1、1.3.2 奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念 一、偶函数、奇函数的定义一、偶函数、奇函数的定义 1.1.偶函数：偶函数： x xAA f(f(- -x)=f(x)x)=f(x) 2.2.奇函数：奇函数： 思考：思考：对于定义在对于定义在R R上的函数上的函数f(x),f(x),若若f(f(3)=f(3),3)=f(3),则函数则函数f(x)f(x) 一定是偶函数吗一定是偶函数吗? ? 提示：提示：不一定不一定, ,仅有仅有f(f(3)=f(3)3)=f(3)不足以确定函数的奇偶性不足以确定函数的奇偶性, ,不不 满足定义中的满足定义中的“任意任意”, ,故不一定是偶函数故不一定是偶函数. .
2、 x xAA f(f(- -x)=x)=- -f(x)f(x) 二、偶函数、奇函数图象的特征二、偶函数、奇函数图象的特征 1.1.偶函数图象的特征：关于偶函数图象的特征：关于_轴对称轴对称; ; 2.2.奇函数图象的特征：关于奇函数图象的特征：关于_对称对称. . y y 原点原点 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称.( ).( ) (2)(2)若若f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,则则f(0)=0.( )f(0)=0.( ) (3)(
3、3)如果一个函数的图象关于原点对称，则有如果一个函数的图象关于原点对称，则有f(x)f(x)- -f(f(x)=0.x)=0. ( )( ) 提示：提示：(1)(1)正确正确. .因为函数因为函数f(x)=xf(x)=x2 2是偶函数，故图象关于是偶函数，故图象关于y y轴对轴对 称称. . (2)(2)正确正确.f(x).f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数，f(f(x)=x)=- -f(x)f(x)，即，即 f(f(0)=f(0)=0)=f(0)=- -f(0),f(0),所以所以f(0)=0.f(0)=0. (3)(3)错误错误. .因为函数的图象关于原点对称，则该函数是
4、奇函数，因为函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数， 故故f(f(x)=x)=- -f(x)f(x)，则有，则有f(x)+f(f(x)+f(x)=0.x)=0. 答案：答案：(1) (2) (3)(1) (2) (3) 【知识点拨知识点拨】 1.1.函数的奇偶性与单调性的区别函数的奇偶性与单调性的区别 (1)(1)奇偶性是反映函数在定义域上的对称性奇偶性是反映函数在定义域上的对称性, ,是相对于函数的整是相对于函数的整 个定义域来说的个定义域来说的, ,奇偶性是函数的奇偶性是函数的“整体整体”性质性质. . (2)(2)单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势单调性是反映函数在某一区间
5、上的函数值的变化趋势, ,此区此区 间是定义域的子集间是定义域的子集, ,因此单调性是函数的因此单调性是函数的“局部局部”性质性质. . 2.2.奇函数、偶函数在奇函数、偶函数在x=0 x=0处的定义处的定义 若奇函数若奇函数f(x)f(x)在原点处有意义，则由奇函数定义在原点处有意义，则由奇函数定义 f(f(0)=0)=f(0)f(0)，可得，可得f(0)=0f(0)=0，偶函数则不一定，偶函数则不一定. . 3.3.奇函数、偶函数的图象特征奇函数、偶函数的图象特征 (1)(1) (2)(2)由奇、偶函数的图象特征可知：偶函数在关于原点对称的由奇、偶函数的图象特征可知：偶函数在关于原点对称的
6、 区间上的单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上的单区间上的单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上的单 调性相同调性相同. . 类型类型 一一 判定函数的奇偶性判定函数的奇偶性 【典型例题典型例题】 1.1.设定义在设定义在R R上的函数上的函数f(x)= f(x)= 则则f(x)( )f(x)( ) A.A.是奇函数，又是增函数是奇函数，又是增函数 B.B.是偶函数，又是增函数是偶函数，又是增函数 C.C.是奇函数，又是减函数是奇函数，又是减函数 D.D.是偶函数，但不是减函数是偶函数，但不是减函数 x， 2.2.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 (1)y=x(1)y=x3 3+
