1、 - 1 - 湖北省部分重点中学 2016-2017学年度下学期高一期末考试 数 学 试 卷（理科） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。每小题只有一个选项符合题意。 1. 已知 ， 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法中正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 【答案】 A 【解析】逐一考查所给的线面关系： A. 若 ， ，由线面垂直的定义，则 B. 若 ， ，不一定有 ，如图所示的正方 体中，若取 为 ，平面 为上底面 即为反例； C. 若 ， ，不一定有 ， 如图所示的正方体中，若取 为 ，平面 为上底面 即为
2、反例； D. 若 ， ，不一定有 如图所示的正方体中，若取 为 ，平面 为上底面 即为反例； 2. 直线 的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. - 2 - 【答案】 A 【解析】当 时，直线的倾斜角为 ，否则直线倾斜角的斜率为： ，此时直线的倾斜角的范围是： , 综上可得：直线倾斜角的取值范围是 . 本 题选择 A选项 . 3. 若 ，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 本题选择 C选项 . 4. 若 的图像是两条平行直线，则 的值是（ ） A. 或 B. C. D. 的值不存在 【答案】 B 【解析】结合两直线平行的充要条件可得关于实数 m的方程：
3、 , 即： ，解方程可得： 或 . 本题选择 A选项 . 5. 在正方体 中，点 在线段 上运动，则异面直线 与 所成角 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 A 1BD 1C， CP 与 A1B成角可化为 CP与 D1C成角。 AD 1C是正三角形可知当 P与 A重合时成角为 ， P 不能与 D1重合因为此时 D1C与 A1B平行而不是异面直线， ； - 3 - 本题选择 B选项 . 6. 如图，正方形网格中，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的体积为 7，则该几何体的表面积为（ ） A. 18 B. 21 C. 24 D. 27 【答案】 C 【解析】
4、由三视图可知：该几何体为一个棱长为 2x的正方体 在一个角去掉一个棱长为 x的正方体，余下的几何体。 该几何体的体积 7=(2x)3?x3，解得 x=1. 该几何体的表面积 =62 2=24. 故选： C. 点睛： 三视图的长度特征： “ 长对正、宽相等，高平齐 ” ，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同 7. 已知一个等比数列首项为 1，项数是偶数，其奇数项之和为 341，偶数项之和为 682，则这个数列的 项数为 ( ) A. 4 B. 6
5、 C. 8 D. 10 【答案】 D 【解析】设等比数列项数为 2n项 ,所有奇数项之和为 S 奇 ,所有偶数项之和为 S 偶 ， 则 S 奇 =341,S 偶 =682,所以 ， - 4 - ，解得 n=5， 这个等比数列的项数为 10， 本题选择 D选项 . 8. 已知边长为 2的正方形 的四个顶点在球 的球面上，球 的体积为 ，则 与平面 所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】设正方体的中心为 ，设球的半径为 R，由题意可 得： , 解得： ，即： ， 由正方形的性质可得： , 结合球的性质可得： 与平面 所成的角的余弦值为 . 本题选择 C选项 . 9
6、. 变量 满足 ，若存在 使得 ，则 k的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】 A 【解析】变量 x,y满足 的可行域如图： xy的几何意义是，如图虚线矩形框的面积， 显然矩形一个顶点在 C 在线段 x+y=2， - 5 - 第一象限部分上 xy取得最大值 ,k=xy=x(2?x)=2x?x2， 当 x=1时 1的最大值。 则 xy的最大值为： 1. 本题选择 A选 项 . 点睛： (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法 (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义 (3)本题错误率较高出错原因是，很多学生无从入
7、手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题 10. 设 是等差数列， 为等比数列，其公比 ，且 ，若，则有（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】 D 【解析】 a n为等差数列， ， b n为正项等比数列， ，公比 q1 ， a 1=b1,a13=b13， 由基本不等式可知 a7b7， 本题选择 D选项 . 11. 在三棱锥 中， , ,且 ,则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由题意： ，则点 P在底面 ABC的射影为 ABC的外心， ABC 为等腰直角三角形，则外心为 BC边上的中点， 则外接球的半径即 PBC的半径， 设 ，易
