （1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2） 计算出四局以内结束比赛的概率， 然后利用对立事件的概率
29、公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可 知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. - 17 - 【详解】 （1）记事件:M甲连胜四场，则 4 11 216 P M ； （2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 4 11 4 24 PP ABABP ACACP BCBCP BABA ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为 3 1 4 P P ； （3）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 记事件:M甲赢，记事件:N丙赢， 则甲赢的基本事件包括：BCBC、A
30、BCBC、ACBCB、 BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC， 所以，甲赢的概率为 45 119 7 2232 P M . 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为 97 1 2 3216 P N . 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查 计算能力，属于中等题. 20.已知 A、 B 分别为椭圆 E： 2 2 2 1 x y a （a1） 的左、 右顶点， G 为 E 的上顶点，8AG GB ， P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D （1）求 E 的方程
31、； （2）证明：直线 CD 过定点. 【答案】 （1） 2 2 1 9 x y； （2）证明详见解析. 【解析】 【分析】 （1）由已知可得：,0Aa，,0B a，0,1G，即可求得 2 1AG GBa ，结合已知 - 18 - 即可求得： 2 9a ，问题得解. （2）设 0 6,Py，可得直线AP的方程为： 0 3 9 y yx，联立直线AP的方程与椭圆方 程即可求得点C的坐标为 2 00 22 00 3276 , 99 yy yy ，同理可得点D的坐标为 2 00 22 00 332 , 11 yy yy ，即可表示出直线CD的方程，整理直线CD的方程可得： 0 2 0 43 23 3
32、y yx y ，命题得证. 【详解】 （1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程 2 2 2 :1(1) x Eya a 可得： ,0Aa，,0B a，0,1G ,1AGa ，, 1GBa 2 18AG GBa ， 2 9a 椭圆方程为： 2 2 1 9 x y （2）证明：设 0 6,Py， 则直线AP的方程为： 0 0 3 63 y yx ，即： 0 3 9 y yx - 19 - 联立直线AP的方程与椭圆方程可得： 2 2 0 1 9 3 9 x y y yx ，整理得： 2222 000 969810yxy xy，解得：3x 或 2 0 2 0 327 9 y x y 将 2 0 2 0
33、 327 9 y x y 代入直线 0 3 9 y yx可得： 0 2 0 6 9 y y y 所以点C的坐标为 2 00 22 00 3276 , 99 yy yy . 同理可得：点D的坐标为 2 00 22 00 332 , 11 yy yy 直线CD的方程为： 00 22 2 00 00 2222 0000 22 00 62 91233 3273311 91 yy yyyy yx yyyy yy ， 整理可得： 2 22 00 0000 222 42 000 00 83 233833 1116 96 3 yy yyyy yxx yyyyy 整理得： 000 2 22 0 00 4243
34、323 33 3 yyy yxx yyy 故直线CD过定点 3 ,0 2 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理 论证能力，属于难题. 21.已知函数 2 ( )exf xaxx. （1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性； （2）当 x0 时，f（x） 1 2 x3+1，求 a 的取值范围. 【答案】（1） 当,0x 时， 0,fxf x单调递减， 当0,x时， 0,fxf x 单调递增.（2） 2 7 , 4 e - 20 - 【解析】 【分析】 (1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论
35、 x=0 的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最 大值即可确定实数 a 的取值范围. 【详解】(1)当1a 时， 2x xxefx， 21 x fxex， 由于 20 x fxe，故 fx单调递增，注意到 00f，故： 当,0x 时， 0,fxf x单调递减， 当0,x时， 0,fxf x单调递增. (2)由 3 1 1 2 fxx得， 23 1 1 2 x eaxxx，其中0x ， .当 x=0 时，不等式为：1 1，显然成立，符合题意； .当0x 时，分离参数 a 得， 3 2 1 1 2 x exx a x ， 记 3 2 1 1 2 x exx g x x
36、， 2 3 1 21 2 x xexx gx x ， 令 2 1 10 2 x exxh xx， 则 1 x hxex， 10 x hxe ， 故 hx单调递增， 00hxh， 故函数 h x单调递增， 00h xh， 由 0h x 可得： 2 1 1 0 2 x exx恒成立， 故当0,2x时， 0gx ， g x单调递增； 当2,x时， 0gx ， g x单调递减； 因此， 2 max 7 2 4 e g xg , - 21 - 综上可得，实数 a 的取值范围是 2 7 , 4 e . 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知 识点，对导数的应用
37、的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析 几何、 微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间， 判断单调性； 已知单调性， 求参数 (3) 利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则题中任选一题作答。如果多做，则 按所做的第一题计分。按所做的第一题计分。 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中， 曲线 1 C的参数方程为 cos, sin k k xt yt (t为参数) 以
38、坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4 cos16 sin30 （1）当1k 时， 1 C是什么曲线？ （2）当4k 时，求 1 C与 2 C的公共点的直角坐标 【答案】 （1）曲线 1 C表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆； （2） 1 1 ( , ) 4 4 . 【解析】 【分析】 （1）利用 22 sincos1tt 消去参数t，求出曲线 1 C的普通方程，即可得出结论； （2）当4k 时，0,0xy，曲线 1 C的参数方程化为 2 2 cos ( sin xt t yt 为参数） ，两式相加 消去参数t，得 1 C普通方程，由cos,sinxy
39、，将曲线 2 C化为直角坐标方程，联 立 12 ,C C方程，即可求解. 【详解】 （1）当1k 时，曲线 1 C的参数方程为 cos ( sin xt t yt 为参数） ， 两式平方相加得 22 1xy， 所以曲线 1 C表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆； - 22 - （2）当4k 时，曲线 1 C的参数方程为 4 4 cos ( sin xt t yt 为参数） ， 所以0,0xy，曲线 1 C的参数方程化为 2 2 cos ( sin xt t yt 为参数） ， 两式相加得曲线 1 C方程为1xy， 得1yx ，平方得21,01,01yxxxy， 曲线 2 C的极坐标方程为4
40、 cos16 sin30， 曲线 2 C直角坐标方程为41630xy， 联立 12 ,C C方程 21 41630 yxx xy ， 整理得12 32130xx ，解得 1 2 x 或 13 6 x （舍去） ， 11 , 44 xy， 12 ,C C公共点的直角坐标为 1 1 ( , ) 4 4 . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是 解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数 ( ) |31| 2|1|f xxx （1）画出( )yf x的图像； （2）求不等式 ( )(1)f xf x 的解集 【答案】 （1）详解解析； （2） 7 , 6 . - 23 - 【解析】 【分析】 （1）根据分段讨论法，即可写出函数 fx的解析式，作出图象； （2）作出函数1f x的图象，根据图象即可解出 【详解】 （1）因为 3,1 1 51,1 3 1 3, 3 xx f xxx xx ，作出图象，如图所示： （2）将函数 fx的图象向左平移1个单位，可得函数1f x的图象，如图所示： 由3511xx ，解得 7 6 x 所以不等式的解集为 7 , 6 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结 - 24 - 合能力，属于基础题