7、 + (2)y=(2)y= (3)y=x(3)y=x4 4+x.+x. (4)(4) 1 . x 2x 11 2x. 2 2 x2,x0, y0,x0, x2,x0. 【解题探究解题探究】1.1.函数的定义域应具备怎样的特点，才讨论函函数的定义域应具备怎样的特点，才讨论函 数的奇偶性？数的奇偶性？ 2.2.判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？ 探究提示：探究提示： 1.1.函数的定义域必须关于原点对称函数的定义域必须关于原点对称. . 2.2.把握好两个关键点，一是看定义域是否关于原点对称，二把握好两个关键点，一是看定义域是否关于原点对称，二 看看f(x
8、)f(x)与与f(f(x)x)的关系的关系. . 【解析解析】1.1.选选D.D.定义域关于原点对称，且定义域关于原点对称，且f(f(x)=|x)=|x|= x|= |x|=f(x)|x|=f(x)，所以是偶函数，但是它既有减区间也有增区间，所以是偶函数，但是它既有减区间也有增区间， 故不是减函数故不是减函数. . 2.(1)2.(1)定义域定义域( (,0)(0,+),0)(0,+)关于原点对称，且关于原点对称，且f(f(x)=x)= f(x)f(x)，奇函数，奇函数. . (2)(2)定义域为定义域为 ，不关于原点对称，该函数不具有奇偶性，不关于原点对称，该函数不具有奇偶性. . (3)(
9、3)定义域为定义域为R R，关于原点对称，但，关于原点对称，但f(f(x)=xx)=x4 4xxxx4 4+x+x， f(f(x)=xx)=x4 4xx(x(x4 4+x)+x)，故其不具有奇偶性，故其不具有奇偶性. . (4)(4)方法一：定义域为方法一：定义域为R R，关于原点对称，当，关于原点对称，当x0 x0时，时， f(f(x)=x)=( (x)x)2 22=2=(x(x2 2+2)=+2)=f(x)f(x)； 当当x0 x0时，时，f(f(x)=(x)=(x)x)2 2+2=+2=( (x x2 22)=2)=f(x)f(x)； 当当x=0 x=0时，时，f(0)=0f(0)=0；
10、故该函数为奇函数；故该函数为奇函数. . 1 2 方法二：画出函数图象如下方法二：画出函数图象如下: : 由图象关于原点对称知为奇函数由图象关于原点对称知为奇函数. . 【拓展提升拓展提升】 1.1.判断函数奇偶性的两个方法判断函数奇偶性的两个方法 方法一方法一, ,定义法定义法: :利用函数奇偶性的定义判断利用函数奇偶性的定义判断. . 方法二方法二, ,图象法图象法: :利用奇、偶函数图象的对称性来判断利用奇、偶函数图象的对称性来判断. . 2.2.定义法判断函数奇偶性的步骤定义法判断函数奇偶性的步骤 (1)(1)首先看定义域是否关于原点对称首先看定义域是否关于原点对称. . (2)(2)
11、判定判定f(x)f(x)与与f(f(x)x)的关系的关系. . (3)(3)利用定义下结论利用定义下结论. . 【变式训练变式训练】函数函数y=x|x|+pxy=x|x|+px，xRxR是是( )( ) A.A.偶函数偶函数 B.B.奇函数奇函数 C.C.非奇非偶函数非奇非偶函数 D.D.与与p p有关有关 【解析解析】选选B.B.由题意定义域关于原点对称，由题意定义域关于原点对称， f(f(x)=x)=x|x|x|+p(x|+p(x)=x)=x|x|x|x|px=px=f(x)f(x)，所以是奇函数，所以是奇函数. . 类型类型 二二 利用奇函数、偶函数图象的对称性解题利用奇函数、偶函数图象
12、的对称性解题 【典型例题典型例题】 1.1.已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)是偶函数，其图象与是偶函数，其图象与x x轴有轴有4 4个交点，则方个交点，则方 程程f(x)=0f(x)=0的所有实根之和是的所有实根之和是( )( ) A.0 B.1 C.2 D.4A.0 B.1 C.2 D.4 2.2.如果奇函数如果奇函数f(x)f(x)在区间在区间5,5,3 3上是增函数，且最大值上是增函数，且最大值 为为- -4 4，那么，那么f(x)f(x)在区间在区间3,53,5上是上是( )( ) A.A.增函数且最大值为增函数且最大值为4 B.4 B.增函数且最小值为增函数且最小值为4 4
13、C.C.减函数且最大值为减函数且最大值为4 D.4 D.减函数且最小值为减函数且最小值为4 4 【解题探究解题探究】1.1.奇函数、偶函数的图象各具有怎样的特征？奇函数、偶函数的图象各具有怎样的特征？ 2.2.奇函数在对称区间内的单调性和最值有什么关系？奇函数在对称区间内的单调性和最值有什么关系？ 探究提示：探究提示： 1.(1)1.(1)函数是奇函数函数是奇函数函数的图象是以坐标原点为对称中心的函数的图象是以坐标原点为对称中心的 对称图形对称图形, ,即图象关于原点对称即图象关于原点对称. . (2)(2)函数是偶函数函数是偶函数函数的图象是以函数的图象是以y y轴为对称轴的对称图轴为对称轴
