1、 20102020 全国全国卷选择填空卷选择填空（理科）（理科）-导数导数 【知识点1】 导数的几何意义（切线方程） 【知识点2】 单调性、极值、最值 【知识点3】 函数图象、恒成立问题 【知识点4】 定积分 1. （2010 全国，理 03/12） 曲线 2 x y x = + 在点( 1, 1) 处的切线方程为( ) A21yx=+ B21yx= C23yx= D22yx= 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【答案】A 【解析】 2 x y x = + ， 2 2 (2) y x = + ， 所以 1 |2 x ky = = =，得切线的斜率为 2，所以2k =； 所以曲线( )yf
2、 x=在点( 1, 1) 处的切线方程为： 12(1)yx+ =+，即21yx=+ 故选：A 2. （2011 全国，理 09/12） 由曲线yx=，直线2yx=及y轴所围成的图形的面积为( ) A10 3 B4 C16 3 D6 【考点】定积分的应用 【答案】C 【解析】联立方程 2 yx yx = = 得到两曲线的交点(4,2)， 因此曲线yx=，直线2yx=及y轴所围成的图形的面积为： 3 4 24 2 0 0 2116 (2)(2 )| 323 Sxxdxxxx=+=+= 故选C 3. （2012 全国，理 10/12） 已知函数 1 ( ) ln(1) f x xx = + ；则(
3、)yf x=的图像大致为( ) 1 A B C D 【答案】B 【解析 1】( )ln(1)( ) 1 x g xxxg x x =+= + ( )010,( )00( )(0)0g xxg xxg xg 或10 x 均有( )0f x 排除,A C D 【解析 2】 1 (1)0 ln2 1 f= ，排除 A； 1 ()0 2 f ， ， 若|( )|f xax，则a的取值范围是( ) A(,0 B(,1 C 2,1 D 2,0 【答案】D 【考点】( )( )( )f xg xf x图象在( )g x图象的上方 【解析 1】由|( )|f x的图象知： 2 当0 x 时，yax=只有0a
4、时，才能满足|( )|f xax，可排除 B，C 当0 x 时， 22 |( )| |2 |2yf xxxxx= += 故由|( )|f xax得 2 2xxax 当0 x =时，不等式为00成立 当0 x 时，不等式等价于2xa 22x时， yax=与|( )|yf x=在y轴右侧总有交点，不合题意 当0a =时成立 当0a 时，( )0fx=有两解，不妨设为 12 xx，列表如下 x 1 (,)x 1 x 1 (x， 2) x 2 x 2 (x，)+ ( )fx + 0 0 + ( )f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知： 2 x是函数( )f x的极小值点，但
5、是( )f x在区间 2 (,)x不具有单调性，故C不正确 32323 222242 ()( )()()()2 3333273 aaaaab fxf xxaxbxcxaxbxcac+= +=+， 323 2 ()()()() 3333273 aaaaab fabcac= +=+， 2 ()( )2 () 33 aa fxf xf+=， 点(,() 33 aa Pf为对称中心，故B正确 由表格可知 1 x， 2 x分别为极值点，则 12 ()()0fxfx=，故D正确 x 时，( )f x ；x +，( )f x +， 函数( )f x必然穿过x轴， 即xR ，()0f x=， 故A正确 （2）
6、当0时， 2 ( )3()0 3 a fxx =+，故( )f x在R上单调递增，此时不存在极值点，故D正确， C不正确； B同（1）中正确； x 时，( )f x ；x +，( )f x +， 函数( )f x必然穿过x轴， 即 0 xR， 0 ()0f x=， 故A正确 综上可知：错误的结论是C 由于该题选择错误的，故选：C 8. （2014 全国 2，理 08/12） 设曲线ln(1)yaxx=+在点(0,0)处的切线方程为2yx=，则a =( ) A 0 B1 C 2 D 3 5 【答案】D 【解析】考察导数的几何意义，复合函数求导 1 ,(0)12,3 1 yayaa x = = +
