1、 三轮冲刺：三角形综合（二） 1如图，在正方形ABCD中，点F是直线BC上一动点，连结AF，将线段AF绕点F顺时针 旋转 90，得到线段FH，连结AH交直线DC于点E，连结EF和CH，设正方形ABCD的边 长为x （1）如图 1，当点F在线段BC上移动时，求CEF的周长（用含x的代数式表示）； （2）如图 1，当点F在线段BC上移动时，猜想EFC和EHC的关系，并证明你的结论； （3）如图 2，当点F在边BC的延长线上移动时，请直接写出EFC和EHC的关系（不 需要证明） 2如图，在ABC中，ACBC，CD为AB边上的中线，CEAB，线段DE交BC于点G （1）若CECG1，AB4，求DE的长
2、； （2）如图，取ABC外一点F，连接AF，BF，CF，DF，CF与DE交于点H，若ACB 90，ACAF，BFCF，DEDF 求的值； 求证：CHFH 3已知ABC和ADE均为等腰三角形，且BACDAE，ABAC，ADAE （1）如图 1，点E在BC上，求证：BCBD+BE； （2）如图 2，点E在CB的延长线上，（1）的结论是否成立？若成立，给出证明；若不 成立，写出成立的式子并证明 4锐角ABC中BC2，以AB为边向外作等边ABD，以AC为边向外作ACE，其中AE CE，AEC120，F为BC的中点，分别连接DF，EF （1）如图 1，ABC为等边三角形， DF与EF的数量关系是 ；DF
3、与EF的位置关系是 ； 求DF的长度； （2）如图 2，ABAC时，DF与EF的关系是否改变？如果不变请证明；如果改变请写出 新的关系并证明； （3）如图 3，ABC为任意的锐角三角形，当EC1 时直接写出DF长度的取值范围 5已知：在ABC中，ABAC，点D在直线AB上，DEBC交直线AC于点E，点F在直线 BC上，且BFDE，请解答下列问题： （1）如图，求证：EF+EAAB； （2）如图，如图，线段EF，EA，AB又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需 要证明； （3）在（1）（2）的条件下，若ABAC10，SABC48，DE3，tanABC1，则EF 6在平面直角坐标系中，点O为原点
4、，点C在y轴正半轴上，B（2，0），OCB30， ACBC交x轴于点A （1）求A点的坐标； （2）一动点E从点A出发沿着AC向终点C运动，速度为每秒 1 个单位长度，过点E作y 轴的平行线，交直线BC于点M，设点E运动时间为t，线段EM的长为d，求出d与t之 间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，另一动点F从点B出发沿着BC向终点C运动，速度为每秒 1 个 单位长度，点E、点F同时出发，并且一个到达终点另一个也停止运动，连接EF，以EF 为斜边作等腰直角EFN，连接BN，CN，当t为何值时，CNB为直角三角形 7已知ABC中，BE平分ABC，BE交AC于点E，CD平分ACB，交AB于点D
5、，BE与CD 交 于点O （1）如图 1，求证：BOC90+BAC； （2）如图 2，连接OA，求证：OA平分BAC； （3）如图 3，若BAC60，BD4，CE2，求的值 8在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（2，2）将OAB绕点B顺时针旋转，得 OAB，点A，O旋转后的对应点为A，O记旋转角为 （）如图，当 45时，求点A的坐标； （）如图，当 60时，求点A的坐标； （）连接OA，设线段OA的中点为M，连接OM，求线段OM的长的最小值（直接 写出结果即可） 9定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1 ），B（ x2，y2 ），若点T（x， y）满足x，y，那么称点T 是
6、点A，B的k 联点 例如：A（0，8），B（3，1），当点 T（x，y）满足x1，y3 时，则点 T （1，3）是点A，B的 3 联点 （1）已知点C（x，y）是点A （1，5），B（10，4）的 2 联点，求点C坐标； （2）已知点P（，） 是点M（1，5）和点N（3，n）的k联点，求k和n的值； （3）如图，点D（3，0），若点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点 D，E的 3 联点，直线ET交x轴于点H 直接写出点H的坐标 ； 当DTH为直角三角形时，求点E的坐标 10 如图 1， 在ABC中， B60， 点M从点B出发沿射线BC方向， 在射线BC上运动 在 点M运动
7、的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边AMN，连结CN （1）当BAM 时，AB2BM； （2）请添加一个条件： ，使得ABC为等边三角形； 如图 1，当ABC为等边三角形时，求证：CN+CMAC； 如图 2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变 （ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明 参考答案 1解：（1）如图 1 中，延长CB到G，使得BGDE，连接AG 四边形ABCD是正方形， ADAB，DABCABG90， DEBG， ADEABG（SAS）， BAGDAE，AGAE， 将线段AF绕点F顺时针旋转
