1、1.1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、交集 一、并集一、并集 属于集合属于集合A A或或 属于集合属于集合B B ABAB A A并并B B x|xx|xA,A,或或x xBB 思考：思考：集合集合ABAB中的元素个数就是由集合中的元素个数就是由集合A A和和B B的所有元素的的所有元素的 个数的和吗？个数的和吗？ 提示：提示：不一定不一定. .因为集合元素满足互异性，所以若集合因为集合元素满足互异性，所以若集合A A和和B B有有 公共元素，则只能出现一次公共元素，则只能出现一次. . 二、交集二、交集 属于集合属于集合A A且属且属 于集合于集合B B ABAB A A交交B B x
2、|xx|xA,A,且且x xBB 思考：思考：当集合当集合A A与与B B没有公共元素时，没有公共元素时，A A与与B B就没有交集吗？就没有交集吗？ 提示：提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合 的交集仍存在，即此时的交集仍存在，即此时AB=AB= . . 三、并集与交集的性质三、并集与交集的性质 并并 集集 交交 集集 AA=AAA=A AA=AAA=A AA =_=_ AA =_=_ A A 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)集合集合M=M=直线直线 与集合与集合N=N=圆圆
3、 无交集无交集.( ).( ) (2)(2)两个集合的并集中元素就是将两个集合元素合在一两个集合的并集中元素就是将两个集合元素合在一 起起.( ).( ) (3)(3)若若AB=CBAB=CB，则，则A=C.( )A=C.( ) 提示：提示：(1)(1)错误错误. .虽然两集合无公共元素，但两个集合的交集虽然两集合无公共元素，但两个集合的交集 存在且为空集，故不正确存在且为空集，故不正确.(2).(2)错误错误. .当两个集合有公共元素时，当两个集合有公共元素时， 在并集中只能算作一个，故不正确在并集中只能算作一个，故不正确.(3).(3)错误错误. .若若AB=CBAB=CB，A A 与与C
4、 C也可能不相等，故不正确也可能不相等，故不正确. . 答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3) 【知识点拨知识点拨】 1.1.对并集概念的理解对并集概念的理解( (关键词关键词“或或”) ) (1)(1)并集概念中的并集概念中的“或或”字与生活中的字与生活中的“或或”字含义不同字含义不同. .生生 活中的活中的“或或”字是非此即彼，必居其一，而并集中的字是非此即彼，必居其一，而并集中的“或或” 字可以是兼有的，但不是必须兼有的字可以是兼有的，但不是必须兼有的.xA.xA，或，或 xBxB包含三包含三 种情况：种情况： xAxA，但，但x x B;B; xBxB，但，但x x A;A;
5、 xAxA且且xB.xB. (2)(2)用用VennVenn图如下所示：图如下所示： 因此因此ABAB是由所有至少属于是由所有至少属于A,BA,B两者之一的元素组成的集合两者之一的元素组成的集合. . 2.2.对交集概念的理解对交集概念的理解( (关键词关键词“且且”) ) (1)(1)定义中的定义中的“所有所有”是指集合是指集合A A和集合和集合B B中全部的公共元素，中全部的公共元素， 不能是一部分公共元素不能是一部分公共元素. . (2)AB=x|xA(2)AB=x|xA，且，且xBxB中的中的“且且”是指是指“同时同时”，即集，即集 合合A A与集合与集合B B的公共元素都属于的公共元
6、素都属于AB.AB. (3)(3)用用VennVenn图表示交集如下：图表示交集如下： 3.3.关于交集、并集运算的常用的性质关于交集、并集运算的常用的性质 (1)AB=BA,AB=BA.(1)AB=BA,AB=BA. (2)A(2)A (AB)(AB)，(AB)(AB) A,A, B B (AB)(AB)，(AB)(AB) B.B. (3)(3)若若AB=BAB=B，则，则A A B B；反之，若；反之，若A A B B，则，则AB=B.AB=B. (4)(4)若若AB=BAB=B，则，则B B A A；反之，若；反之，若B B A A，则，则AB=B.AB=B. 类型类型 一一 集合并集的
7、运算集合并集的运算 【典型例题典型例题】 1.(2013 1.(2013 西宁高一检测西宁高一检测) )已知集合已知集合A=x|A=x|- -1x1x3,3, B=x|2B=x|2x5x5，则，则ABAB( )( ) A.x|2A.x|2x x3 B.x|3 B.x|- -1x51x5 C.x|C.x|- -1 1x x5 D.x|5 D.x|- -1 1x5x5 2.(20132.(2013重庆高一检测重庆高一检测) )设集合设集合M=1,2M=1,2，则满足条件，则满足条件 MN=1,2,3,4MN=1,2,3,4的集合的集合N N的个数是的个数是( )( ) A.1 B.3 C.2 D.
