1、第三章 阶段复习课 【答案速填答案速填】f(a)f(a)f(b)0 f(b)0 x x轴轴 有零点有零点 实数实数x x 二分法二分法 x x轴交点轴交点 越来越慢越来越慢 爆炸式爆炸式 类型类型 一一 函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根 1.1.函数零点、方程的根、函数图象与函数零点、方程的根、函数图象与x x轴的交点之间的关系轴的交点之间的关系 方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点y=f(x)y=f(x) 有零点有零点. . 2.2.确定函数零点个数的方法确定函数零点个数的方法 (1)(1)解方程解方程
2、f(x)=0f(x)=0得几个解即函数有几个零点得几个解即函数有几个零点. . (2)(2)利用图象找利用图象找y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴的交点个数或转化成两个轴的交点个数或转化成两个 函数图象的交点个数函数图象的交点个数. . (3)(3)利用利用f(a)f(b)f(a)f(b)与与0 0的关系进行判断的关系进行判断. . 【典例典例1 1】定义在定义在R R上的奇函数上的奇函数f(x)f(x)满足：当满足：当x x0 0时，时， f(x)=2012f(x)=2012x x+log+log2012 2012x x，则函数 ，则函数f(x)f(x)的零点的个数为的零点的个
3、数为( )( ) A.1 B.2 C.3 D.2006A.1 B.2 C.3 D.2006 【解析解析】选选C.C.因为函数因为函数f(x)f(x)为为R R上的奇函数，所以上的奇函数，所以f(0)=0,f(0)=0, 因为因为 所以所以 所以，当所以，当x x0 0时，时，f(x)=2 012f(x)=2 012x x+log+log2 012 2 012x, x, 函数在区间函数在区间(0, )(0, )内存在零点，内存在零点， 又又f(x)f(x)在在(0(0，+)+)上为增函数，因此在上为增函数，因此在(0,+)(0,+)内有且仅有一内有且仅有一 个零点个零点. . 根据对称性可知函数
4、在根据对称性可知函数在( (- -,0),0)内有且仅有一个零点，从而函内有且仅有一个零点，从而函 数在数在R R上零点的个数为上零点的个数为3 3，故选，故选C.C. 1 2 012 2 012 1 log1,2 0121, 2 012 1 2 012 2 012 11 f()2 012log0, 2 0122 012 1 2 012 二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解(或函数的零点或函数的零点)的方法的方法 1.1.二分法求方程的近似解的步骤二分法求方程的近似解的步骤 (1)(1)构造函数，转化为求函数的零点构造函数，转化为求函数的零点. . (2)(2)明确精确度和函数的零点所在区
5、间明确精确度和函数的零点所在区间( (最好区间左、右端点相最好区间左、右端点相 差差1).1). (3)(3)利用二分法求函数的零点利用二分法求函数的零点. . (4)(4)归纳结论归纳结论. . 2.2.使用二分法的注意事项使用二分法的注意事项 (1)(1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间 的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合 条件，又使区间长度尽量小条件，又使区间长度尽量小. . (2)(2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间计算时注意依据
6、给定的精确度，及时检验计算所得的区间 是否满足精确度的要求是否满足精确度的要求. . (3)(3)二分法在具体使用时有一定的局限性二分法在具体使用时有一定的局限性. .首先二分法只能一首先二分法只能一 次求得一个零点，其次次求得一个零点，其次f(x)f(x)在在(a(a，b)b)内有不变号零点时，不内有不变号零点时，不 能用二分法求得能用二分法求得. . 【典例典例】设函数设函数f(x)=xf(x)=x3 3+3x+3x- -5 5，其图象在，其图象在( (- -,+),+)上是连续上是连续 不断的不断的. . 先求值：先求值：f(0)f(0)_，f(1)f(1)_，f(2)f(2)_， f(
7、3)f(3)_._. 所以所以f(x)f(x)在区间在区间_内存在一个零点内存在一个零点x x0 0，填下表，填下表， 结论：结论：x x0 0等于多少等于多少.(.(精确度精确度0.1)0.1) 区区 间间 中点中点m m f(m)f(m)符号符号 区间长度区间长度 【解析解析】f(0)f(0)5 5，f(1)f(1)1 1，f(2)f(2)9 9，f(3)f(3)31,31, 初始区间为初始区间为(1(1，2).2). |1.187 5|1.187 5- -1.125|=0.062 50.1,x1.125|=0.062 50.1,x0 0=1.125(=1.125(不唯一不唯一).). 区
8、区 间间 中点中点m m f(m)f(m)符号符号 区间长度区间长度 (1,2)(1,2) 1.51.5 + + 1 1 (1,1.5)(1,1.5) 1.251.25 + + 0.50.5 (1,1.25)(1,1.25) 1.1251.125 - - 0.250.25 (1.125,1.25)(1.125,1.25) 1.187 51.187 5 + + 0.1250.125 (1.125,1.187 5)(1.125,1.187 5) 1.156 251.156 25 + + 0.062 50.062 5 类型类型 二二 函数模型的建立函数模型的建立 建立函数模型要遵循的原则建立函数模型
