1、 - 1 - 鲁山一高高二年级上学期第一次月考试题（文科数学） 第 I卷（选择题 共 60分） 选择题（本大题共有 12 个小题，每小题 5分） 1. 不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A . 2. 已知命题 ，则命题 的真假及 依次为 ( ) A. 真； B. 真； C. 假； D. 假； 【答案】 B 【解析】当 时， ，故命题 为真命题； ， . 故选： B 3. 各项为正的等比数列 中 , 与 的等比中 项为 ,则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：由题意可知 考点：等比数列性质 4. 方程 表示椭圆的必要不充分条件是（ ）
2、A. m （ 1， 2） B. m （ 4， 2） C. m （ 4， 1） （ 1， 2） D. m（ 1， + ） 【答案】 B - 2 - 【解析】方程 表示椭圆的充要条件是 ，即 ，因为 ，所以方程 表示椭圆的必要不充分条件是；故选 B. 5. 实数 满足 ，则 的最小值是（ ） A. -3 B. -4 C. 6 D. -6 【答案】 B 【解析】试题分析： 满足的区域如图所示：设 ，当经过图中的 时最小，由得 ，所以 的最小值为 ，故选 B. 考点：简单的线性规划；恒成立问题 . 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值问题，属简单题 .求目标函数最值的一般步骤是
3、 “ 一画、二移、三求 ” ：（ 1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（ 2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（ 3）将最优解坐标代入 目标函数求出最值 . 6. 已知圆 O： ，从这个圆上任意一点 P向 y轴作垂线段 （ 在 y轴上）， M在直线 上且 ，则动点 M的轨迹方程是 ( ) - 3 - A. 4x2+16y2=1 B. 16x2+4y2=1 C. D. 【答案】 B 【解析】设 ,则由 得 ,因为 所以,即 ,选 D. 7. 如图，一货轮航行到 处，测得灯塔 在货轮的北偏东 ，与灯塔 相距 ，随后货轮按
4、北偏西 的方向航行 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题意 ， ，由正弦定理得，所以 ，速度为 ，故选B 8. 已知 是锐角三角形，若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由题意得，在 中，由正弦定理可得 ，又因为 ，所以 ，又因为锐角三角形，所以 所以故选 A 9. 设直线 与两坐标轴围成的三角形面积为 ，则（ ） A. B. C. D. - 4 - 【答案】 A 【解析】分别令 x=0和 y=0,得到直线 nx+(n+1)y= (n N?)与两坐标轴的交点： ( ,0),(0, )，则 =
5、 ? ? = = ? 然后分别代入 1， 2， ? ， 2017， 则有 .故答案为： A. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列， c为常数 )的数列 . 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和 (如本例 )，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 . 10. 已知函数 f（ x） =|lgx|.若 00， 0，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是_ 【答案】 【解析】因 ， 即 ，故 ，应填答案 15. 关于 x的方程 在 内有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 _ 【答案】
6、 k0,1 ） 【解析】 ， 又 ， ， . ,即 k 0,1） 点睛： 对于方程解的个数 (或函数零点个数 )问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 16. 对于数列 ，定义 为 的 “ 优值 ” ，现在已知某数列 的 “ 优值 ” ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的最大值为 _ 【答案】 【解析】由题设可知 ， 则，以上两式两边相减可得，即 ，故 ，则- 7 - ，由题意 ，即 ，应填答案 。 点睛：解答本题关键是
7、充分借助题设中新定义的 “ 好值 ” 的概念，借助题设条件得到，再运用数列通项之间的递推关系建立方程 ，即，从而求得 ，进而借助题设中的 ，建立不等式组 ，即 ，通过解不等式组使得问题获解。 三、解答题（本大题共 6题，共 70分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在 中，角 的对边分别为 ，且 （ 1）求角 B的大小； （ 2）若不等式 的解集是 ，求 的周长 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】试题 分析：（ 1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系：，再根据两角和正弦公式及诱导公式得 ，即，最后根据三角形内角范围得角 B的大小；（ 2）由二次方程根与对应二次不等式