8、4A.1 B.3 C.2 D.4 3.(20133.(2013杭州高一检测杭州高一检测) )集合集合A A0,20,2，aa，B B11，a a2 2 若若 ABAB0,1,2,4,160,1,2,4,16，则，则a a的值为的值为( )( ) A.0 B.1 C.2 D.4A.0 B.1 C.2 D.4 【解题探究解题探究】1.1.两个集合求并集的实质是什么？两个集合求并集的实质是什么？ 2.2.题题2 2中在已知中在已知MNMN及集合及集合M M的条件下，如何确定集合的条件下，如何确定集合N N？ 3.3.当并集中的元素个数与构成并集的两个集合的元素个数和当并集中的元素个数与构成并集的两个
9、集合的元素个数和 相等时，如何确定其中的参数？相等时，如何确定其中的参数？ 探究提示：探究提示： 1.1.两个集合求并集的实质是把两个集合中的所有元素合在一两个集合求并集的实质是把两个集合中的所有元素合在一 起，组成一个新的集合起，组成一个新的集合. . 2.2.根据集合根据集合MNMN及集合及集合M M的关系，可以确定集合的关系，可以确定集合N N一定含有的一定含有的 元素，集合的个数则由可能含有的元素确定元素，集合的个数则由可能含有的元素确定. . 3.3.此类问题，一般是去掉已知元素，把参数与并集中的元素此类问题，一般是去掉已知元素，把参数与并集中的元素 对应相等，构成方程对应相等，构成
10、方程( (组组) )求解求解. . 【解析解析】1.1.选选B.B.结合数轴分析可知，结合数轴分析可知，ABABx|x|- -1x5.1x5. 2.2.选选D.M=1,2D.M=1,2，MN=1,2,3,4MN=1,2,3,4， N=3,4N=3,4或或1,31,3，44或或22，3,43,4或或1,2,3,41,2,3,4，即集合，即集合N N有有4 4 个个. . 3.3.选选D.AD.A0,20,2，aa，B B11，a a2 2 ，ABAB0,1,2,4,160,1,2,4,16， a=4a=4，a a2 2=16=16或或a=16a=16，a a2 2=4=4，解得，解得a=4.a=
11、4. 【拓展提升拓展提升】求两个集合并集的两个方法求两个集合并集的两个方法 (1)(1)若两个集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集若两个集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集. . (2)(2)若两个集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集若两个集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集. . 但应注意端点是否能取得但应注意端点是否能取得. . 【变式训练变式训练】已知集合已知集合A Ax|x|2x52x5，集合，集合B Bx|x3x|x3， 则则ABAB_._. 【解析解析】A A与与B B都是都是“连续的数集连续的数集”，所以用数轴表示，如图，所以用数轴表示，如图 所示所示 则
12、则ABABx|x5x|x5 答案：答案：x|x5x|x5 类型类型 二二 集合交集的运算集合交集的运算 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013安阳高一检测安阳高一检测) )若若A=0,1,2,3,B=0,3,6,9,A=0,1,2,3,B=0,3,6,9,则则 AB=( )AB=( ) A.1,2 B.0,1A.1,2 B.0,1 C.0,3 D.3C.0,3 D.3 2.(20132.(2013潍坊高一检测潍坊高一检测) )已知已知M Mxxy yx x2 2- -11，N Ny|yy|y x x2 2- -11，那么，那么MN=( )MN=( ) A.y|yA.y|y1 1或或
13、0 B.x|x0 B.x|x0 0或或11 C.(0,C.(0,1),(1,0) D.y|y1),(1,0) D.y|y- -11 【解题探究解题探究】1.1.两个集合交集中的元素是由两个集合中什么两个集合交集中的元素是由两个集合中什么 样的元素构成的？样的元素构成的？ 2.2.当两个集合元素无限时求其交集需借助的工具是什么？当两个集合元素无限时求其交集需借助的工具是什么？ 探究提示：探究提示： 1.1.两集合交集中的元素是两个集合的公共元素两集合交集中的元素是两个集合的公共元素( (包括无公共元包括无公共元 素，即空集的情形素，即空集的情形). ). 2.2.当两个集合元素无限时，可借助数轴
