1、1.1.2 集合间的基本关系 一、子集的有关概念一、子集的有关概念 1.Venn1.Venn图图 通常用平面上通常用平面上_的内部代表集合的内部代表集合. . 用用VennVenn图表示集合的优点：形象直观图表示集合的优点：形象直观. . 封闭曲线封闭曲线 2.2.子集子集 (1)(1)自然语言：一般地，对于两个集合自然语言：一般地，对于两个集合A A，B B，如果集合，如果集合A A中中 _一个元素一个元素_集合集合B B中的元素，我们就说这两个集合有中的元素，我们就说这两个集合有 _关系，称集合关系，称集合A A为集合为集合B B的子集的子集. . (2)(2)符号语言：记作符号语言：记作
2、_(_(或或_)_)，读作“，读作“_”(_”(或或 “B B包含包含A”).A”). (3)(3)图形语言：用图形语言：用VennVenn图表示图表示. . 任意任意 都是都是 A A B B A A含于含于B B 包含包含 B B A A 3.3.真子集真子集 如果集合如果集合_，但存在元素，但存在元素xBxB，且，且_，我们称集合，我们称集合A A是是 集合集合B B的真子集，记作的真子集，记作_(B A)._(B A). 4.4.集合相等集合相等 如果集合如果集合A A是集合是集合B B的的_(A_(A B)B)，且集合，且集合B B是集合是集合A A的的 _(B_(B A)A)，此时
3、，集合，此时，集合A A与集合与集合B B中的元素是中的元素是_的，因此的，因此 集合集合A A和集合和集合B B相等，记作相等，记作_._. 思考：思考：“”与“”与“ ”有什么区别？”有什么区别？ 提示：提示：“”表示元素与集合之间的关系，而表示元素与集合之间的关系，而“ ”表示集表示集 合与集合之间的关系合与集合之间的关系. . A A B B x x A A 子集子集 子集子集 一样一样 A=BA=B A BA B 二、空集及集合间关系具有的性质二、空集及集合间关系具有的性质 1.1.空集：指的是空集：指的是_的集合的集合，记作，记作_，并规定：，并规定： 空集是空集是_的子集的子集.
4、 . 2.2.集合间关系具有的性质集合间关系具有的性质 (1)(1)任何一个集合是它本身的任何一个集合是它本身的_，即，即_._. (2)(2)对于集合对于集合A A，B B，C C，如果，如果A A B B，且，且B B C,C,那么那么_._. 不含任何元素不含任何元素 任何集合任何集合 子集子集 A A A A A A C C 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)集合集合00是空集是空集.( ).( ) (2)(2)集合集合x|xx|x2 2+1=0,xR+1=0,xR是空集是空集.( ).( ) (3)(3)空集没有子集空集没有子集.
5、( ).( ) 提示：提示：(1)(1)错误错误. .集合集合00含有一个元素含有一个元素0 0，是非空集合，是非空集合. . (2)(2)正确正确. .由于方程由于方程x x2 2+1=0+1=0在实数范围内无解，故此集合是空集在实数范围内无解，故此集合是空集. . (3)(3)错误错误. .空集是任何集合的子集，也是它本身的子集空集是任何集合的子集，也是它本身的子集. . 答案：答案：(1)(1) (2) (3)(2) (3) 【知识点拨知识点拨】 1.1.对子集概念的理解对子集概念的理解 (1)(1)“A A是是B B的子集的子集”的含义是：集合的含义是：集合A A中的任何一个元素都是集
6、中的任何一个元素都是集 合合B B的元素，即有任意的元素，即有任意xAxA能推出能推出xB.xB. (2)(2)不能把不能把“A A B B”理解为理解为“A A是是B B中部分元素组成的集合中部分元素组成的集合”， 因为当因为当A=A= 时，时，A A B B，但，但A A中不含任何元素；又当中不含任何元素；又当A=BA=B时，也有时，也有 A A B B，但，但A A中含有中含有B B中所有元素，这两种情况都有中所有元素，这两种情况都有A A B.B. 2.2.对真子集的理解对真子集的理解 对真子集概念的理解关键是对真子集概念的理解关键是“真真”字，它包括两个方面：首先字，它包括两个方面：
