1、 1 2016 2017 学年度第二学期期末考试 高一年级承智班数学试卷 一、选择题 1 已知点 ( 3, 1)? 和 (4, 6)? 在直线 3 2 0x y a? ? ? 的两侧，则实数 a 的取值范围为（ ） A. ( 7,24)? B. ( , 7) (24, )? ? ? C. ( 24,7)? D. ( , 24) (7, )? ? ? 2 设 ?、 为不重合的平面， ,mn为不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A若 / / , / / ,m n m n? ?，则 ? B若 / / , / / , / /m n n ? ? ?，则 /m? C若 ,n m n? ? ? ? ?
2、?，则 ? D若 , / / , m / /nm? ? ? ? ，则 /n 3 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ） A. 16 4? B. 16 2? C. 48 4? D. 48 2? 4 下图画出的是某几 何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为（ ） 2 A. 48? B. 96? C. 48 2? D. 96 2? 5 直线 102nmx y? ? ? 在 y 轴上的截距是 1? ，且它的倾斜角是直线 3 3 3 0xy? ? ?的倾斜角的 2 倍，则（ ） A. 3, 2mn?
3、B. 3, 2mn? ? C. 3, 2mn? ? D. 3, 2mn? ? 6 若直线 :3l y kx?与直线 2 3 6 0xy? ? ? 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ,63?B ,62?C ,32?D ,62?7 如图，在正三棱锥 S ABC? 中， M 、 N 分别是棱 SC 、 BC 的中点，且 MN AM? ，若 22AB? ，则此正三棱锥外接球的体 积是（ ） A 12? B 43? C. 433?D 123? 8 已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： ），可得这个几何体的体积为（ ） 3 A. B. C. D. 9 某四
4、棱锥的三视图如 图所示，该四棱锥外接球的体积为（ ） A. 63? B. 62? C. 36? D. 6? 10 若过点 的直线 与圆 相较于两点 ，且 为弦的中点 ，则 为（ ） A. B. 4 C. D. 2 11 关于空间直角坐 标系 中的一点 ，有下列说法： 点 到坐标原点的距离为 ； 的中点坐标为 ； 点 关于 轴对称的点的坐标为 ； 点 关于坐标原点对称的点的坐标为 ； 点 关于坐标平面 对称的点的坐标为 . 其中正确的个数是 A. B. C. D. 4 12 若三棱锥 P ABC? 中， 1, ,A B A C A B A C P A? ? ? ?平面 ABC ，且直线 PA 与
5、平面 PBC 所成角的正切值为 12 ，则三棱锥 P ABC? 的外接球的表面积为（ ） A. 4? B. 8? C. 16? D. 32? 二、填空题 13 若 正三棱柱的所有棱长均为 a ，且其体积为 316 ，则 ?a 14 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，异面直线 1AD 与 BD 所成角的大小是 _. 15已知一个多面体的三视图如图所示：其中正视图与侧视图都是边长为 1 的等腰直角三角形，俯视图是边长为 1 的正方形 ，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 . 16如果曲线 2 4 0xy? ? ? 与曲线 22 4( 0)xy? ? ?恰好有两
6、个不同的公共点，则实数 ? 的取值范围是 _ 三、解答题 17 曲线 2: 2 cos 8 0C ? ? ? ? ? 曲线 2:1xtE y kt?（ t 是参数） （ 1）求曲线 C 的普通方程，并指出它是什么曲线 . （ 2）当 k 变化时指出曲线 E 是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线 E 截曲线 C 所得弦长的最小值 . 18 如下图，在多面体 ABCDE 中， DB 平面 ABC , DBAE/ ,且 ABC? 是边长为 2 的等边三角形， 1?AE ,CD 与平面 ABDE 所成角的正弦值为 46 . 5 （ 1）若 F 是线段 CD 的中点，证明： EF 面 DBC ； （ 2）