14、分析求解当两个集合元素无限时，可借助数轴分析求解. . 【解析解析】1.1.选选C.C.观察两集合元素可知，公共元素是观察两集合元素可知，公共元素是0,30,3，从而，从而 AB=0,3. AB=0,3. 2.2.选选D.M= x|yD.M= x|yx x2 21=R1=R，N Ny|yy|yx x2 2- -11 =y|y=y|y- -11，故，故MN=y|yMN=y|y- -1.1. 【互动探究互动探究】题题1 1中，若集合中，若集合B=4,5,6B=4,5,6，其他条件不变，则，其他条件不变，则 ABAB等于什么？等于什么？ 【解析解析】由于两个集合无公共元素，因此由于两个集合无公共元素
15、，因此AB=AB= . . 【拓展提升拓展提升】求两个集合交集的方法及注意事项求两个集合交集的方法及注意事项 (1)(1)方法：当两个集合元素个数有限时，可直接求交集；当两方法：当两个集合元素个数有限时，可直接求交集；当两 个集合为无限集时，可借助于数轴分析求解个集合为无限集时，可借助于数轴分析求解. . (2)(2)注意事项：两个集合无公共元素时，不能说无交集，而是注意事项：两个集合无公共元素时，不能说无交集，而是 交集为空集交集为空集. . 【变式训练变式训练】已知集合已知集合S Sx|0x1x|0x1，T Tx|2xx|2x1111，则，则 STST等于等于( )( ) A.S B.TA
16、.S B.T C.x|x1 D.C.x|x1 D. 【解析解析】选选A.TA.Tx|x1x|x1，STSTS.S. 类型类型 三三 集合交集、并集运算的性质及其简单综合集合交集、并集运算的性质及其简单综合 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013临沂高一检测临沂高一检测) )已知集合已知集合A=x|xA=x|x2 2- -pxpx- -2=02=0， B=x|xB=x|x2 2+qx+r=0+qx+r=0，且，且AB=AB=- -2 2，1 1，55，AB=AB=- -22，则，则 p+q+r=_.p+q+r=_. 2.2.设集合设集合A A - -22，B Bx|axx|ax1 1
17、0 0，aRaR，若，若ABABB B，求，求 a a的值的值 【解题探究解题探究】1.1.- -2 2是不是方程是不是方程x x2 2- -pxpx- -2=02=0的根？怎样确定集合的根？怎样确定集合 B B？ 2.2.条件中的条件中的ABABB B应如何转化？应如何转化？ 探究提示：探究提示： 1.1.- -2 2是方程是方程x x2 2- -pxpx- -2=02=0的一个根，由此来确定集合的一个根，由此来确定集合A A，进而确，进而确 定集合定集合B.B. 2.2.条件条件ABABB B可通过交集的性质可通过交集的性质AB=BAB=BB B A A转化，进而求转化，进而求 解解. .
18、 【解析解析】1.AB=1.AB=- -22，- -2A2A且且- -2B2B， 将将x=x=- -2 2代入代入x x2 2- -pxpx- -2=02=0， 得得p=p=- -1 1，A=1A=1，- -22， AB=AB=- -2 2，1 1，55，AB=AB=- -22，B=B=- -2 2，55， q=q=- -( (- -2)+52)+5= =- -3 3，r=(r=(- -2)2)5=5=- -1010， p+q+r=p+q+r=- -14.14. 答案：答案：- -1414 2.AB2.ABB B，B B A.A. AA 22 ，B B 或或BB . . 当当B B 时，方程时
19、，方程axax1 10 0无解，此时无解，此时a a0,0,满足满足B B A.A. 当当BB 时，此时时，此时a0a0，则，则B B ， A A，即有，即有 - -2 2，得，得a a . . 综上，得综上，得a a0 0或或a a . . 1 a 1 2 1 a 1 a 1 2 【拓展提升拓展提升】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注 点点 (1)(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到 AB=BAB=B，AB=AAB=A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的等这类问题，解答时常借助于交集
20、、并集的 定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如 AB=AAB=AA A B B，AB=BAB=BA A B.B. (2)(2)关注点：当集合关注点：当集合A A B B时，若集合时，若集合A A不确定，运算时要考虑不确定，运算时要考虑 A=A= 的情况，否则易漏解的情况，否则易漏解. . 【变式训练变式训练】已知集合已知集合M=x|2xM=x|2x- -4=04=0，N=x|xN=x|x2 2- -3x+m=0.3x+m=0. (1)(1)当当m=2m=2时，求时，求MN,MN.MN,MN. (2)(2)当当MN=MMN=M时，求