7、首先 是某集合的子集，其次不能与原集合相等是某集合的子集，其次不能与原集合相等. . 3.3.对集合相等的理解对集合相等的理解 (1)(1)从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合A A中的元素中的元素 和集合和集合B B中的元素相同，则这两个集合相等中的元素相同，则这两个集合相等. . (2)(2)从两个集合的关系出发表达两个集合相等，即从两个集合的关系出发表达两个集合相等，即A A B B，则对，则对 任意任意xAxA都有都有xBxB，同时，同时B B A A，则对任意，则对任意xBxB都有都有xAxA，这，这 说明两个集合的元素是相同的，即两集合相
8、等说明两个集合的元素是相同的，即两集合相等. . 4.4.对空集的理解对空集的理解 (1)(1)空集首先是集合，只不过此集合中不含任何元素空集首先是集合，只不过此集合中不含任何元素. . (2)(2)规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. . 因此遇到诸如因此遇到诸如A A B B，A BA B的问题时，务必优先考虑的问题时，务必优先考虑A=A= 是否是否 满足题意，这也是初学者极易出错的地方满足题意，这也是初学者极易出错的地方. . 5.5.对集合间关系具有的性质的两点说明对集合间关系具有的性质的两点说明 (1)(1)对于任何一个集
9、合是它本身的子集的性质要时刻牢记对于任何一个集合是它本身的子集的性质要时刻牢记. . (2)(2)集合间的包含关系满足传递性，同样，集合间的真包含关集合间的包含关系满足传递性，同样，集合间的真包含关 系也具有传递性，即系也具有传递性，即A B,B C,A B,B C,则则A C.A C. 类型类型 一一 子集的有关概念子集的有关概念 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013邵阳高一检测邵阳高一检测) )集合集合a,ba,b的子集个数为的子集个数为( )( ) A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4 2.2.若集合若集合1,21,2 M M 1,2,3,41,2,
10、3,4，试写出满足条件的所有的集，试写出满足条件的所有的集 合合M.M. 【解题探究解题探究】1.1.一个集合的子集可以与其相等吗？空集是它一个集合的子集可以与其相等吗？空集是它 的子集吗？的子集吗？ 2.2.题题2 2中满足条件的集合中满足条件的集合M M一定含有哪些元素，可能含有哪些一定含有哪些元素，可能含有哪些 元素？元素？ 探究提示：探究提示： 1.1.一个集合的子集可以与其相等，也可以是空集一个集合的子集可以与其相等，也可以是空集. . 2.2.据条件分析，集合据条件分析，集合M M一定含有元素一定含有元素1 1，2 2，可能含有元素，可能含有元素3 3，4.4. 【解析解析】1.1
11、.选选D.D.当子集不含元素时，即为当子集不含元素时，即为 ；当子集中含有一；当子集中含有一 个元素时，其子集为个元素时，其子集为a,ba,b；当子集中有两个元素时，其子；当子集中有两个元素时，其子 集为集为a,b.a,b. 2.2.由于由于1,21,2 M M，故，故1,2M1,2M，又，又M M 1,2,3,41,2,3,4，所以符合条，所以符合条 件的集合件的集合M M有：有：1,21,2，1,2,31,2,3，1,2,41,2,4，1,2,3,4.1,2,3,4. 【互动探究互动探究】若把题若把题2 2已知条件改为“已知已知条件改为“已知11，22 M M 1,2,3,4”1,2,3,
12、4”，则这样的集合，则这样的集合M M又有几个？又有几个？ 【解析解析】1,21,2 M,MM,M中至少有中至少有1 1，2 2两个元素，又两个元素，又M M 1,2,3,41,2,3,4，故集合，故集合M M可以是可以是11，22，11，2 2，33，11，2 2，4.4. 【拓展提升拓展提升】求一个集合子集个数的规律及注意点求一个集合子集个数的规律及注意点 (1)(1)规律：含有规律：含有n(n1n(n1且且nN)nN)个元素的集合的子集有个元素的集合的子集有2 2n n个，个， 有有2 2n n- -1 1个真子集，有个真子集，有2 2n n- -2 2个非空真子集个非空真子集. . (