8、解集关系得 a、 c是方程 的两根 ，由韦达定理得 ， ， 最后利用余弦定理求 b,即得 的周长 试题解析：（ 1）由 得 , 即 ，得 即 ， 得 ， 又 ，于是 （ 2）依题意 a、 c是方程 的两根 ， 由余弦定理得 ， 求 的周长为 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的 .其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 . - 8 - 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 . 第三步：求结果 . 18. 已知命题 ：
9、方程 表示椭圆，命题 ： ， . （ 1）若命题 为真，求实数 的取值范围； （ 2）若 为真， 为真，求实数 的取值范围 . 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】试题分析：（ 1）命题 为真，就是对应不等式有解， m=0时恒成立， 时结合二次函数图像列条件解得实数 的取值范围；本题也可利用参变分离法求解 （ 2）先根据椭圆标准方程分母符号得 的取值范围，再根据 为真， 为真，得 为假，解不等式得实数的取值范围 . 试题解析：（ ） 命题 为真， 当 时， ； 当 时，不等式恒成立 .综上， . （ ）若 为真，则 ， . 若 为真， 为真， 为假 19. 在 中，点 为 边上一点，且 为 的
10、中点， （ 1）求 ； （ 2）求 及 的长 【答案】（ 1） （ 2） AD=2， 【解析】试题分析： (1)借助题设条件运用两角和的正弦公式求解； (2)依据题设运用正弦定理余弦定理建立方程进行探求 . 试题解析： （ 1）在 中，因为 ， ，所以 ， 即 ，所以 ， 即 （ 2）由正弦定理 ，得 ， - 9 - 依题意得 ，在 中，由余弦定理得 ， 即 ，所以 ，解得 （负值舍去） 考点：两角和的正弦及正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用 20. 已知函数 ，函数 在 上的零点按从小到大的顺序构成数列 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设 ，求 数列 的前 项和 【答案】（ 1） （
11、 2） 【解析】试题分析：（ 1）先根据二倍角公式以及同角三角函数关系化简函数 得 ，再解三角方程 得 ，即得数列 是首项 ，公差 的等差数列，根据等差数列通项公式求得数列 的通项公式；（ 2）化简 为 ， 利用裂项相消法求数列 的前 项和 试题解析： （ ） ， 由 及 得 ，数列 是首项 ，公差 的等差数列，所以 （ ） ， 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形 如 (其中 是各项均不为零的等差数列， c为常数 )的数列 . 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和 (如本例 )，还有一类隔一项的裂项求和，如 或
12、 . - 10 - 21. 某货轮匀速行驶在相距 300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为 0.5），其他费用为每小时 800元，且该货轮的最大航行速度为 50海里 /小时 （ 1）请将从甲地到乙地的运输成本 （元）表示为航行速度 （海里 /小时）的函数； （ 2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮 应以多大的航行速度行驶？ 【答案】（ 1） （ 2） 40 【解析】试题分析：（ 1）运输成本由燃料费用和其他费用组成每小时的燃料费用为 , 其他费用为每小时 800元，一共花费 小时，注意列定义域，（ 2
13、）根据基本不等式求最值，注意等于号取法 . 试题解析：解：（ 1）由题意，每小时的燃料费用为 ，从甲地到乙地所用的时间为 小时，则从甲地到乙地的运输成本 ， 故所求的函数为 （ 2）由（ 1）得 ， 当且仅当 ，即 时取等号 故当货轮航行速度为 40海里 /小时时，能使该货轮运输成本最少 22. 已知正项数列 的前 项和为 ，数列 满足， （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数 ，都有 成立； （ 3）数列 满足 ，它的前 项和为 ，若存在正整数 ，使得不等式成立，求实数 的取值范围 【答案】（ 1） （ 2）见解析（ 3） 【解析】试题分析：（ 1） ，当 时， ，两式相减求得 ；（ 2） ，利用放缩法和裂项求和法求得 ；（ 3） 是一个等差数列乘以一个等比数列，所以利用错位相减法求得 ，原