21、实数时，求实数m m的值的值. . 【解题指南解题指南】(1)(1)将将m=2m=2代入集合代入集合N N化简后再求交集、并集化简后再求交集、并集. . (2)(2)根据集合交集、并集运算性质求解根据集合交集、并集运算性质求解. . 【解析解析】由已知得由已知得M=2M=2， (1)(1)当当m=2m=2时，时，N=1N=1，22， 所以所以MN=2MN=2，MN=1MN=1，2.2. (2)(2)若若MN=MMN=M，则，则M M N N，2N,2N, 所以所以4 4- -6+m=06+m=0，m=2.m=2. 【典型例题典型例题】 1.1.某中学有一个数学、物理奥林匹克竞赛班某中学有一个数
22、学、物理奥林匹克竞赛班( (由所有参加数学由所有参加数学 奥林匹克竞赛和参加物理奥林匹克竞赛的同学组成奥林匹克竞赛和参加物理奥林匹克竞赛的同学组成) )共有共有4545人人. . 已知该班中有已知该班中有3232人参加了数学奥林匹克竞赛，有人参加了数学奥林匹克竞赛，有2828人参加了人参加了 物理奥林匹克竞赛，则该班同时参加数学和物理奥林匹克竞物理奥林匹克竞赛，则该班同时参加数学和物理奥林匹克竞 赛的有赛的有_人人. . 交集、并集的实际应用交集、并集的实际应用 2.2.为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测 绘队，需要绘队，需要2
23、424人参加测量，人参加测量，2020人参加计算，人参加计算，1616人参加绘图人参加绘图. .测测 绘队的成员中有许多同学是多面手，有绘队的成员中有许多同学是多面手，有8 8人既参加了测量又参人既参加了测量又参 加了计算，有加了计算，有6 6人既参加了测量又参加了绘图，有人既参加了测量又参加了绘图，有4 4人既参加人既参加 了计算又参加了绘图，另有一些人了计算又参加了绘图，另有一些人3 3项工作都参加了，请问这项工作都参加了，请问这 个测绘队至少有多少人？个测绘队至少有多少人？ 【解析解析】1.1.如图：如图： 设集合设集合A=A=x|xx|x是参加数学奥林匹克竞赛的同学，是参加数学奥林匹克
24、竞赛的同学， 集合集合B=B=x|xx|x是参加物理奥林匹克竞赛的同学，是参加物理奥林匹克竞赛的同学， 则则AB=AB=x|xx|x是全班同学，是全班同学， AB=AB=x|xx|x是既参加数学奥林匹克竞赛又参加物理奥林匹克是既参加数学奥林匹克竞赛又参加物理奥林匹克 竞赛的同学，竞赛的同学， 由题意知集合由题意知集合A A中有中有3232个元素，集合个元素，集合B B中有中有2828个元素，集合个元素，集合 ABAB中有中有4545个元素，所以个元素，所以ABAB中有中有32+2832+28- -45=1545=15个元素个元素. . 故既参加数学奥林匹克竞赛又参加物理奥林匹克竞赛的同学故既参
25、加数学奥林匹克竞赛又参加物理奥林匹克竞赛的同学 有有1515人人. . 答案：答案：1515 2.2.如图，不妨设参加计算的人数为集合如图，不妨设参加计算的人数为集合A A，参加测量的为集合，参加测量的为集合 B B，参加绘图的为集合，参加绘图的为集合C.C.设设3 3项工作都参加的人数为项工作都参加的人数为x x，则各个，则各个 集合之间的关系得到清晰表达集合之间的关系得到清晰表达. . 测绘队总人数为测绘队总人数为(10(10- -x)+(8x)+(8- -x)+(6x)+(6- -x)+4+6+8+x=42x)+4+6+8+x=42- -2x2x， 因为因为0 x60 x6，所以，所以3
26、0423042- -2x422x42， 即测绘队人数最少为即测绘队人数最少为3030人，此时人，此时x=6.x=6. 答：这个测绘队至少有答：这个测绘队至少有3030人人. . 【拓展提升拓展提升】解交集、并集的实际应用问题的方法技巧解交集、并集的实际应用问题的方法技巧 在解决有关集合交集、并集的实际应用问题时，常借助在解决有关集合交集、并集的实际应用问题时，常借助VennVenn 图来求解，一般步骤如下：图来求解，一般步骤如下： (1)(1)利用利用VennVenn图将集合间的关系直观地表示出来，即根据图将集合间的关系直观地表示出来，即根据VennVenn 图逐一把文字陈述的语句图逐一把文字