13、2)(2)注意点：解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合，即注意点：解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合，即 和集合本身和集合本身. . 【变式训练变式训练】(2013(2013冀州高一检测冀州高一检测) )同时满足：同时满足： M M 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,若若aM,aM,则则6 6- -aMaM的非空集合的非空集合M M有有( )( ) A.16A.16个个 B.15B.15个个 C.7C.7个个 D.6D.6个个 【解析解析】选选C.1+5=2+4=3+3=6,C.1+5=2+4=3+3=6,集合集合M M可能为单元素集合：可能为单元素集合： 33；二元素集合：；二元
14、素集合：1,5,2,41,5,2,4；三元素集合：；三元素集合：1,3,5, 1,3,5, 2,3,4,2,3,4,四元素集合四元素集合:1,2,4,5,:1,2,4,5,五元素集合：五元素集合：1,2,3,4,51,2,3,4,5， 共共7 7个个. . 类型类型 二二 集合间的包含关系的判断集合间的包含关系的判断 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013亳州高一检测亳州高一检测) )下列关系中，表示正确的是下列关系中，表示正确的是( )( ) A.10,1 B.1 0,1A.10,1 B.1 0,1 C.1C.1 0,1 D.10,10,1 D.10,1 2.2.集合集合P=x|
15、y=xP=x|y=x2 2 ，集合，集合Q=y|y=xQ=y|y=x2 2 ，则，则P P与与Q Q的关系为的关系为( )( ) A.PA.P Q B.QQ B.Q P P C.P=Q D.C.P=Q D.以上都不对以上都不对 3.3.集合集合A A2n2n1|nZ1|nZ，集合，集合B B4k4k1|kZ1|kZ，则，则A A与与B B间间 的关系是的关系是( )( ) A.AB B.A BA.AB B.A B C.AC.A B D.A=BB D.A=B 【解题探究解题探究】1.1.表示元素与集合、集合与集合之间的关系分表示元素与集合、集合与集合之间的关系分 别用什么符号表示？别用什么符号表
16、示？ 2.2.题题2 2中判断两个集合之间的关系时，应先怎样处理集合？中判断两个集合之间的关系时，应先怎样处理集合？ 3.3.题题3 3当当n n，kZkZ时，时，2n2n1 1，4k4k1 1分别表示什么数？分别表示什么数？ 探究提示：探究提示： 1.1.表示元素与集合之间的关系用符号表示元素与集合之间的关系用符号， 表示，表示集合与表示，表示集合与 集合之间的关系用集合之间的关系用 , , 表示表示. . 2.2.在判断两个集合之间的关系时，要先对集合进行分析、化在判断两个集合之间的关系时，要先对集合进行分析、化 简，使每个集合的表现形式最简洁简，使每个集合的表现形式最简洁. . 3.3.
17、当当n n，kZkZ时，时，2n2n1 1表示奇数；表示奇数；4k4k1 1也表示奇数也表示奇数. . 【解析解析】1.1.选选A. A. 、 表示集合之间的关系，故表示集合之间的关系，故B,CB,C错误；错误； 表示元素与集合之间的关系，故表示元素与集合之间的关系，故D D错误错误. . 2.2.选选B.P=x|y=xB.P=x|y=x2 2=x|xR=x|xR， Q=y|y=xQ=y|y=x2 2=y|y0=y|y0，故，故Q Q P.P. 3.3.选选D.D.整数包括奇数与偶数，整数包括奇数与偶数，n n2k2k或或2k2k1(kZ)1(kZ)，当，当n n 2k2k时，时，2n2n1
18、14k4k1 1，当，当n n2k2k1 1时，时，2n2n1 14k4k1 1，故，故 A AB.B. 【拓展提升拓展提升】集合间关系的判断方法集合间关系的判断方法 (1)(1)判断判断A A B B的常用方法，一般用定义法，即说明集合的常用方法，一般用定义法，即说明集合A A中的中的 任何一个元素都是集合任何一个元素都是集合B B中的元素中的元素. . (2)(2)判断判断A BA B的方法，可以先判断的方法，可以先判断A A B B，然后说明集合，然后说明集合B B中存中存 在元素不属于集合在元素不属于集合A.A. (3)(3)判断判断A=BA=B的方法，可以证明的方法，可以证明A A