8、 90，得到线段FH， FAFH，AFH90， FAHAHF45， BAF+DAEBAF+BAG45， FAGFAE， AFAF， AFGAFE（SAS）， EFFG， FGBG+BFDE+BF， EFBF+DE， ECF的周长EF+CF+CEBF+CF+DE+CEBC+CD2x （2）如图 1 中，过点H作HMBC交BC的延长线于H ABFAEHM90， AFB+HFM90，FHM+FHM90， AFBFHM， AFFH， ABFFMH（AAS）， HMBF，ABFMBC， BFCMHM， HCMHCE45， HCF135， 由（1）可知，AFBAFE， AFB+MFH90，AFE+EFH9
9、0， MFHEFH，设MFHEFH，则CHF45， AHF45， EHC45+4590， EFC2， EHC90EFC （3）结论：EHCEFC 理由：如图 2 中，延长BC到M，设HFM HFMHCM+CHF，HCMAHF45， CHF45， EHC45（45）90， EFC2AFB2（90）1802， EHCEFC 2解：（1）CEAB， CEGBDG， ， 在等腰三角形ABC中，ACBC，CD为AB边上的中线， BDAB2，CDAB， ， BG2， BCBG+CG2+13， CD2BC2BD232225， CEAB，CDAB， CDCE， DCE90， 在 RtCED中，DE； （2）D
10、EDF，CDAB， FDECDB90， FDBHDC， BFCF， CFBEDF90， CFB+DFHEDF+DFH， DFBDHC， ACB90，ACBC， ABC是等腰直角三角形，CD为AB边上的中线， BDCD， 在DFB和DHC中， DFBDHC（AAS）， DFDH， EDF90， HDF是等腰直角三角形， HFDH，即的值为； 设ACBCa， ABC是等腰直角三角形，CD为AB边上的中线， ABACa，ADABa， ， ACAF， ， DAFFAB， DAFFAB， ，即BFDF， DFBDHC， CHBF，DFDH， CHDFDH， HFDH， CHFH 3（1）证明：BACDA
11、E， BACBAEDAEBAE， 即DABEAC， 又ABAC，ADAE， DABEAC（SAS）， BDCE， BCBE+CEBD+BE； （2）解：（1）的结论不成立，成立的结论是BCBDBE 证明：BACDAE， BAC+EABDAE+DAE， 即DABEAC， 又ABAC，ADAE， DABEAC（SAS）， BDCE， BCCEBEBDBE 4解：（1）结论：DFEF，DFEF 理由：如图 1 中，取AB，AC的中点M，N，连接DN，FN，FM，ME BFCF，BNAN，AMCM， FNAC，FMAB，FNAMFMAN， ABD是等边三角形，BNAN， DNAB，DNANFN， EA
12、EC，EMAC，AEC120， EMAC，AEMCEM60， AMEMFM， ， ， DNFEMF120， DNFFME， ，DFNMEF， DFEF， MFE+MEF30， DFN+MFE30， MFNBAC60， DFE90，即DFEF 故答案为DFEF，DFEF 如图 2 中，作DMCB延长线于点M DMB90， ABC为等边三角形，等边ABD， ABCABD60，BDABBC2， BF1， RtBDM中，MB1，DM， RtBDF中，DF （2）分别取AB、AC中点G、H，分别连接DG，FG，EH，FH FHAB，FHAG，FGAC，FGAH， FHCBACFGB， ABAC， 四边形
13、AGFH为菱形， 等边ABD，ACE中AECE， DGAB，HEAC， FGDFGB+DGBFHC+CHEFHE， 等边ABD中，AB中点G， DGGF， ACE中AECE，AEC120， HFHE， DFGFEH（SAS）， DFFE，EFHGFD， GFD+GDF+BGF+BGD180，其中BGD90，BGFGFH， DFE90，即DFEF （3）由（1）（2）可以得出结论：DFEF， ABC是锐角三角形， 当ACB90时，EF2CFcos60，此时DF3， 当ECF是等边三角形时，可以证明BAC90， 此时EFCF1，DF， 观察图象可知：DF3 5证明：（1）如图 1，ABAC， BC
14、， DEBC，BFDE， 四边形DEFB是平行四边形， BDEF， EFCB， CEFC， EFEC， EF+EAEC+AEACAB； （2）如图 2，EFAB+AE， 理由如下：ABAC， ABCC， DEBC，BFDE， 四边形DEFB是平行四边形， EFDB， DEBC， CDEA，EDBABC， DECEDB， AEAD， EFBDAB+AE； 如图 3，AEAB+EF， 理由如下：ABAC， ABCACB， DEBC，BFDE， 四边形DEFB是平行四边形， BDEF， EFCABC， ACBECFEFCABC， CEEF， AEAC+CEAB+EF； （3）如图 1，过点C作CHA
