1、 - 1 - 千人桥中学 2017 2018 学年度第一学期期末考试 高二数学 (理 )试卷 （总分： 150 分 时间： 120 分钟） 一 .选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分 ,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一个是符合要求的 ,请你将符合要求的项的序号填在括号内 ) 1. 以边长为 1 的正方形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的体积为 ( ) （ A） ? (B) ? (C) ? (D) ? 2.如图所示为一平面图形的直观图 ,则此平面图形可能是 ( ) 3.中心角为 ? ,面积为 S 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为 S? ，
2、则 :SS? （ ） (A) 1 2 (B) 2 3 (C) 3 4 (D) 3 8 4. 已知直线 12xya?过点 (2,1) ，则该直线的斜率为（ ） (A) 2? (B) 12? (C) 12 (D) 2 5. 圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 (1, 1)? 的圆的方程为（ ） （ A） 22( 1) 1xy? ? ? （ B） 22( 1) 1xy? ? ? （ C） 22( 1) ( 1) 1xy? ? ? ? （ D） 22( 2) 1xy? ? ? 6. “ ln lnab? ” 是 “ ab? ” 的 （ ） (A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充
3、分条件 (D)既不充分也不必要条件 7 已知直线 ?l 平面 ? ，直线 ?m 平面 ? ，下列四个命题中正确的是 （ ） （ 1） ml ?/ （ 2） ml/? （ 3） ?ml/ （ 4） ?/?ml (A)（ 1）与（ 2） (B)（ 3）与（ 4） (C)（ 2）与（ 4） (D)（ 1）与（ 3） - 2 - 8.椭圆 221 1 12211: 1 ( 0 )xyC a bab? ? ? ?的右顶点为 A ,与双曲线 222 1 122: 1 ( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?在第一、四象限的公共点为 ,BC，且 O 为原点， 若正方形 OBAC 的中心恰为 1C
4、与 2C 的公共焦点 ，则 2C 的离心率是 （ ） （ A） 512? （ B） 62 （ C） 31? （ D） 6 9. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是 （ ） （ A） 3 （ B） 25 （ C） 2 （ D） 23 10. 已知双曲线 1C ： 2 2 12x y?， 圆 2C ： 221xy?若存在过点 P 的直线与 1C 、 2C 都有公共点，则称 P 为 曲线 1C 与 2C 的“串 点 ” 以下 不是曲线 1C 与 2C 的“串 点 ”的为 ( ) (A) (0,2) (B) (1,1) (C) ( 2,1) (D) (0, 2)? 第卷 二
5、 .填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分 ,共 25 分 ,请你将正确的答案填在空格处 ) 11. 关于函数 ()fx的命题“ 12,x x R?，若 12xx? ， 有 12( ) ( )f x f x? ”的否定 ； 12. 直线 23yx?被圆 22 6 2 6 0x y x y? ? ? ? ?所截得的弦长等于 _ ； 13.命题 “ (0, )x? ? ? ，使得 2 32 ax x? ” 成立的充要条件 是 ； 14.若双曲线过点 ( 2, 3) ，且渐近线方程是 22yx? ，则这条双曲线的标准方程为 ； - 3 - S 1D E D F 2D 第 15 题图 15.如
6、图 所示 ,E、 F 分别是边长为 1 的正方形 SD1DD2边 D1D、 DD2的中点 ,沿 SE,SF,EF 将其折成一个几何体 ,使 D1,D,D2重合 ,记作 D.给出下列命题 : SD平面 DEF; 点 S 到平面 DEF 的距离 为 52 ; DF SE; 该几何体的体积为 112 , 其中正确的有 三 .解答题 (本大题共 6 小题 ,共 75 分 .请你注意解答本题时 ,一定要详细地写出文字说明、证明过程及演算步骤等 ) 16.(本大题满分 12 分 ) 命题 P ： 双曲线 22 1yx m?的离心率大于 2 ， 命题 Q ：关于 x 的不等式 2 40mx x m? ? ?