14、的对称图 形，即图象关于形，即图象关于y y轴对称轴对称. . 2.2.奇函数在对称区间内具有相同的单调性，且最值互为相反数奇函数在对称区间内具有相同的单调性，且最值互为相反数. . 【解析解析】1.1.选选A.A.偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称，轴对称，f(x)f(x)图象与图象与x x轴轴 的的4 4个交点也关于个交点也关于y y轴对称，所以轴对称，所以f(x)=0f(x)=0的的4 4个根的和为个根的和为0.0. 2.2.选选B.B.作一个符合条件的图象，如下：作一个符合条件的图象，如下： 由图象知，由图象知，f(x)f(x)在区间在区间3,53,5上是增函数且最小值为上是
15、增函数且最小值为4.4. 【拓展提升拓展提升】奇、偶函数图象对称性的两大应用奇、偶函数图象对称性的两大应用 应用一应用一: :巧作函数图象巧作函数图象 奇函数图象关于原点对称奇函数图象关于原点对称; ;偶函数图象关于偶函数图象关于y y轴对称轴对称. . 根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇偶根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇偶 函数在某区间的部分图象函数在某区间的部分图象, ,画出其关于原点或画出其关于原点或y y 轴对称的另一轴对称的另一 部分的图象问题部分的图象问题. . 应用二应用二: :求函数最值、单调性问题求函数最值、单调性问题 函数的奇偶性反映到图象上是
16、图象的对称性函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性, ,可以利用图象解可以利用图象解 决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题, ,也可以解决关也可以解决关 于原点对称的区间上的函数的单调性问题于原点对称的区间上的函数的单调性问题, ,同时可以简化解题同时可以简化解题 过程过程. . 【变式训练变式训练】已知已知y=f(x+1)y=f(x+1)是偶函数，则函数是偶函数，则函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象 的对称轴是的对称轴是( )( ) A.x=1 B.x=A.x=1 B.x=1 1 C.x=C.x=2 D.y2 D.y轴轴 【解析解析】选选A.
17、y=f(x+1)A.y=f(x+1)是偶函数，其图象关于是偶函数，其图象关于y y轴对称，而轴对称，而 y=f(x+1)y=f(x+1)的图象是由的图象是由y=f(x)y=f(x)的图象向左平移的图象向左平移1 1个单位得到的，个单位得到的， 所以所以y=f(x)y=f(x)的图象关于的图象关于x=1x=1对称对称. . 类型类型 三三 利用函数的奇偶性求参数值利用函数的奇偶性求参数值 【典型例题典型例题】 1.1.若函数若函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+3a+b+bx+3a+b是偶函数，定义域为是偶函数，定义域为a a- -1,2a1,2a, , 则则a=_a=_，b=_.b=
18、_. 2.2.已知函数已知函数 (a,b,cZ)(a,b,cZ)是奇函数，又是奇函数，又f(1)=2f(1)=2， f(2)3f(2)3求求a,b,ca,b,c的值的值. . 2 ax1 f x bxc 【解题探究解题探究】1.1.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c为偶函数的条件是什么？为偶函数的条件是什么？ 2.2.一次函数一次函数y=ax+by=ax+b为奇函数的条件是什么为奇函数的条件是什么? ? 探究提示：探究提示： 1.1.若二次函数若二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c为偶函数为偶函数, ,图象关于图象关于y y轴对称轴对称, ,则则b=0,
