1、 1 2017-1018 学年度第一学期高二年级第一次月考理科数学试卷 一、选择题（每题 5分，共 60分） 1.已知集合 A=x|x1， B=x| ，则 A B C D 2.已知集合 A= ， B= ，则 A B中元素的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 3.函数 在 单调递减，且为奇函数若 ，则满足 的的取值范围是 A B C D 4.设 x、 y、 z为正数，且 ，则 A 2x3y5z B 5z2x3y C 3y5z2x D 3y2x5z 5.已知双曲线 a2x2 b2y2 1(a 0， b 0)的 一个焦点为 F(2， 0)，且双曲线的渐近线与圆 (x2)2 y2 3相切，则双曲线
2、的方程为 A. 9x2 13y2 1 B.13x2 9y2 1 C. 3x2 y2 1 D.x2 3y2 1 6.记 为等差数列 的前 项和若 ， ，则 的公差为 A 1 B 2 C 4 D 8 7.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯 A 1盏 B 3盏 C 5盏 D 9盏 8.若 ，且 ，则下列不等式成立的是 A B C D 2 9.在 中，若 ，三角形的面积 ，则三角形外接圆的半径为 10.已知 m、 n、 m n成等
3、差数列， m、 n、 mn成等比数列，则椭圆 mx2 ny2 1的离心率为 A.21B.33C.22D.2311.已知点 P是椭圆 45x2 20y2 1在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直若点 P到直线 4x 3y 2m 1 0的距离不大于 3，则实数 m的取值范围是 A 7,8 B 29， 221 C 2,2 D (， 7 8， ) 12.过双曲线 的右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 ，两点，与双曲线的渐进线交于 ， 两点，若 ，则双曲线离心率的取值范围为 A B C D二、 填空题 (每题 5分，共 20分） 13.设 x， y满足约束条件 ，则 的最小值为 . 14.在 AB
4、C中， C 60， a， b， c分别为角 A， B， C的对边，则 b ca c ab _ 15.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 。 16.已知 a R，函数 在区间 1， 4上的最大值是 5，则 的取值范围是 _ 3 三、解答题（解答应写出必要的文字说明和推理过程） 17.（ 10分）在 中，三内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且 ， 为 的面积，求 的最大值 . 18.（ 12分）已知椭圆 C的左、右焦点坐标分别是 (， 0)， (， 0)，离心率是 36，直经 y t与椭圆 C 交于不同的两点 M、 N，以线段 MN 为直径作圆 P，圆心为 P.(1)求椭圆 C 的方程；(2)
5、若圆 P与 x轴相切，求圆心 P的坐标 19.（ 12 分）设 是双曲线 上任意一点， 点是关于实轴的对称点。 的左右顶点分别是 ，直线 与 相交于点。（）求 点的轨迹方程；（）设 是中不平行于对称轴的一条线， 是的中点， 是坐标原点，求直线 的斜率与直线 的斜率的积。 20.（ 12 分）中心在原点 O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线 x y 1交于 A、 B两点， M为 AB的中点，直线 OM 的斜率为 22，且 OA OB，求椭圆的方程 21.（ 12 分）已知点 ，点 是圆 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 （）求点 的轨迹方程； （）若直线 与点 的轨迹有两个不同的交点 和
6、 ，且原点 总在以 为直径的圆的内部，求实数 的取值范围 22.（ 12 分）已知数列 是各项均不为 的等差数列，公差为 ， 为其前 项和，且满足 ， 数列 满足 ， 为数列 的前 n 项和 （）求 、 和 ； （）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； 4 （）是否存在正整数 ，使得 成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由 1.已知集合 A=x|x1， B=x| ，则 A B C D 【答案】 A 2.已知集合 A= ， B= ，则 A B中元素的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 【答案】 B 3.函数 在 单调递减，且为奇函数若 ，则满足 的的取值范围是
7、A B C D 【答案】 D 4.设 x、 y、 z为正数，且 ，则 A 2x3y5z B 5z2x3y C 3y5z2x D 3y2x5z 【答案】 D 5.已知双曲线 a2x2 b2y2 1(a 0， b 0)的一个焦点为 F(2， 0)，且双曲线的渐近线与圆 (x2)2 y2 3相切，则 双曲线的方程为 ( ) A. 9x2 13y2 1 B.13x2 9y2 1 C.3x2 y2 1 D.x2 3y2 1【答案】 D 6.记 为等差数列 的前 项和若 ， ，则 的公差为 A 1 B 2 C 4 D 8 【答案】 C 7.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍
8、加增，共5 灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A 1盏 B 3盏 C 5盏 D 9盏 【答案】 B 8.若 ，且 ，则下列不等式成立的是 （ A） （ B） （ C） （ D） 【答案】 B 9.在 中，若 ，三角形的面积 ，则三角形外接圆的半径为 【答案】 B 10.已知 m、 n、 m n成 等差数列， m、 n、 mn成等比数列，则椭圆 mx2 ny2 1的离心率为 ( ) A.21B.33C.22D.23答案 C 11.已知点 P是椭圆 45x2 20y2 1在第三象限内一点，且
9、它与两焦点连线互相 垂直若点 P到直线 4x 3y 2m 1 0的距离不大于 3，则实数 m的取值范围是 ( ) A 7,8 B 29， 221 C 2,2 D (， 7 8， ) 答案 A 12.过双曲线 的右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 ，6 两点，与双曲线的渐进线交于 ， 两点，若 ，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A B C D 【答案】 B 13.设 x， y满足约束条件 ，则 的最小值为 . 【答案】 14.在 ABC中， C 60， a， b， c分别为角 A， B， C的对边，则 b ca c ab _ 【答案】 1 15.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 。 【答
10、案】 16.已知 R，函数 在区间 1， 4上的最大值是 5，则 的取值范围是 _ 【答案】 17.在 中，三内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且 ， ，为 的面积，求 的最大值 . 解 ， ， ， 7 设 外接圆的半径为 ，则 ， ， ，故 的最大值为 18.已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 (， 0)， (， 0)，离心率是 36，直经 y t 与椭圆 C交于不同的两点 M、 N，以线段 MN 为直径作圆 P，圆心为 P. (1)求椭圆 C的方程； (2)若圆 P与 x轴相切，求圆心 P的坐标 解析 (1) ac 36且 c， a， b 1. 椭圆 c的方程为 3x2 y2 1. (
11、2)由题意知点 P(0， t)( 1t1)， 由 y2 1x2得 x 圆 P的半径为， 又圆 P与 x轴相切， |t|，解得 t 23， 故 P点坐标为 23. 19.设 是双曲线 上任意一点， 点是关于实轴的对称点。 的左右顶点分别是 ，直线 与 相交于点。（）求 点的轨迹方程；（）设 是中不平行于对称轴的一条线， 是的中点， 是坐标原点，求直线 的斜率与直线 的斜率的积。 答案：（ 1） ；（ 2） . 8 20.中心在原点 O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线 x y 1交于 A、 B两点， M为 AB的中点，直线 OM 的斜率为 22，且 OA OB，求椭圆的方程 解析 设 A(x1， y1
12、)， B(x2， y2), M( 2x1 x2， 2y1 y2)由 ax2 by2 1，x y 1， (a b)x2 2bx b 1 0. 2x1 x2 a bb， 2y1 y2 1 2x1 x2 a ba. M(a bb， a ba)， kOM 22， b a. OA OB， x1y1 x2y2 1， x1x2 y1y2 0. x1x2 a bb 1， y1y2 (1 x1)(1 x2) 1 (x1 x2) x1x2 1 a b2b a bb 1 a ba 1. a bb 1 a ba 1 0， a b 2. 由得 a 2( 1)， b 2(2 ) 所求方程为 2( 1)x2 2(2 )y2
13、 1. 21.已知点 ，点 是圆 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 （）求点 的轨迹方程； （）若直线 与点 的轨迹有两个不同的交点 和 ，且原点 总在以 为直径的圆的内部，求实数 的取值范围 （） （）设 ， ，则将直线与椭圆的方程联立得： ，消去 ，得： ， ， ? 9 ， ? 6分 原点 总在以 为直径的圆的内部 即 ? 7分 而 ? 9分 即 ，且满足式 的取值范围是 ? 12分 22.已知数列 是各项均不为 的等差数列， 公差为 ， 为其前 项和，且满足， 数列 满足 ， 为数列 的前 n项和 （ 1）求 、 和 ； （ 2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值
14、范围； （ 3）是否存在正整数 ，使得 成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由 解：（ 1）（法一）在 中，令 ， ， 得 即 解得 ， ， ， 10 （法二） 是等差数列， 由 ，得 ， 又 ， ， 则 ( 求法同法一 ) （ 2）当 为偶数时，要使不等式 恒成立，即需不等式恒成立 ，等号在 时取得 此时 需满足 当 为奇数时，要使不等式 恒成立，即需不等式恒成立 是随 的增大而增大， 时取得最小值 此时 需满足 综合、可得 的取值范围是 （ 3） ， 若 成等比数列，则，即 （法一）由 ， 可得 ，即 ， 又，且 ，所以 ，此时 因此，当且仅当 ， 时， 数列中的 成等 比数列 （法二）因为 ，故 ，即 ， ，（以下同上）
