1、 一、二次函数相关知识点梳理以及重要的公式 (一)二次函数解析式的表示方法 1. 一般式: 2 yaxbxc(a,b,c为常数,0a ) ; 2. 顶点式: 2 ()ya xhk(a,h,k为常数,0a ) ; 3. 两点式(交点式): 12 ()()ya xxxx(0a , 1 x, 2 x是抛物线与x轴两交点的横坐标). 注意事项注意事项:在求解二次函数解析式的:在求解二次函数解析式的过程中,同学们根据所给的点坐标,已知抛物线上过程中,同学们根据所给的点坐标,已知抛物线上 三点的坐标,一般选用一般式已知交点坐标就用交点式,已知顶点坐标就设顶点式,这样会三点的坐标,一般选用一般式已知交点坐标
2、就用交点式,已知顶点坐标就设顶点式,这样会 有利于计算,记有利于计算,记 不住的同学就用一般式,只是计算量稍微大一点,注意多练一练解二元、三不住的同学就用一般式,只是计算量稍微大一点,注意多练一练解二元、三 元一次方程组。元一次方程组。 (二)二次函数综合题目常用的公式与定理 1.中点坐标公式(容易遗忘记错) 练习:已知 A(x1,y1)、B(x2,y2) ,那么 AB 中点坐标就是(,) 已知 A(4,6) B(-2,2),那么 AB 中点坐标就是 (1,4) 变式练习:已知 A(4,6) ,AB 中点坐标是(2,-2) ,求 B 点坐标 (0,-10) 解析:考察了中点坐标公式的逆运用,很
3、常见。可以借助于方程运用中点公式可以列出。 设 B(x,y),那么可以得出 =2 ,=-2 解方程算出x=0, y=-10 从而知道 B(0,-10) 2.两点间距离公式(容易遗忘记错) 练习:已知 A(4,1) B(2,2) ,根据公式:AB= = 常用的定理 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(考察频率很高) 2.直角三角形 30 角所对应的边等于斜边的一半(考察频率很高) 3.角平分线定理:角平分线上的点到角两边的距离相等。 4.垂直平分线定理:垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 二、二次函数问题中线段最值问题 (一)例题演示 1.如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过
4、点 A(3,0) 、B(1,0)、C(2,1),交 y 轴于点 M. (1)求抛物线的表达式; (2)D 为抛物线在第二象限部分上的一点,作 DE 垂直 x 轴于点 E,交线段 AM 于点 F,求线段 DF 长度的最 大值,并求此时点 D 的坐标; 【解析】 :本题主要考查二次函数的图象与性质和二次函数的应用。 (1)把 ABC 三个点坐标分别代入抛物线的解析式中,根据待定系数法求得各系数的值,即可得该抛物线 的解析式。 (2)由(1)中的抛物线解析式求得点的坐标,再利用待定系数法即可求得直线的解析式,由题意设点、 坐标,根据两点坐标表示出所求线段 DF 的长,根据二次函数的性质即可求得最大值
5、。 解答: (1)将 A、B、C 的坐标代入抛物线的解析式中得 解得 所以抛物线的表达式为 y= - -。 (2)令 x=0, 解得 y=- 1 所以点 M 的坐标为(0,1) ,来源:学,科,网 Z,X,X,K 设直线 MA 的表达式为 y=kx+b,把 A,M 点坐标代入解得 k= , b=1 所以直线的表达式为 y= x+1 设点 D 的坐标为(x0,- -) , 则点 F 的坐标为(x0, xo+1) DF=- - - ( xo+1) =- x02 -x0 当 x0=- = - 时,DF 取得最大值,最大值为 , 此时把 x0= - 代入二次函数中得 y= 即点 D 的坐标为(- )
6、。 【试题精炼】【试题精炼】 如图,在平面直角坐标系中,点 A、C 的坐标分别为(1, 0)、(0,3),点 B 在 x 轴上已知某二次 函数的图象经过 A、B、C 三点,且它的对称轴为直线 x1,点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个 动点(点 P 与 B、C 不重合) ,过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F (1)求该二次函数的解析式; (2)若设点 P 的横坐标为 m,试用含 m 的代数式表示线段 PF 的长; 【解析】分析: (1)可以采用待定系数法求二次函数的解析式,因为点 A(-1,0) C(0,-)在函数图象 上,对称轴为 x=1,也可求得 A 的对称点 B
7、的坐标为(3,0),列方程组即可求得解析式; (2)先求得直线 BC 的解析式为 y=,则可求得点 F 的坐标为(m,- ),再求得点 P 的纵坐标 为m2-可得线段 PF 的长;学#科网 解答:(1)设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a0a、b、c 为常数), 由抛物线的对称性知 B 点坐标为(3,0), 依题意得: 解得: 所求二次函数的解析式为 y= x2x (2)P 点的横坐标为 m, 所以 P 点的纵坐标为 m2 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b k0, 依题意,得 所以 故直线 BC 的解析式为 y=x 点 F 的坐标为(m,) 所以 PF=( m2) = - m2
8、+m (0m3) 当 x=- = 时,PF 有最大值 【中考链接】【中考链接】 如图,二次函数 2 2yaxbx的图像与x轴相交于点( 1,0)A ,(4,0)B,与y轴相交于点C. (1)求该函数的表达式; (2)点P为该函数在第一象限内的图像上一点,过点P作PQBC,垂足为点Q,连接PC.求线段PQ的 最大值; 解答: (1)抛物线解析式为 y=a(x+1) (x-4) , 即 y=ax2-3ax-4a, 则-4a=2,解得 a=- , 所以抛物线解析式为 y=- x2+ x+2; (2)作 PNx 轴于 N,交 BC 于 M,如图,BC=25, 当 x=0 时,y= y=- x2+ x+
9、2=2,则 C(0,2) , 设直线 BC 的解析式为 y=mx+n, 把 C(0,2) ,B(4,0)得 n=2,m=- , 直线 BC 的解析式为 y=- x+2, 设 P(t,- t2+ t+2) ,则 M(t,- t+2) , PM=- t2+ t+2-(- t+2)=- t2+2t, NBM=NPQ, PQMBOC, PQ=-t2+t=-(t-2)2+, 当 t=2 时,线段 PQ 的最大值为 来源:学&科&网 Z&X&X&K 三、常见的小马喝水问题,最短路径问题 【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移” 【出题背景】角、三角形、菱形
10、、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查来源:学。科。网 常见的基本模型 第一种 作法 作 B 关于 l 的对称点 B连 A B ,与 l 交点即为 P 在直线 l 上求一点 P,使 PA+PB 值最小 原理:两点之间线段最短来源:学&科&网 PA+PB 最小值为 A B 第二种 作法 连 AB,作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P 在直线 l 上求一点 P,使PBPA的值最小 l B A l B A l P B A l P B A B 原理:垂直平分上的点到线段两端点的距离相等PBPA0 第三种 作法 作直线 AB,与直线 l 的交点即为 P来源:163文库ZXXK 在直线 l 上求一点 P,使PBPA的值最大 原理: 三角形任意两边之差小于第三边PBPAAB,PBPA的最大值AB l B A l P A B