19、b=0, a0, cR.a0, cR. 2.2.若一次函数若一次函数y=ax+by=ax+b为奇函数，图象过原点，则为奇函数，图象过原点，则a0, b=0.a0, b=0. 【解析解析】1.1.因为定义域为因为定义域为a a- -1,2a1,2a关于原点对称，关于原点对称， 所以所以a a- -1+2a=01+2a=0，所以，所以a=a= 又因为又因为f(f(- -x)=f(x)x)=f(x)， 所以所以 x x2 2- -bx+1+b= xbx+1+b= x2 2+bx+1+b,+bx+1+b, 由对应项系数相等得，由对应项系数相等得，- -b=bb=b，所以，所以b=0.b=0. 答案答案
20、: : 0 0 1 . 3 1 3 1 3 1 3 2.2.函数函数 (a,b,cZ)(a,b,cZ)是奇函数，是奇函数， f(f(x)=x)=f(x)f(x)，即，即 bx+c=bx+c=bxbxc c，c c0 0f(x)f(x) 又又f(1)=2f(1)=2，故，故 2 2 而而f(2)3f(2)3，即，即 即即 1a21a2 又由于又由于aZaZ，a a0 0或或a a1 1 当当a a0 0时，时，b b ( (舍舍) )；当；当a a1 1时，时，b b1 1 综上可知，综上可知，a ab b1 1，c c0.0. 2 ax1 f x bxc 22 ax1ax1 bxcbxc ，
21、2 ax1 bx a1 b 4a1 3 2b ， 4a1 3 a1 ， 1 2 【互动探究互动探究】若将题若将题2 2中奇函数改为偶函数，中奇函数改为偶函数，f(2)3f(2)3改为改为 f(2)6f(2)6，求，求a,b,ca,b,c的值的值. . 【解析解析】函数函数 (a,b,cZ)(a,b,cZ)是偶函数，是偶函数， f(f(x)=f(x)x)=f(x)，故，故 即即bx+c=bx+cbx+c=bx+c，故，故b=0b=0， f(x)= f(x)= 又又f(1)=2f(1)=2， =2=2，c= c= 代入代入f(2)6f(2)6得，得， 解得解得1a21a0 B.f(x)x)0 B.
22、f(x)- -f(f(- -x)0 x)0 C.f(x)f(C.f(x)f(- -x)0 D.f(x)f(x)0 D.f(x)f(- -x)0 x)0 【解析解析】选选C.C.奇函数满足奇函数满足f(f(x)=x)=f(x)f(x)， 所以所以f(f(x)x)f(x)0.f(x)0. 2.y=f(x)(xR)2.y=f(x)(xR)是奇函数，则它的图象经过点是奇函数，则它的图象经过点( )( ) A.(A.(a,a,f(f(a) B.(a) B.(- -a,f(a)a,f(a) C.(a,f( ) D.(C.(a,f( ) D.(a,a,f(a)f(a) 【解析解析】选选D.y=f(x)(xR
23、)D.y=f(x)(xR)是奇函数，则它的图象经过是奇函数，则它的图象经过 ( (a,f(a,f(a)a)，又，又f(f(a)=a)=f(a)f(a)，所以函数图象过，所以函数图象过 ( (a,a,f(a).f(a). 1 a 3.3.设函数设函数f(x)(xR)f(x)(xR)为奇函数，为奇函数，x0 x0时，时，f(x)=f(x)=x x，则，则f(f(1)1) 等于等于( )( ) A.0 B.1 C. D.5A.0 B.1 C. D.5 【解析解析】选选B.f(B.f(1)=1)=f(1)=f(1)=( (1)=1.1)=1. 5 2 4.4.偶函数偶函数f(x)f(x)的定义域为的定
24、义域为t t4,t4,t，则，则t=_.t=_. 【解析解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 (t(t4)+t=04)+t=0，即，即t=2.t=2. 答案：答案：2 2 5.5.函数函数 为为_(_(填“奇函数”或填“奇函数”或 “偶函数”“偶函数”).). 【解析解析】定义域关于原点对称，且定义域关于原点对称，且 所以是奇函数所以是奇函数. . 答案：答案：奇函数奇函数 x 1x ,x0 f x x 1x ,x0 x 1x ,x0 x 1x ,x0 fx f x x 1 x ,x0 x 1 x ,x0 ， 6.6.已知函数已知函数f(x)=xf(x
25、)=x2 2+4x+3,+4x+3,若若g(x)=f(x)+cxg(x)=f(x)+cx为偶函数为偶函数, ,求求c.c. 【解析解析】由已知得由已知得g(x)=f(x)+cx=xg(x)=f(x)+cx=x2 2+(4+c)x+3+(4+c)x+3， 所以所以g(g(- -x)=(x)=(- -x)x)2 2+(4+c)(+(4+c)(- -x)+3=xx)+3=x2 2- -(4+c)x+3.(4+c)x+3. 因为因为g(x)g(x)是偶函数是偶函数, ,所以所以g(g(- -x)=g(x)x)=g(x)， 所以所以2(4+c)x=0.2(4+c)x=0.因为因为x x是任意实数是任意实数, ,所以所以4+c=04+c=0得得c=c=- -4.4.