7、 9. （2014 全国 2，理 12/12） 设函数( )3sin x f x m =若存在( )f x的极值点 0 x满足() 2 22 00 xf xm+ 10. （2014 全国 1，理 11/12） 已知函数( )f x= 32 31axx+，若( )f x存在唯一的零点 0 x，且 0 0 x ，则a的取值范围为( ) A(2,)+ B(, 2) C(1,)+ D(, 1) 【答案】B 【解析 1】由已知0a ， 2 ( )36fxaxx=，令( )0fx=，得0 x =或 2 x a =， 当0a 时，() 22 ,0 ,( )0;0,( )0;,( )0 xfxxfxxfx a
8、a ； 且(0)10f= ，( )f x有小于零的零点，不符合题意。 当0a 时，() 22 ,( )0;,0 ,( )0;0,( )0 xfxxfxxfx aa +，即 2 4a ，2a 选 B 【解析 2】由已知0a ，( )f x= 32 31axx+有唯一的正零点，等价于 3 11 3a xx = 6 有唯一的正零根，令 1 t x =，则问题又等价于 3 3att= +有唯一的正零根，即ya=与 3 3ytt= + 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧记 3 ( )3f ttt= +， 2 ( )33f tt= +，由( )0f t=，1t = ， ()(), 1 ,( )0;1,1
9、,( )0;tf ttf t ， ()1,( )0tf t +，要使 3 3att= +有唯一的正零根，只需( 1)2af= ，选 B 11. （2015 全国 1，理 12/12） 设函数( )(21) x f xexaxa=+,其中1a ，若存在唯一的整数 0 x,使得 0 ()0f x，则a的取值范 围是( ) A 3 ,1 2e B 33 , 2e 4 C 33 , 2e 4 D 3 ,1 2e 【考点】利用导数研究函数图象、存在性问题、构造函数 【答案】D 【解析】函数( )(21) x f xexaxa=+，其中1a ， 设( )(21) x g xex=，yaxa=， 存在唯一的
10、整数 0 x,使得 0 ()0f x， 存在唯一的整数 0 x，使得 0 ()g x在直线yaxa=的下方， ( )(21) x g xex=+， 当 1 2 x 时 ( )0g x 时( )0g x 当 1 2 x = 时, 1 2 min 1 ( )()2 2 g xge = 当0 x =时, (0)1g= ，(1)0ge=， 直线yaxa=恒过(1,0)，斜率为a，截距为a，故(0)1ag = ， 且 1 ( 1)3geaa = ,计算得出 3 1 2 a e 所以a的取值范围是 3 ,1) 2e 【变式 1】 设函数( )(1)21 x f xa exx =+， 其中1a ， 则a的取
11、值范围是( ) 7 A 2 53 (,) 32ee B 3 (,1) 2e C 3 ,1) 2e D 2 53 ,) 32ee 【来源】贵州省 2018 年普通高等学校招生适应性考试理科数学 12/12（2018422） 【答案】D 【解析】由( )(1)210 x f xa exx =+ ，得(1)(21) x a xex， 设( )(21) x g xex=，yaxa=， 存在唯一的负整数 0 x,使得 0 ()0f x， 存在唯一的负整数 0 x，使得 0 ()g x在直线yaxa=的下方， ( )(21) x g xex=+， 当 1 2 x 时 ( )0g x 时( )0g x 当
12、1 2 x = 时, 1 2 min 1 ( )()2 2 g xge = 当0 x =时, (0)1g= ，(1)0ge=， 直线yaxa=恒过(1,0)，斜率为a，截距为a，故(0)1ag = （题目已知1a ） ， 且 1 2 ( 1)3 ( 2)52 geaa geaa = = ,计算得出 2 53 32 a ee 所以a的取值范围是 2 53 ,) 32ee 【变式 2】设函数( )(1)ln1f xxxaxa=+，若存在唯一的整数 0 x，使得 0 ()0f x时，( )( )0 xfxf x 成立的x的取值范围是( ) A()1,()0,1 B()()1,01,+ C(, 1)(
13、 1,0) D()()0,11,+ 【考点】构造函数、导数 【答案】A 【解析】当0 x 时，由( )( )0 xfxf x可得 2 ( )( ) 0 xfxf x x , ( ) 0 f x x +时，时， ( )0f x 的解集为()1,()0,1 13. （2016 全国 2，理 16/16） 若直线ykxb=+是曲线ln2yx=+的切线，也是曲线ln(1)yx=+的切线，则b = 【考点】导数的几何意义，切线方程，公切线 【答案】1ln2- 【解析】函数ln2yx=+的导函数为 1 y x = ， 函数ln(1)yx=+的导函数为 1 1 y x = + ， 设曲线ln2yx=+和ln