15、B于H， SABC48ABCH， CH， AH， BHABAH， BC12， DEBC， ADEABC， ， AE， EF+EAAB， EF， 如图 2，DEBC， ADEABC， ， AE， EFAB+AE， EF， 如图 3，BCDE，与图不符合， 不存在， 综上所述：EF为或， 故答案为：或 6解：（1）在 RtOCB中，OCB30， BC2OB4， 由勾股定理得，OC2， ACBC， ACB90， ACO60， OAC30， AC2OC4， 由勾股定理得，OA6， A点的坐标为（6，0）； （2）设直线BC的解析式为：ykx+b， 则， 解得， 直线BC的解析式为：yx+2， 如图 1
16、，由题意得，AEt， OAC30， EGt， 由勾股定理得，AGt， OG6t， 点M的坐标为（6t，8t） dEM8tt2t+8（0t4）； （3）如图 2，CBN90， 作EHBN交BN的延长线于点H， CBN90，EHBN，BOE90， 四边形CBHE为矩形， BHCE4t， ENF90，FBN90， NFBENH， 在NFB和ENH中， ， NFBENH（AAS） BNEH4，BFENt， 4+t4t， 解得，t22， 如图 3，CNB90， 同理可知，BNFCNE（AAS） BFCE， t4t， 解得，t2， 综上所述，t22 或 2时，CNB为直角三角形 7（1）证明：BE 平分A
17、BC，CD 平分ACB， OBCABC，OCBACB， ABC+ACB+BAC180， ABC+ACB180BAC， BOC+OBC+OCB180， BOC180（OBC+OCB） 180（ABC+ACB） 180（ABC+ACB） 180（180BAC） 90+BAC； （2）证明：过点O作ONBC于N，OMAB于M，OKAC于K，如图 2 所示： 又BE平分ABC，CD平分ACB， OMON，ONOK， OMOK， 点O在BAC的平分线上， OA平分BAC； （3）过点B作BHCD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分BOC交BC于点F，过点 O作OMAB于M，ONBC于N，如图 3 所示
18、： BAC60， BOC90+BAC90+60120， BODCOE180BOC18012060， OF平分BOC， BOFCOFBOC12060， BOFBOD，COFCOE， BE 平分ABC，CD 平分ACB， OMON，OBFOBD，OCFOCE， 在BOF和BOD中， BOFBOD（ASA）， BFBD4， 在COF和COE中， COFCOE（ASA）， CFCE2， BCBF+CF4+26， ， 8解：（）如图中，过点A作ACOA于C A（2，0），B（2，2）， OAOB2，OAB90， AOBABO45，OBAB2， AAB是由OAB绕B旋转得到，45， ABAB2，点A落在线
19、段OB上， OAOBAB22， OCCA（22）2， A（2，2） （）如图中，连接AA，过点A作ADOA于D ABAB2，ABA60， AABAAB60，AAABAB2， AAO906030， 在 RtAAD中，ADAA1，ADAA， ODOAAD2， A（2，1） （）如图中，延长OA到D，使得ADAO，在OA的延长线上取一点C，使 得ACOA，取AB的中点H，ZD的中点P，连接PH，CH，PC，BC，BD，CD，OO OBCOBD， OBODBC， BOBOBDBC， OBODBC（SAS）， OOCD，BOOBCD， BCABOA45， OOAACD， AOCA， AAOCAD（SAS
20、）， OMMA，DPPA， OMPC， APPD，AHHB， PHBD， CH， PCCHPH， PC， PC的最小值为， OM的最小值为 9解：（1）点C（x，y）是点A （1，5），B（10，4）的 2 联点， x，y， 点C坐标（，）； （2）点P（，） 是点M（1，5）和点N（3，n）的k联点， ， k3，n0； （3）由题意得：x（t+3）t+1，y（2t+3）t+1， 点T（t+1，t+1）， 设直线ET解析式为：ykx+b， ， 解得：kb， 直线ET解析式为：ybx+b， 当y0 时，x， 点H（，0）， 故答案为：（，0）， 当DHT90时，如图 1 所示， 点E（t，2t+
21、3），则T（t，2t1），则点D（3，0）， 由点T是点D，E的 3 联点得： t，2t1， 解得：t，即点E（ ，6）； 当TDH90时，如图 2 所示， 则点T（3，5）， 由点T是点D，E的 3 联点得：点E（6，15）； 当HTD90时，如图 3 所示， 过点T作x轴的平行线交过点D与y轴平行的直线于点M， 交过点E与y轴的平行线于点 N， 则MDTNTE，则 tanMDTtanNTE， D（3，0），点E（t，2t+3），则点T（ ， ） 则MT3，MD， NE2t3，NTt， 由 tanMDTtanNTE得：， 解得：方程无解，故HTD不可能为 90 故点E（ ，6）或（6，15） 10解：（1）当BAM30时， AMB180603090， AB2BM； 故答案为：30； （2）添加一个条件ABAC，可得ABC为等边三角形； 故答案为：ABAC； 如图 1 中， ABC与AMN是等边三角形， ABAC，AMAN，BACMAN60， BACMACMANMAC， 即BAMCAN， 在BAM与CAN中， ， BAMCAN（SAS）， BMCN； 成立， 理由：如图 2 中， ABC与AMN是等边三角形， ABAC，AMAN，BACMAN60， BAC+MACMAN+MAC， 即BAMCAN， 在BAM与CAN中， ， BAMCAN（SAS）， BMCN