7、求二面角 BECD ? 的平面角的余弦值 19 如图所示，抛物线 2: 2 ( 0)C x py p?的焦点为 ,FC上的一点 ? ?4,Mm满足 4MF? . （ 1）求抛物线 C 的标准方程； （ 2）过点 ? ?1,0E? 作不经过原点的两条直线 ,EAEB 分别与抛物线 C 和圆 ? ?22: 2 4F x y? ? ?相切于点 ,AB，试判断直线 AB 是否过焦点 F . 参考答案 ADBDB BBDDA 11 A 6 12 A 13 4 14 60 15 3? 16 1,04? ?17 （ 1）圆心（ 1,0）半径为 3 的圆 （ 2） min 27AB ? （ 1） ? ?2 2
8、 1 9x cos xyy sin? ? ? ?圆心（ 1,0）半径为 3 的圆 （ 2）消去参数 ? ?12y k x E? ? ? 是一条恒过定点 ? ?2,0C 的直线（ 但不包括 2x? ），当 直线 E 与圆心连线垂直时弦长最小，设圆心到直线 E 的距离为 d ，则 =2d ，所以弦 min 27AB ? 18 (1)证明见解析； (2) 64 . (1)取 AB 中点 O ,连接 ,OC OD OC?平面 ,ABD CDO? 即是 CD 与平面 ABDE 所成的角 ,求出 2BD? ,以 O 为原点 ,建立空间直角坐标系 ,取 BC 的中点 G ,则 AG? 面 BCD .利用/E
9、F AG ,EF 面 DBC ； (2)求出平面 DEC 的一个法向量和平面 BCE 的一个法向量 ,利用两个法向量的夹 角求出二面角 BECD ? 的平面角 试题解析： （ 1）证明：取 AB AB 的中点 O ，连结 ODOC, ,则 ?OC 面 ABD CDO? 即是 CD 与平面 ABDE 所成角 , 7 64OC pCD? 22CD p? 2BD? 取 BD 的中点为 G ,以 O 为原点， OC 为 x 轴， OB 为 y 轴， OG 为 z 轴 建立如图空间直角坐标系，则 ? ? ? ? ? ? ? ? 313 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 2 ,
10、0 , 1 , 1 , , , 122C B D E F ? ? 取 BC 的中点为 M ,则 ?AM 面 BCD 3 3 3 3, , 0 , , , 02 2 2 2E F A M?, 所以 /EF AM ，所以 ?EF 面 BCD . （ 2）解：由上面知： ?BF 面 DEC ， 又 31, ,122BF ? 取平面 DEC 的一个法向量 ? ?3, 1,2n? 又 ? ?3, 1,1CE ? ? ? , ? ?3,1,0CB ? , 由此得平面 BCE 的一个法向量 ? ?1, 3,2 3m ? 则 6co s ,4mnmn mn?，所以二面角 BECD ? 的平面角的余弦值为 64
11、 . 19 （ 1） 2 8xy? ； （ 2） AB 的方程为 3 24yx?，经过焦点 ? ?0,2F . （ 1）抛物线的准线方程为 2Py? 所以 42PMF m? ? ?，又因为 16 2pm? ，所以 2 8 16 0pp? ? ?，得 4p? ， 8 所以抛物线的标准方程为 2 8xy? （ 2）设 :1EA x ky?，联立2 1 8x kyxy?，消去 x 得： ? ?22 2 8 1 0k y k y? ? ? ?， 因为 EA 与圆 C 相切，所以 ? ?2 22 8 4 0kk? ? ? ? ?，即 2k? 所以 1 ,22AAyx? ?，得 12,2A?设 :1EB x ty?，联立 ? ?22124x kyxy? ? ?，消去 x 得： ? ? ? ?221 2 4 1 0t y t y? ? ? ? ?， 因为 EB 与圆 F 相切，所以 ? ? ? ?2 22 4 4 1 0tt? ? ? ? ? ?，即 34t? ， 所以 48,55BByx? ? ?，得 84,55B?所以直线 AB 的斜率 34ABk ?， 可得直线 AB 的方程为 3 24yx?，显然经过焦点 ? ?0,2F
