1、 1 北京市东城区 2017-2018 学年上学期高一年级期末考试数学试卷 本试卷共 100 分，考试时长 120 分钟。 第一部分（选择题 共 39 分） 一、选择题：本大题共 13 小题，每小题 3 分，共 39 分。在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。 1. 设全集 xxU |? 是小于 9 的正整数 ， A 1， 2， 3，则 ACU 等于 A. 8,7,6,5,4 B. 8,7,6,5,4,0 C. 9,8,7,6,5,4 D. 9,8,7,6,5,3 2. 函数 )42sin( ? xy 的最小正周期是 A. ? B. ?2 C. 2? D. 4? 3. 已知
2、 函数 )(xf 是奇函数，它的定义域为 121| ? axx ，则 a 的值为 A. 1 B. 0 C. 21 D. 1 4. 在同一平面直角坐标系内， xy 2? 与 )(log2 xy ? 的图象可能是 5. 函数 23)( xxxf ? 的零点的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图所示，角 ? 的终边与单位圆交于点 P，已知点 P 的坐标为 )54,53(? ，则 ?2tan 2 A. 2524 B. 2524? C. 724 D. 724? 7. 函数 ,),2co s ( ? ? xxy 是 A. 增函数 B. 减函数 C. 偶函数 D. 奇函数 8. 把 )
3、4sin ()4sin ( ? ? xx 可化简为 A. xcos2 B. xsin2 C. xsin2? D. xcos2? 9. 函数 611,0),6s in (3 ? ? xxy 的单调递减区间是 A. 611,6 ? B. 6,0 ? C. 65,6 ? D. 34,3 ? 10. 若 ),(,c o s3s in3)s in (32 ? ? xxx ，则 ? 等于 A. 3? B. 3? C. 65? D. 65? 11. 已知 3.0lo g,3lo g,3.0lo g 2.022 ? cba ，则 cba, 的大小关系为 A. cba ? B. acb ? C. bac ? D
4、. abc ? 12. 已知 Rxxfxf ? ),2()( ，当 ),1(?x 时， )(xf 为 增 函 数 ， 设)1(),2(),1( ? fcfbfa ，则 cba, 的大小关系是 A. cba ? B. cab ? C. bac ? D. abc ? 13. 渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快地失 去新鲜度（以鱼肉里含有三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度。三甲胺是一种挥发性碱性氨，是胺的类似物 ，它是由细菌分解作用产生的，三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）。已知某种鱼失去的新鲜度 h 与
5、其出海后时间 t（分）满足的函数关系式为 h（ t） m at，若出海后 10 分钟，这种鱼失去的新鲜度为 10，出海后 20 分钟，这种鱼失去的新鲜度为 20，那么若不及时处理，打上来的这种鱼会在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知 lg2 0.3，结果取整数） A. 33 分钟 B. 43 分钟 C. 50 分钟 D. 56 分钟 第二部分（非选择题 共 61 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。 3 14. 函数 ?)(xf x2sin43 的最小值是 _。 15. 已知幂函数 )(xf ，它的图象过点 )4,21( ，那么 )8(f 的值为 _。 16.
6、函数 )12(log21 ? xy的定义域用集合形式可表示为 _。 17. 红星学校高一年级开设人文社科、英语听说、数理竞赛三门选修课，要求学生至少选修一门。某班 40 名学生均已选课，班主任统计选课情况如下表，由统计结果分析该班三科都选报的学生有_人。 选择英语听说的人数 25 选择人文社科的人数 21 选择数理竞赛的人数 16 选择英语听说及 数理竞赛的人数 8 选择英语听说及人文社科的人数 11 选择人文社科及数理竞赛的人数 5 三、解答题：本大题共 5 小题，共 49 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. （本题满分 10 分） 已知函数?.21,10,01,)( 2x
7、xxxxxxf （）求 )21(),32( ff ? 的值； （）作出函数 )(xfy? 的简图； （）由简图指出函数 )(xf 的值域。 4 19. （本题满分 10 分） 已知函数 )4sin()( ? xxf 。 （）若 32)( ?f ，求 ? cossin ? 的值； （）设函数 )62c o s ()(2)( 2 ? xxfxg ，求函数 )(xg 的值域。 20. （本题满分 10 分） 已知函数 320),62s in ()( ? ? xxxf 。 （）列表，描点画出函数 )(xfy? 的简图，并由图象写出函数 )(xf 的单调区间及最值； （）若 )()( 2121 xxxf
8、xf ? ，求 )( 21 xxf ? 的值。 21. （本题满分 10 分） 珠宝加工匠人贾某受命单独加工某种珠宝首饰若干件，要求每件首饰都按统一规格加工，单件首饰的原材料成本为 25（百元），单 件首饰设计的越精致，做工要求就越高，耗时也就越多，售价也就越高，单件首饰加工时间 t（单位：时， t N）与其售价间的关系满足图 1（由射线 AB 上离散 的点构成），首饰设计得越精致，就越受到顾客喜爱，理应获得的订单就越多，但同时，价格也是一个不可忽视的制约顾客选择的因素，单件首饰加工时间 t（时）与预计订单 数的关系满足图 2（由线段MN 和射线 NP 上离散的点组成）。原则上，单件首饰的加工
9、时间不能超过 55 小时，贾某的报酬为这批首饰销售毛利润的 5，其他成本概不计算。 5 （）如果贾某每件首饰加工 12 小时，预计会有多少件订单； （）设贾某生产这批珠宝首饰产生的利润为 S，请写出加工时间 t（时）与利润 S 之间的函数关系式，并求利润 S 最大时，预计的订单数。 注：利润 S（单件售价材料成本）订单件数贾某工资 毛利润总销售额材料成本 22. （本题满分 9 分） 已知函数 3)()(,1112)( ? xfxgx xxxxxxf 。 （）判断并证明函数 )(xg 的奇偶性； （）判断并证明函数 )(xg 在 ),1(? 上的单调性； （）若 )442()72( 22 ?