8、知 ，则： ， 设球的半径为 R，则： ， - 6 - 则球的表面积为： . 本题选择 D选项 . 点睛： 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种 是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 . 12. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形的表面积 (含最底层正方体的底面面积 )超过 38，则该
9、塔形中正方体的个数至少是 ( ) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】 B 【解析】设有 n个正方体构成，其表面积由两部分组成： (1)俯视图、表面只有一个正方形，其边长为 2. (2)侧面则由 4n个正方形构成 ,且各层 (从下往上看 )正方形面积构成一个首项为 4,公比为 的等比数列。 表面积为： ， 求解不等式可得 n的最小值为 5. 本题选择 B选项 . 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13. 点 和点 关于点 的对称点 都在直线 的同侧，则 的取值范围是 _。 【答案】 - 7 - 【解析】设对称点的坐标为： ， 由题意可得： ， 解得：
10、 ，即： ， 结合点与直线的关系可得： ， 求解不等式可得 的取值范围是 . 14. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 ，作为其母线与轴的夹角的大小为_。 【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l， 则圆锥的侧面积为： ，过轴的截面面积为： rh， 圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 ， ， 设母线与轴的夹角为 ， 则 ， 故 . 15. 直线 l过点 P( 1， 2)且点 A(2， 3)和点 B( 4， 6)到直线 l的距离相等，则直 线 l的方程为 _。 【答案】 【解析】由题意可知， 所求直线与直线 AB 平行，即直线的斜率 ， 直线方程为： ，即： ， 所求
11、直线过 AB 的中点： ，此时直线方程为 , 综上可得，直线的方程为 . 16. 若四面体 的三组对棱分别相等，即 给出下列结论： 四面体 每个面的面积相等； - 8 - 从四面体 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 而小于 ； 连结四面体 每组对棱中点的线段相互垂直平分； 从四面体 每个顶点出发的三条 棱的长可作为一个三角形的三边长； 其中正确结论的序号是 _。（写出所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 四面体 ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的。 正确 由 , 四面体 ABCD的每个面是全等的三角形 ,从四面体 ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形
12、内的三个内角 ,它们之和为 180 . 错误 连接四面体 ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分 正确 由 ,设所在的长方体长宽高分别为 a,b,c,则每个顶点出发的三条棱长分别为，任意两边之和大于第三 边，能构成三角形。 正确 . 正确结论的序号是 . 三、解答题：本大题共 6个小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 过点 有一条直线，它夹在两条直线 与 之间的线段恰被点 平分，求直线的方程。 【答案】 【解析】试题分析： 由题意可得直线与 的交点坐标为 ， 据此可得直线的方程是 . 试题解析： 设直线夹在直线 之间的线段是 ， 的坐标分别设为 .因为 被点
13、 平分， 所以 ，于是 由于 在 上， 在 上，所以 ，解得 ， 即 的坐标是 ，所以直线的方程是 18. 在 中，已知 ，其中角 所对的边分别为 。求 - 9 - （ 1）求角 的大小； （ 2）若 ， 的面积为 ，求 的值。 【答案】（ 1） ；（ 2） 1. 【解析】试题分析： (1)利用正弦定理角化边，结合三角函数的性质可得 ； (2)由 ABC的面积可得 ，由余弦定理可得 ，结合正弦定理可得：的值是 1. 试题解析： （ 1） 由正弦定理，得 ， ， . 即 ，而 ， 则 （ 2）由 ，得 ， 由 及余弦定理得 ， 即 ， 所以 。 19. 在 中，已知 , 边上的中线 所在直线方程
14、为 ，的角平分线 所在直线的方程为 。求 （ 1）求顶点 的坐标； （ 2）求 的面积。 【答案】（ 1） B点的坐标为 ；（ 2） . 【解析】试题分析： (1)设出点 B的坐标，利用中点在直线上结合中点坐标公式可得顶点 B的坐标为 ； (2)利用点到直线的距离求得三角形的高，然后利用面积公式可得 . 试题解析： （ 1）设 ，则 的中点 在直线 上 所以 又点 在直线 上，则 - 10 - 由 可得 ，即 点的坐标为 （ 2）因为点 关于直线 的对称点 的坐标为 ，而点 在直线 上 . 由题知得， 所以直线 的方程为 . 因为直线 BC 和直线 CM 交于 C点 ，由 知 则 ， 点到直线 BC的距离 所以 20. 如图 1，在高为 2的梯形 中， ， ， ，过 、 分别作 ，垂足分别为 、 。已知 ，将梯形 沿 、 同侧折起，得空间几何体 ，如图 2。 （ 1）若 ，证明： ； （ 2）若 ，证明： ； （ 3）在（ 1），（ 2）的条件