14、(1)yx=+上的切点的横坐标分别为,m n，则直线方程可以写成 1 (ln2)()ymxm m +=，即 1 ()ln2yxmm m =+ 也可以写成 1 ln(1)() 1 ynxn n += + ，即 1 ()ln(1) 1 yxnn n =+ + 整理后（都写成斜截式）对比得： 11 1 ln1ln(1) 1 mn n mn n = + + =+ + ，解得 1 2 1 2 m n = = ，因此1 ln2b = 【点评】此题考查了导数的几何意义，以及公切线的基本求法，本解法主要体现了通性通法， 即设切点，表示切线方程，利用导数的几何意义，切点与曲线、切线位置关系构建方程组，利用消 元
15、，解方程的办法获解。 14. （2016 全国 3，理 15/16） 已知( )f x为偶函数，当0 x 时，0 x ，根据偶函数得( )()ln3f xfxxx= 10 所以 1 ( )3fx x =， 则切线斜率为(1)2k f = ， 切线方程为32(1)yx+= ， 即21yx= 【考点】1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义 15. （2017 全国 2，理 11/12） 若2x = 是函数 21 ( )(1) x f xxaxe =+的极值点，则( )f x的极小值为( ) A1 B 3 2e C 3 5e D1 【答案】A 【解析】( )() 21 21exfxxaxa =
16、+ ， 则()() 3 24221e01faaa =+= ， 则( ) () 21 1exf xxx =，( )() 21 2exfxxx =+， 令( )0fx=，得2x = 或1x =， 当2x 时，( )0fx，当21x 时，( )0fx， 则( )f x极小值为( )11f= 故选 A 16. （2017 全国 3，理 11/12） 已知函数 211 ( )2() xx f xxxa ee + =+有唯一零点，则 a=( ) A 1 2 B 1 3 C 1 2 D1 【答案】C 【解析 1】由 211 ( )2() xx f xxxa ee + =+，得 2(2) 1(2) 1 (2)
17、(2)2(2)() xx fxxxa ee + =+ 211 4442() xx xxxa ee =+ 211 2() xx xxa ee + =+ 所以(2)( )fxf x=，即( )f x关于直线1x =对称，所以( )f x要有唯一零点，只有( )10f=， 由此解得 1 2 a =.故选 C. 【评注】难度中偏上，主要考查函数的性质与函数的零点结论，本题的难点在于对函数的对称性不 够了解，一般学生很难看出后面函数的对称性，导致做题缺乏思路.本题与 16 年的高考全国卷 2 文 数的选择压轴题（第 12 题）类似，都是围绕函数的性质来考查，需要学生有较强的基本功底并具有 较强的运用能力
18、. 11 【解析 2】函数的零点满足 () 211 2 xx xxa ee + = +， 设( ) 11xx g xee + =+，则( ) ()21 111 11 11 x xxx xx e gxeee ee + =， 当( )0gx=时，1x =，当1x 时，( )0gx时，( )0gx，函数( )g x单调递增， 当1x =时，函数取得最小值( )12g=， 设( ) 2 2h xxx= ，当1x =时，函数取得最小值1 ， （图 1） （图 2） 当0a 时，函数( )h x的的图象（红色）与函数( )ag x的图象（蓝色）没有交点或根据对称性有 偶数个交点， （例如当0.3a = 时
19、有 4 个交点）如图 1； 当0a 时，要使( )h x的图象与( )ag x的图象有一个交点，只需要(1)(1)agh=，如图 2， 即：21a = ，解得 1 2 a =，故选 C 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【点评】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数 的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解， 这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用 17. （2018 全国 1，理 05/12） 设函数 32 ( )(1)f xxaxax=+，若( )f x为