9、要遵循的原则 (1)(1)简化原则简化原则. . 建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量， 尽量建立较低阶、较简便的模型尽量建立较低阶、较简便的模型. . (2)(2)可推演原则可推演原则. . 建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计 算和推理，且能推演出正确结果算和推理，且能推演出正确结果. . (3)(3)反映性原则反映性原则. . 建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型 具有“相似性”，所得
10、模型的解应具有说明现实问题的功能，具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能， 能回到具体研究对象中去解决问题能回到具体研究对象中去解决问题. . 【典例典例2 2】某地新建一个服装厂，从今年某地新建一个服装厂，从今年7 7月份开始投产，并月份开始投产，并 且前且前4 4个月的产量分别为个月的产量分别为1 1万件、万件、1.21.2万件、万件、1.31.3万件、万件、1.371.37万万 件件. .由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销 售情况良好，为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过售情况良好，为了推销员在推销产品时
11、，接收订单不至于过 多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，就多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，就 月份月份x x，产量，产量y y给出四种函数模型：给出四种函数模型：y=ax+b,y=axy=ax+b,y=ax2 2+bx+c+bx+c， y=a +b,y=aby=a +b,y=abx x+c,+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产 量？量？ x 【解析解析】由题知由题知A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37). 设模拟函数为
12、设模拟函数为y=ax+b,y=ax+b,将将B B，C C两点的坐标代入函数式，有两点的坐标代入函数式，有 解得解得 所以得所以得y=0.1x+1.y=0.1x+1. 此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月 上升上升1 0001 000件，这是不可能的件，这是不可能的. . 3ab1.3, 2ab1.2, a0.1, b1. 设设y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c，将，将A A，B B，C C三点代入，有三点代入，有 解得解得 所以所以y=y=- -0.05x0.05x2 2+0.35x+0.7.+0.35x+0.7.
13、由此法计算第由此法计算第4 4个月份产量为个月份产量为1.31.3万件，比实际产量少万件，比实际产量少700700件，件， 而且，由二次函数性质可知，产量自第而且，由二次函数性质可知，产量自第4 4个月份开始将每月下个月份开始将每月下 降降( (图象开口向下，对称轴图象开口向下，对称轴x=3.5)x=3.5)，不符合实际，不符合实际. . abc1, 4a2bc1.2, 9a3bc1.3, a0.05, b0.35, c0.7. 设设y=a +by=a +b，将，将A A，B B两点的坐标代入，有两点的坐标代入，有 解得解得 所以所以y=0.48 +0.52.y=0.48 +0.52. 把把x
14、=3x=3和和4 4代入，分别得到代入，分别得到y1.35y1.35和和1.481.48，与实际产量差距较大，与实际产量差距较大. . x ab1, 2ab1.2, a0.48, b0.52, x 设设y=aby=abx x+c+c，将，将A A，B B，C C三点的坐标代入，得三点的坐标代入，得 解得解得 所以所以y=y=- -0.80.80.50.5x x+1.4,+1.4, 把把x=4x=4代入得代入得y=y=- -0.80.80.50.54 4+1.4=1.35.+1.4=1.35. 2 3 abc1, abc1.2, abc1.3, a0.8, b0.5, c1.4. 比较上述四个模
15、拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要 考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. .经过筛选，以指经过筛选，以指 数函数模拟为最佳数函数模拟为最佳. .一是误差小，二是由于新建厂，开始随工一是误差小，二是由于新建厂，开始随工 人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升， 但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定， 而指数函数模型恰好反映了这样的趋势而指数函数模型恰好反映了这样的趋势.