19、B B，且，且B B A A；也可以证明两；也可以证明两 个集合的元素完全相同个集合的元素完全相同. . 【变式训练变式训练】(2013(2013肇庆高一检测肇庆高一检测) )下列各组集合下列各组集合M M与与N N中，表中，表 示相等集合的是示相等集合的是( )( ) A.M=(0,1),N=0,1A.M=(0,1),N=0,1 B.M=(0,1),N=(1,0)B.M=(0,1),N=(1,0) C.M=(0,1),N=(x,y)|x=0C.M=(0,1),N=(x,y)|x=0且且y=1y=1 D.M=D.M= ,N=3.14,N=3.14 【解析解析】C.C.对对A A，由于集合，由于
20、集合M M是点集，集合是点集，集合N N是数集，故是数集，故M M和和N N不相不相 等；对等；对B B，虽然都是点集，但元素表示不同的点，故，虽然都是点集，但元素表示不同的点，故M M和和N N不相等；不相等； 对对D D，由于，由于是无理数，是无理数，3.143.14是有理数，故是有理数，故M M和和N N不相等不相等. . 类型类型 三三 由集合间的关系求参数问题由集合间的关系求参数问题 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013长春高一检测长春高一检测) )已知集合已知集合A=2,9,B=mA=2,9,B=m2 2,2,2，若，若A=B,A=B, 则实数则实数m m的值为的值为
21、( )( ) A.3 B.2 C.A.3 B.2 C. D.D.3 3 2.2.已知集合已知集合A=x|aA=x|ax x5,B=x|x25,B=x|x2，且满足，且满足A A B B，求实，求实 数数a a的取值范围的取值范围. . 2 【解题探究解题探究】1.1.两个集合相等，其元素有什么关系？两个集合相等，其元素有什么关系？ 2.2.当两集合是连续数集时，如何确定它们的包含关系？当两集合是连续数集时，如何确定它们的包含关系？ 探究提示：探究提示： 1.1.两个集合相等，其元素是相同的两个集合相等，其元素是相同的. . 2.2.两个集合为连续数集时，可用数轴来分析它们的关系，并两个集合为连
22、续数集时，可用数轴来分析它们的关系，并 以此来确定它们的包含关系以此来确定它们的包含关系. . 【解析解析】1.1.选选D.A=2,9,B=mD.A=2,9,B=m2 2,2,A=B,2,A=B， m m2 2=9=9，m=m=3.3. 2.2.当当a5a5时，时，A=A= ，此时有，此时有A A B;B; 当当a a5 5时，要使时，要使A A B B，如图，需，如图，需a2a2，所以，所以2a2a5.5. 综上，综上，a a的取值范围为的取值范围为a2.a2. 【拓展提升拓展提升】由集合间的关系求参数的方法及注意点由集合间的关系求参数的方法及注意点 (1)(1)对于用列举法表示的集合，根据
23、集合间的包含关系，可直对于用列举法表示的集合，根据集合间的包含关系，可直 接转为元素间的关系，此时应注意元素的互异性接转为元素间的关系，此时应注意元素的互异性. . (2)(2)对于用描述法表示的集合，特别是元素个数无限的数集，对于用描述法表示的集合，特别是元素个数无限的数集， 可借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示可借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示 出来，以形定数，此时要注意对端点值验证出来，以形定数，此时要注意对端点值验证. . 【变式训练变式训练】已知集合已知集合A=x|A=x|- -3x43x4，集合，集合B=x|2mB=x|2m- -1 1x x m+
24、1m+1，且，且B B A A，求实数，求实数m m的取值范围的取值范围. . 【解题指南解题指南】可就集合可就集合B B是否为空集进行讨论，根据是否为空集进行讨论，根据B B A A列出列出 有关不等式有关不等式( (或组或组) )，进而求出实数，进而求出实数m m的取值范围的取值范围. . 【解析解析】BB A A，(1)(1)当当B=B= 时，即时，即2m2m- -1m+11m+1，亦即，亦即m2m2时，时， 满足要求满足要求. . (2)(2)当当BB 时，则有时，则有 解得解得- -1m1m2.2. 综上所述，实数综上所述，实数m m的取值范围是的取值范围是m m- -1. 1. 3