10、mmfmmf 成立，求实数 m 的取值范围。 6 【试题答案】 一、选择题：本大题共 13 小题，每小题 3 分，共 39 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 A A D B C C D D D A B D B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。 题号 14 15 16 17 答案 43? 641121| ? xx 2 三、解答题：本大题共 5 小题，共 49 分 。 18. 解：（） 41)21()21(,32)32( 2 ? ff 。 6 分 （）简图如下图所示： 8 分 （ ）由（）的图象知，函数的值 域是 2， 1）
11、。 10 分 19. 解：（） 32)( ?f ， ? 32)4sin( ? ， 即 32co s22s in22 ? ? ， 32cossin ? ? 。 6 分 （ ） )62c o s ()4(s in2)( 2 ? ? xxxg 7 )62c o s ()22c o s (1 ? ? xx xxx 2s in212c o s232s in1 ? 12s in232co s23 ? xx 1)2s in232c o s21(3 ? xx 1)32cos(3 ? ?x ， 1)32cos(1 ? ?x ， 311)32c o s (331 ? ?x， 函数 )(xg 的值域为 31,31
12、? 。 10 分 20. 解：（）列表如下： 62 ?x 6? 2? 65? ?67? 23? x 0 6? 3? 125? 2? 32? )(xf 21 1 21 0 21 1 作出函数 )(xfy? 的简图如图所示： 由图象可知，函数 )(xf 的单调递增区间是 6,0 ? ，单调递减区间是 32,6 ? ； 8 当 ?x 6? 时， )(xf 取得最大值 1；当 ?x 32? 时， )(xf 取得最小值 1。 7 分 （）若 )()( 2121 xxxfxf ? ，由（）中简图知，点 )(,( 11 xfx 与点 )(,( 22 xfx 关于直线 6?x 对称。 321 ? xx 。 于
13、是 21)632s in ()3()(21 ? ?fxxf。 10 分 21. 解：（）预计订单函数 )( Nttf ? 为 ? ? ? .5510,55 ,100,54)( tt tttf435512)12( ? f 。 6 分 （）预计订单函数为 ? ? ? .5510,55 ,100,54)( tt tttf售价函数为 5025)( ? ttg 。 利润函数为 ? ? ? .5510% ) ,51)(55)(255025( ,100% ) ,51)(54)(255025()( ttt ttttS?.5510),55)(1(495,100),54)(1(495tttttt?.5510),5
14、554(495,100),594(49522tttttt故利润最大时， 27?t ，此时预计的订单数为 28 件。 10 分 22. 解：（） )(xg 为奇函数。证明 如下：函数 )(xg 的定义域为 1,1,0| ? xxxx 且且 ， 111113)()( ? xxxxfxg ， 9 11111)(,1111111111)( ? ? ? xxxxgxxxxxxxg ， )()( xgxg ? ，故 )(xg 为奇函数。 3 分 （） )(xg 在 ),1(? 上单调递增，任取 ),1(, 21 ?xx ，且 21 xx? ， 则 )11111(11111)()( 22211121 ? x
15、xxxxxxgxg1111111111 212121 ? xxxxxx)1)(1()1)(1( 21 2121 2121 21 ? ? ? xx xxxx xxxx xx)1)(1( 11)1)(1( 1)( 21212121 ? xxxxxxxx 。 2121 ),1(, xxxx ? ， 0)1)(1( 1,01,0)1)(1( 1,0 21212121 ? xxxxxxxx ， 0)()( 21 ? xgxg ，即 )()( 21 xgxg ? ，故 )(xg 在 ),1(? 上单调递增。 6 分 （）由 3)()( ? xgxf ，故 )(xf 在 ),1(? 上单调递增， 又 2442,672 22 ? mmmm 恒成立， 故 44272 22 ? mmmm ， 即 0322 ? mm ， 解得 31 ? m 。 9 分 注：若学生有其他解法，可参考给分。