16、.因此，选用因此，选用 y=y=- -0.80.80.50.5x x+1.4+1.4模拟比较接近客观实际模拟比较接近客观实际. . 类型类型 三三 函数与方程思想函数与方程思想 1.1.函数思想的实质：把某变化过程中的一些相互制约的变量函数思想的实质：把某变化过程中的一些相互制约的变量 用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最 后解决问题，这就是函数思想后解决问题，这就是函数思想. . 2.2.应用函数思想解题的两个步骤应用函数思想解题的两个步骤 (1)(1)由题目意思建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相由题目意思建立变量之间
17、的函数关系式，把问题转化为相 应的函数问题应的函数问题. . (2)(2)根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题. . 3.3.方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定 某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程( (或方程组或方程组) )，通，通 过解方程过解方程( (或方程组或方程组) )求出它们，这就是方程思想求出它们，这就是方程思想. . 【典例典例3 3】若函数若函数f(x)f(x)的零点与的零点与g(x)=4g(x)=4x x+2x
18、+2x- -2 2的零点之差的绝的零点之差的绝 对值不超过对值不超过0.250.25，则，则f(x)f(x)可以是可以是( )( ) A.f(x)=4xA.f(x)=4x- -1 B.f(x)=(x1 B.f(x)=(x- -1)1)2 2 C.f(x)=eC.f(x)=ex x- -1 D.f(x)=ln(x1 D.f(x)=ln(x- - ) ) 1 2 【解析解析】选选A.A.由由f(x)=4xf(x)=4x- -1=01=0得得, ,函数的零点为函数的零点为 由由 g(x)=4g(x)=4x x+2x+2x- -2 2得得,g(0)=,g(0)=- -1,g(1)=41,g(1)=4，
19、所以其零点在区间，所以其零点在区间(0,1)(0,1)内内. . 又又g( )=1g( )=1，故零点在区间，故零点在区间(0, )(0, )内，继续求得内，继续求得 所以所以g(x)=4g(x)=4x x+2x+2x- -2 2的零点在区间的零点在区间( )( )内，所以函数内，所以函数f(x)=4xf(x)=4x- -1 1 的零点与的零点与g(x)=4g(x)=4x x+2x+2x- -2 2的零点之差的绝对值不超过的零点之差的绝对值不超过0.25.0.25. 同理可得函数同理可得函数f(x)=(xf(x)=(x- -1)1)2 2,f(x)=e,f(x)=ex x- -1,f(x)=l
20、n(x1,f(x)=ln(x- - ) )的零点分的零点分 别为别为:1,0, :1,0, 通过验证，这三个函数的零点与通过验证，这三个函数的零点与g(x)=4g(x)=4x x+2x+2x- -2 2的零的零 点之差的绝对值都超过点之差的绝对值都超过0.250.25，故选项，故选项B B，C C，D D错误错误. . 1 4， 1 2 1 2 4 11 g( )420 42 ， 1 1 , 4 2 1 2 3 , 2 类型类型 四四 分类讨论思想分类讨论思想 1.1.需分类讨论的情形需分类讨论的情形:(1):(1)涉及的数学概念是分类定义的涉及的数学概念是分类定义的. . (2)(2)运用的
21、数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的. . (3)(3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能的求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能的.(4).(4)数学数学 问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结 果果.(5).(5)较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的 解题策略解题策略. . 2.2.分类讨论的步骤：分类讨论的步骤：(1)(1)确定讨论的对象以及被讨论对象的全确定讨论的对象以及被讨论对象的全 体体.(2).(2
22、)合理分类，统一标准，不重不漏合理分类，统一标准，不重不漏.(3).(3)逐段逐类讨论，逐段逐类讨论， 分级进行分级进行.(4).(4)归纳总结，得出整个题目的结论归纳总结，得出整个题目的结论. . 【典例典例4 4】试讨论函数试讨论函数f(x)=xf(x)=x2 2- -2|x|2|x|- -1 1- -a(aR)a(aR)的零点个数的零点个数. . 【解析解析】令令f(x)=0,f(x)=0,即即x x2 2- -2|x|2|x|- -1=a,1=a, 令令g(x)=xg(x)=x2 2- -2|x|2|x|- -1,h(x)=a,1,h(x)=a, 则问题转化为求函数则问题转化为求函数g
23、(x)g(x)与与h(x)h(x)交点的个数交点的个数. . 如图如图: : 当当aaa- -1 1时，时，g(x)g(x)的图象与直线的图象与直线h(x)=ah(x)=a有两个交点，有两个交点， 方程方程x x2 2- -2|x|2|x|- -1=a1=a有两个实根，故函数有两个实根，故函数f(x)f(x)有两个零点有两个零点. . 当当- -2a2a- -1 1时，时，g(x)g(x)的图象与直线的图象与直线h(x)=ah(x)=a有四个交点，方程有四个交点，方程 x x2 2- -2|x|2|x|- -1=a1=a有四个实根，故函数有四个实根，故函数f(x)f(x)有四个零点有四个零点.