20、奇函数，则曲线( )yf x=在点(0,0)处的切线方程为 A 2yx= By x= C2yx= Dy x= 【答案】D 【解析 1】因为函数 32 ( )(1)=+f xxaxax为奇函数，所以()( )= fxf x， 12 所以 3232 ()(1)()()(1)+= +xaxaxxaxax，所以 2 2(1)0=ax， 因为Rx，所以1=a，所以 3 ( ) =+f xxx，所以 2 ( )31=+fxx，所以(0)1=f，所以曲 线( )=yf x在点(0,0)处的切线方程为=yx故选 D 【解析 2】因为函数 32 ( )(1)=+f xxaxax为奇函数，所以( 1)(1)0+=
21、ff， 所以11(11)0 + + +=aaaa，解得1=a，所以 3 ( ) =+f xxx， 所以 2 ( )31=+fxx， 所以(0)1=f， 所以曲线( )=yf x在点(0,0)处的切线方程为=yx 故 选 D 【解析 3】易知 322 ( )(1)(1)=+=+f xxaxaxx xaxa，因为( )f x为奇函数， 所以函数 2 ( )(1)=+g xxaxa为偶函数，所以10 =a，解得1=a， 所以 3 ( ) =+f xxx，所以 2 ( )31=+fxx，所以(0)1=f，所以曲线( )=yf x在点(0,0)处的切线 方程为=yx故选 D 18. （2018 全国 1
22、，理 16/16） 已知函数( )2sinsin2f xxx=+，则( )f x的最小值是_ 【答案】 3 3 2 【解析 1】因为( )2sinsin2f xxx=+，所以( ) 2 2cos2cos2 =4cos2cos2fxxxxx=+ 1 4(cos)(cos1) 2 xx=+，由( )0fx得 1 cos1 2 x，即22 33 kxk +，Zk， 由( )0fx得 1 1cos 2 x ，即22 3 kxk +或22 3 kxk ，Zk， 所以当2 3 xk =（Zk）时，( )f x取得最小值，且 min 3 3 ( )(2)2sin(2)sin2(2) 3332 f xfkkk
23、 =+= 13 14 19. （2018 全国 2，理 13/16） 曲线 2ln(1)yx=+ 在点(0,0)处的切线方程为_ 【答案】2yx= 【解析】 2 1 y x = + ， 0 |2 x ky = =，所以切线方程为02(0)yx=，即2yx= 20. （2018 全国 3，理 14/16） 曲线(1) x yaxe=+在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a =_ 【答案】3 【解析】(1) x yaxa e = + +，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2， 得 00 (1)12 x xx yaxa ea = =+ += += ，所以3a = 21. （2019 全国 1，理
24、13/16） 曲线 2 3() x yxx e=+在点(0,0)处的切线方程为 【答案】3yx= 【解析】 2 3() x yxx e=+， 2 3(31) x yexx=+， 当0 x =时，3y =， 2 3() x yxx e=+在点(0,0)处的切线斜率3k =， 切线方程为：3yx= 故答案为：3yx= 22. （2019 全国 3，理 06/12） 已知曲线ln x yaexx=+在点(1,)ae处的切线方程为2yxb=+，则( ) 15 Aae=，1b = Bae=，1b = C 1 ae=，1b = D 1 ae=，1b = 【答案】D 【解析】ln x yaexx=+的导数为
25、ln1 x yaex =+， 由在点(1,)ae处的切线方程为2yxb=+， 可得102ae+ +=，解得 1 ae=， 又切点为(1,1)，可得12b=+，即1b = ， 故选：D 23. （2020 全国 1，理 06/12） 函数 43 ( )2f xxx=的图象在点(1,(1)f处的切线方程为( ) A21yx= B21yx= + C23yx= D21yx=+ 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【答案】B 【解析】由 43 ( )2f xxx=，得 32 ( )46fxxx=， (1)462 f = ，又(1)121f= = ， 函数 43 ( )2f xxx=的图象在点(1,(1)f处的切线方程为( 1)2(1)yx = ， 即21yx= + 故选：B 16