27、陈述的语句“翻译翻译”成数学符号语言成数学符号语言. . (2)(2)通过解方程和限制条件的运用解决问题通过解方程和限制条件的运用解决问题. . 【易错误区易错误区】集合交、并运算中的元素不清致误集合交、并运算中的元素不清致误 【典例典例】已知集合已知集合M=y|y=xM=y|y=x2 2- -4x+34x+3，xZxZ，N=y|y=N=y|y=- -x x2 2- -2x2x， xZxZ，则，则MN=( )MN=( ) A.A. B.0 C.B.0 C.- -1,0,1 D.0,11,0,1 D.0,1 【解析解析】选选B.B.y=xy=x2 2- -4x+3=(x4x+3=(x- -2)2
28、)2 2- -1 1， xZ xZ， M=M=- -1,0,3,8,15,1,0,3,8,15, ； y=y=- -x x2 2- -2x=2x=- -(x+1)(x+1)2 2+1+1， xZ xZ， N=1,0,N=1,0,- -3,3,- -8,8,- -15,15,.MN=0.MN=0，故选，故选B.B. 【类题试解类题试解】已知已知A=A=- -3 3，a a2 2，a+1a+1，B=aB=a- -3 3，2a2a- -1 1，a a2 2+1+1， 若若AB=AB=- -33，则，则a a的值为的值为( )( ) A.0 B.A.0 B.- -1 C.1 D.01 C.1 D.0或
29、或- -1 1 【解析解析】选选B.AB=B.AB=- -3,3,- -3B,3B,易知易知a a2 2+1+1- -3.3. 若若a a- -3=3=- -3 3，则，则a=0a=0，此时，此时A=A=- -3 3，0 0，11，B=B=- -3 3，- -1 1，11， 则则AB=AB=- -3 3，11- -33，与已知矛盾，与已知矛盾. . 若若2a2a- -1=1=- -3 3，则，则a=a=- -1 1， 此时此时A=A=- -3 3，1 1，00，B=B=- -4 4，- -3 3，22， 则则AB=AB=- -33满足要求，综上可知满足要求，综上可知a=a=- -1 1. .
30、【误区警示误区警示】 【防范措施防范措施】 认清集合的含义认清集合的含义 在进行集合交集、并集运算时，首先应弄清集合的属性，即在进行集合交集、并集运算时，首先应弄清集合的属性，即 由集合元素来确定集合是数集、点集还是其他集合由集合元素来确定集合是数集、点集还是其他集合, ,如本例中如本例中 M M，N N均为相应二次函数的值构成的集合均为相应二次函数的值构成的集合. . 1.1.下列关系下列关系QRQRRQRQ；ZNZNN N；QRQRRQRQ；QNQNN N中，中， 正确的个数是正确的个数是( )( ) A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4 【解析解析】选选C.C.只
31、有只有ZNZNN N是错误的，应是是错误的，应是ZNZNZ.Z. 2.2.若集合若集合A Ax|x|2 2x x11，B Bx|0 x|0 x x22，则集合，则集合ABAB ( )( ) A.x|A.x|1 1x x1 B.x|1 B.x|2 2x x11 C.x|C.x|2 2x x2 D.x|02 D.x|0 x x11 【解析解析】选选C.C.因为因为A Ax|x|2 2x x11，B Bx|0 x|0 x x22，所，所 以以ABABx|x|2 2x x22 3.3.已知集合已知集合A A1,2,41,2,4，B B2,4,62,4,6，则，则ABAB_._. 【解析解析】由条件得由
32、条件得ABAB1,2,4,61,2,4,6 答案：答案：1,2,4,61,2,4,6 4.4.如果如果A=A=- -1,0,11,0,1，集合，集合B=x|xB=x|x2 2- -x=0 x=0，则，则AB=_.AB=_. 【解析解析】B=0,1B=0,1，AB=0,1.AB=0,1. 答案：答案：0,10,1 5.5.已知集合已知集合A A1,2,31,2,3，B B22，m,4m,4，ABAB2,32,3， 则则m m_._. 【解析解析】ABAB2,32,3，3B3B，m m3.3. 答案：答案：3 3 6.6.已知集合已知集合A=x|xA=x|x2 2+px+q=0,B=x|x+px+q=0,B=x|x2 2- -pxpx- -2q=0,2q=0,且且AB=AB= - -11，求，求AB.AB. 【解析解析】因为因为AB=AB=- -11，所以，所以- -1A,1A,- -1B1B， 即即- -1 1是方程是方程x x2 2+px+q=0+px+q=0和和x x2 2- -pxpx- -2q=02q=0的解，的解， 所以所以 解得解得 所以所以A=A=- -1,1,- -2,B=2,B=- -1,4,1,4, 所以所以AB=AB=- -2,2,- -1,4.1,4. 2 2 1pq0 1p2q0 ， ， p3 q2 ， ，