25、2m 1 m14 2m 1m1 ， ， ， 【规范解答规范解答】根据集合间的关系求参数取值范围问题根据集合间的关系求参数取值范围问题 【典例典例】 【条件分析条件分析】 【规范解答规范解答】(1)(1)当当a=0a=0时，时，A=A= , ,满足条件 满足条件. .3 3分分 (2)(2)当当a0a0时，分两种情况时，分两种情况: : a0a0时，时，A=x| x ,B=x|A=x| x ,B=x|- -1x11x0, a2.a0, a2.7 7分分 1 1, a 2 1, a a0, 1 a 2 a 当当a0a0时，时，A=x| x A=x| x 9 9分分 A A B, aB, a- -2
26、.2.1111分分 综上可知，综上可知，aa- -2 2或或a=0a=0或或a2.a2.1212分分 2 a 1 a 1 1, a 2 1, a a0, 【失分警示失分警示】 【防范措施防范措施】 1.1.特别关注空集特别关注空集 此题含有条件此题含有条件A A B B，解答此类含有集合包含关系的问题时，解答此类含有集合包含关系的问题时， 一定要考虑集合一定要考虑集合A A是否为空集，此类问题往往因为对空集的关是否为空集，此类问题往往因为对空集的关 注不够而出现不必要的失误注不够而出现不必要的失误. . 2.2.分类讨论的意识分类讨论的意识 本题中由于本题中由于a a的取值未限定，因而要考虑不
27、等式组解的情况，的取值未限定，因而要考虑不等式组解的情况， 即需要分即需要分a=0,aa=0,a0,a0,a0 0三种情况讨论，也就是在解题时要有三种情况讨论，也就是在解题时要有 分类讨论的意识分类讨论的意识. . 【类题试解类题试解】已知集合已知集合P=x|xP=x|x2 2+x+x- -6=06=0，M=x|mxM=x|mx- -1=01=0，若，若 M PM P，求满足条件的实数，求满足条件的实数m m取值的集合取值的集合Q Q 【解析解析】P=x|xP=x|x2 2+x+x- -6=0=6=0=- -3,2.M P3,2.M P，M=M= 或或MM . . (1)(1)当当M=M= ，
28、即，即m=0m=0时，满足时，满足M P.M P. (2)(2)当当MM ，即，即m0m0时，时，M=x|mxM=x|mx- -1=0= 1=0= ，M PM P，则必有，则必有 = =- -3 3或或2 2，解得，解得m= m= 或或 . . 综上所述，综上所述，Q=0, , .Q=0, , . 1 m 1 3 1 2 1 3 1 2 1 m 1.1.下列集合不是下列集合不是0,10,1的真子集的是的真子集的是( )( ) A.1 B.0 C.0,1 D.A.1 B.0 C.0,1 D. 【解析解析】选选C.C.集合不是它本身的真子集，故选集合不是它本身的真子集，故选C.C. 2.2.已知集
29、合已知集合M=1M=1，N=1N=1，2 2，33，能够准确表示集合，能够准确表示集合M M与与N N之之 间关系的是间关系的是( )( ) A.MA.MN B.MNN B.MN C.NC.N M D.M NM D.M N 【解析解析】选选D.D.集合集合M M中元素都在集合中元素都在集合N N中，但是中，但是N N中元素中元素 2 2，3 3 M M，M NM N 3.3.已知集合已知集合A Ax|xx|x2 23x3x2 200，B B1,21,2，C C x|x8,xN,x|x8,xN,用适当符号填空：用适当符号填空： A_BA_B，A_CA_C，2_C,2_C.2_C,2_C. 【解析
30、解析】A=1,2A=1,2，B B1,21,2，C=0,1,2,3,4,5,6,7C=0,1,2,3,4,5,6,7， A=BA=B，A CA C，2 C2 C，2C.2C. 答案：答案：= = 4.4.设集合设集合A=x|xA=x|x是等腰三角形是等腰三角形 ，B=x|xB=x|x是三角形是三角形 ，C=x|xC=x|x 是等边三角形是等边三角形 ，则，则A A，B B，C C之间的关系是之间的关系是_._. 【解析解析】等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是 三角形，所以三角形，所以C A B.C A B. 答案：答案：C A BC A B 5.5.已知集合已知集合A=x|xA=x|x- -72,B=x|x572,B=x|x5，化简集合，化简集合A A，并判断，并判断 集合集合A,BA,B的关系的关系. . 【解析解析】A=x|xA=x|x- -72=x|x972=x|x9，又，又B=x|x5,A B.B=x|x5,A B.