7、在xR? 上恒成立 .若 ()PQ?为真命题，求实数 m 的取值范围 . 17.(本大题满分 12 分 ) 已知点 ( 2,0)A? 与点 (2,0)B ， P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 34 . ( )求动点 P 的轨迹方程； ( )点 O 为原点， 当 232OP? 时，求第二象限点 P 的坐标 . - 4 - xM xAxy xx xO xl xC 18.(本大题满分 12 分 ) 如图，点 (0,3)A ，直线 : 3 3 0l x y? ? ? ，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上 . （）若圆心 C 也在直线 10xy? ? ? 上，过点 A 作圆 C 的
8、切线，求切线方程； （）若圆 C 上存在点 M ，使 2MA MO? ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 . 19.(本大题满分 13 分 ) 如图，四棱锥 P ABCD? 中， 90ABC BAD? ? ? ? ，2,BC AD E 为棱 BC 中点，PAB PAD?与 都是边长为 2 的等边三角形 . （）证明： AE 平面 PCD （）证明： ;PB CD? （）求点 A 到平面 PCD 的距离 . B E P D C A - 5 - 20.(本大题满分 10 分 ) 已知抛物线 2: 2Cx py? 与直线 21yx?相切 （ ）求抛物线 C 的方程 . （ ) 过点 (0,1)
9、作直线交抛物线 C 于 ,AB两点 .若直线 ,AOBO 分别交直线 :2l y x?于,MN两点，求 MN 的取值范围 . 21.(本大题满分 13 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 ，已知椭圆 C 的中心在原点 O ，焦点在 x 轴上，短轴长为 2 ，离心率为 22 . （）求椭圆 C 的方程 ; (II) 直线 : ( 0)l y kx b b? ? ?与椭圆交于 ,AB两点， E 为线段 AB 的中点，射线 OE 交椭圆 C 于点 P ，若 233OP OE? ，求 AOB? 的面积 . - 6 - 理数答案 1 10 BCBBA BDADA 11. 12,x x R?，若 12x
10、x? ， 有 12( ) ( )f x f x? 12. 1655 ;13. ? ?22a a a? ? ?或 ;14. 22124yx?;15. 16解： 1Pm?真 ? 3 分 1Pm?假 ? 5 分 又 2Qm? ? ? 8 分 若 ()PQ?为真命题，则 P? 真且 Q 真，即 P 假 且 Q 真 ? 9 分 1( ) 22mP Q mm ? ? ? ? ? ? ?所求实数 m 的取值范围为 ( , 2)? ? 12 分 17.（ I）解： 设点 P 的坐标为 (, )xy 由题意得 0 0 32 2 4yyxx? ，化简得 22143xy?. 故动点 P 的轨迹方程为 ? ?22 1
11、243xy x? ? ? ? （没写 2x? 不扣分） ? 6 分 （ II） 22 232O P x y? ? ?，故 22234xy? ? ? 8 分 又由（ I）知 22143xy? ? ? 9 分 由得22553 34 2xxy y? ? ? ? ?， ? 11 分 又点 P 在第二象限内 点 P 的坐标为 35,2? 12 分 18 解（）由 3 3 010xyxy? ? ? ? ? ?得圆心 (0,1)C ? ? 1 分 - 7 - 圆 C 的方程为 22( 1) 1xy? ? ? ? 2 分 故切线斜率存在，可设切线方程为 3y kx?，即 30kx y? ? ? 圆心 C 到直
12、线 l 的距离20 1 3 11k? ，故 1k? ? 5 分 切线方程为 3yx? ? ? 6 分 （）可设 圆 C 的方程为 223( ) ( ) 13ax a y ? ? ? ?， ( , )Mxy 则由 2MA MO? 得 2 2 2 2( 3 ) 2x y x y? ? ? ?，即 22( 1) 4xy? ? ? ? 8 分 点 M 在圆 22( 1) 4xy? ? ? 上 圆 C 与圆 D 有公共点，即圆心距有 13CD?， 2211 ( 2 ) 33aa? ? ? ? 10 分 故 6 3 5 1 6 3 5 11 0 1 0a? ? ? ? 所求 圆心 C 的横坐标 a 的取值
13、范围为 6 3 5 1 6 3 5 1,1 0 1 0? ? ? ? 12 分 19（）证明： 90ABC BAD? ? ? ? ， AD BC 又 2,BC AD? ABED ， AECD 为平行四边形 AE CD 又 AE? 平面 PCD AE 平面 PCD ? 4 分 （ ）证明：连接 BD 交 AE 于 O ,连接 OP ，由（）知 ABED 为平行四边形 又 PAB PAD?与 都是边长为 2 的等边三角形， 90ABC BAD? ? ? ? ， ABED 为正方形，故 AE BD ? 6 分 PAB PAD?与 都是边长为 2 的等边三角形 PA PB PD?, OP BD? 又
14、ABED 为正方形， OA OB OD? POA POB POC 即有 90POA?，故 AE OP ? 8 分 - 8 - 由得 AE 平面 PBD 又由 （）知 AE CD ，故 CD 平面 PBD CD PB ,即 PB CD? ，得证 ? 9 分 （）由（）知点 P 到底面 ABCD 的垂线即为 222 ( 2 ) 2PO ? ? ? 又 ACD 中， 1 2 2 22ACDS? ? ? ? ? 1 2 233A P C D P A C D A C DV V S P O? ? ? ? ? ?由 （）知 CD 平面 PBD ，故 90PDC?, 22CD AE? A 中， 1 2 2 2
15、 2 22P C DS ? ? ? ? ?设求点 A 到平面 PCD 的距离为 h ，则 1 2 233A P C D P C DV S h? ? ?，故 1h? ? 13 分 另解：由 （）知 AE 平面 PCD ，即 求点 O 到平面 PCD 的距离 又由 CD 平面 PBD ，故 PCD 平面 PBD 即 求 POD 中 点 O 到边 PD 的高，即为 1 20 解（ ）由 2 221x pyyx? ?得 2 4 2 0x px p? ? ? ? 2 分 抛物线 2: 2Cx py? 与直线 21yx?相切 216 8 0pp? ? ? ?，故 12p? 或 0 （舍） ? 4 分 抛物
16、线 C 的方程 2x y? . ? 5 分 （ ）由已知直线 AB 斜率存在，设为 k ，即方程为 1y kx? 由 21x yy kx? ?得 2 10x kx? ? ? ，设 221 1 2 2( , ), ( , )A x x B x x， 则有 1 2 1 2,1x x k x x? ? ? ? ? 7 分 又直线 ,AOBO 方程分别为 1y xx? ， 2y xx? ，与直线 :2l y x?联立， 得121Mx x? ? ，221Nx x? ? ,故 121 2 1 2 1 222 21 1 1 ( )MN xxxx x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 9 分 - 9 - 又 221 2 1 2 1 2( ) 4 4x x x x x x k? ? ? ? ? ? ? 10 分 222441 1 2 2 2 2 1 2 2MN kM N x x kk? ? ? ? ? ? ? ?（ 0k? ） MN 的取值范围为 (2 2, )? ? 13