24、 . 当当a=a=- -1 1时，时，g(x)g(x)的图象与直线的图象与直线h(x)=ah(x)=a有三个交点，方程有三个交点，方程 x x2 2- -2|x|2|x|- -1=a1=a有三个实根，故函数有三个实根，故函数f(x)f(x)有三个零点有三个零点. . 综上所述，当综上所述，当aaa- -1 1时，有时，有2 2个零点；个零点； 当当- -2a2a0,m1)m=0(m0,m1)有两个不同实数根，则有两个不同实数根，则m m的取值的取值 范围是范围是( )( ) A.m1 B.0m1 B.0m0 D.m2C.m0 D.m2 【解析解析】选选A.A.方程方程m mx x- -x x-
25、 -m=0m=0有两个不同实数根，等价于函数有两个不同实数根，等价于函数 y=my=mx x与与y=x+my=x+m的图象有两个不同的交点显然当的图象有两个不同的交点显然当m1m1时，如图时，如图 (1)(1)有两个不同交点有两个不同交点. .当当0m10m0f(0.1)=0.10， f(0.2)=0.2f(0.2)=0.2- -1 1- -lg0.2=0.2lg0.2=0.2- -lg20.lg20. f(0.3)=0.3f(0.3)=0.3- -1 1- -lg0.3=0.3lg0.3=0.3- -lg30.lg30. f(0.4)=0.4f(0.4)=0.4- -1 1- -lg0.4=
26、0.4lg0.4=0.4- -lg40.lg40. f(0.5)=0.5f(0.5)=0.5- -1 1- -lg0.5=0.5lg0.5=0.5- -lg50.lg50. 故必有一个根的区间是故必有一个根的区间是(0.1,0.2).(0.1,0.2). 5.5.函数函数f(x)=2(m+1)xf(x)=2(m+1)x2 2+4mx+2m+4mx+2m- -1 1的一个零点是的一个零点是0 0，则，则m m的值的值 为为_._. 【解析解析】由由f(0)=2mf(0)=2m- -1=01=0得得m=m= 答案：答案： 1 . 2 1 2 6.6.函数函数y=axy=ax2 2- -ax+3x+
27、1ax+3x+1的图象与的图象与x x轴有且只有一个交点，那么轴有且只有一个交点，那么a a 的值的集合为的值的集合为_._. 【解析解析】当当a a0 0时，时，y=3x+1y=3x+1的图象与的图象与x x轴只有一个交点；当轴只有一个交点；当 a0a0时，由时，由=(3=(3- -a)a)2 2- -4a=0,4a=0,得得a=1a=1或或9.9. 答案：答案：0,1,90,1,9 7.7.某商场出售一种商品，每天可卖某商场出售一种商品，每天可卖1 0001 000件，每件可获利件，每件可获利4 4 元据经验，若这种商品每件每降价元据经验，若这种商品每件每降价0.10.1元，则比降价前每天
28、可元，则比降价前每天可 多卖出多卖出100100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低多少元？件，为获得最好的经济效益每件单价应降低多少元？ 【解析解析】设每件降价设每件降价0.1x0.1x元，则每件获利元，则每件获利4 4- -0.1x0.1x元，每天卖元，每天卖 出商品件数为出商品件数为(1 000+100 x).(1 000+100 x). 经济效益：经济效益：y=(4y=(4- -0.1x)(1 000+100 x)0.1x)(1 000+100 x) = =- -10 x10 x2 2+300 x+4 000+300 x+4 000 = =- -10(x10(x- -15)15)2 2+6 250.+6 250. x=15x=15时，时，y=6 250.y=6 250. 即单价降低即单价降低1.51.5元，可获得最好的经济效益元，可获得最好的经济效益. .
