1、4.1一元二次方程11.理解一元二次方程的概念理解一元二次方程的概念.难点难点2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题题.(重点重点学习目标学习目标复习引入没有未知数1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8924xx-518代数式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程导入新课导入新课2.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫作方程.我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程组及分式方程，其中前两种方程是整式方程.3.什么叫一元
2、一次方程？含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程.想一想：什么叫一元二次方程呢？一元二次方程的相关概念问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？解：如果设所求的宽为 x m,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：(8-2x)(5-2x)xx(8 2x)xx(5 2x)(8-2x)5-2x=18.化简：化简：2x2-13x+11=0.该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？知识知识点点讲授新课讲授新课问题2：观察下面等式：102+
3、112+122=132+142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：,.根据题意，可得方程：x+1x+2x+3x+4x2+(x+1)2+(x+2)2 =(x+3)2+(x+4)2.化简得化简得，x2-8x-200.该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙m.如果设梯子底端滑动x m,那么滑动后梯子底端距墙 m,根据题意，可得方程：问题3：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑
4、动多少米？6x+672+(x+6)2 =102.化简得化简得，x2+12 x-15=0.10m8m1mxm该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？2x2-13x+11=0；x2-8x-200；x2+12 x-15=0.1.只含有一个未知数;2.未知数的最高次数是2;3.整式方程 观察与思考方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:只含有一个未知数只含有一个未知数,并且整理后未知数的并且整理后未知数的最高次数是最高次数是2的的整式方程整式方程,叫作一元二次方程叫作一元二次方程.ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a0)ax2 称为二次项,a
5、 称为二次项系数.bx 称为一次项,b 称为一次项系数.c 称为常数项.知识要点u一元二次方程的概念一元二次方程的概念 u一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a0，b、c 可以为零吗？当 a=0 时bxc=0 当 a 0，b=0时，ax2c=0 当 a 0，c=0时，ax2bx=0 当 a 0，b=c=0时，ax2=0 总结：只要满足a 0，b，c 可以为任意实数.典例精析222221A.0B.350C.(1)(2)0D.0 xxxyyxxxaxbxc例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数化简整理成
6、x2-3x+2=0少了限制条件a0提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.判断以下方程是否为一元二次方程？判断以下方程是否为一元二次方程？212(4)0 xx (2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0 63)6(2x22)32(14)7(xx062)(8(2xx (1)x2+x=36例2:a为何值时，以下方程为一元二次方程？(1)ax2x=2x2(2)(a1)x|a|+1 2x7=0.解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-20，即a2时，原方程是一元二次方程；(2)由 a +1=2，且a-1
7、0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值变式：方程(2a-4)x22bx+a=0,1在什么条件下此方程为一元二次方程？2在什么条件下此方程为一元一次方程？解1当 2a40，即a 2 时是一元二次方程2当a=2 且 b 0 时是一元一次方程一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程一般式一般式相同点相同点不同点不同点思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？与联系？ax=b (a0ax2+bx+c=0 (a
8、0整式方程，只含有一个未知数整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是未知数最高次数是1未知数最高次数是未知数最高次数是2 例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得 3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.系数和项均包含前面的符号.注意 1.以下哪些是一元二次方程？以下哪些是一元二次方程？3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-1
9、3x2=5x-1随堂练习随堂练习2.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项2320 xx2312 3yy 245x(2)(34)3xx2320 xx232 310yy-21313-540-53-22450 x 23250 xx323.关于关于x的方程的方程(k21)x2 2(k1)x 2k 20,当当k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程当当k 时，是一元一次方程时，是一元一次方程114.(1)如图，一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余局部的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程其中取3.解：设由于圆的半径为xcm，那么它的面积为
10、3x2 cm2.整理，得225000 x根据题意有，2320015032001504x200cm150cm(1)与(2)的相似比=_,(1)与(2)的面积比=_(1)与(3)的相似比=_,(1)与(3)的面积比=_123 1 21231 4 1 31 9问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,答复以下问题：结论：相似三角形的面积比等于_相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方知识知识点点证明：设ABCABC，相似比为k,如图，分别作出ABC和ABC的高AD和AD.ABC和ABC都是直角三角形，并且B=B，ABDABD.BAABDAADABCABCDD想一想：怎么证
11、明这一结论呢？ABCABC.ADkA D 212.12ABCA B CBCADSBCADkkkSB CA DB CA D .ABBCA BB C NoImage相似三角形面积的比等于相似比的平方.归纳总结1.ABC与ABC的相似比为2：3，那么对 应边上中线之比 ，面积之比为 .2.如果两个相似三角形的面积之比为1:9，周长的比为_.1:32:34:9练一练NoImage例：将ABC沿BC方向平移得到DEF，ABC与DEF重叠局部的面积是ABC的面积的一半.BC=2，求ABC平移的距离.解：根据题意，可知EGAB.GEC=B,EGC=A.GECABC.222GECABCSECECSBCBC22
12、122EC22.2.ECEC22.BEBCEC即ABC 22.解：在 ABC 和 DEF 中，AB=2DE，AC=2DF，又 D=A，DEF ABC，相似比为 1:2.ABCDEF1.2DEDFABAC例 如图，在 ABC 和 DEF 中，AB=2 DE，AC=2 DF，A=D.若 ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 DEF 的边 EF 上的高和面积.12 5ABCDEFABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，12 5DEF 的边 EF 上的高为 6=3，12面积为 2112 53 5.2 如果两个相似三角形的面积之比为 2:7，较大三角形一边上的高为 7，那么较小三角形对应边
13、上的高为_.NoImage练一练例 53ABADACAE ADE ABC.它们的相似比为 3:5，面积比为 9:25.BCADE解：BAC=DAE，且 35AEADACAB，又 ABC 的面积为 100 cm2，ADE 的面积为 36 cm2.四边形 BCDE 的面积为10036=64(cm2).BCADE 如图，ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB，AC，BC 上，且 DEBC，EFAB.当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED:SABC 的值.ABCDFE练一练解：DEBC，D 为 AB 中点，ADE ABC，相似比为 1:2，面积比为 1:4.12AEAD.ACABABCDF
14、E又 EFAB，EFC ABC，相似比为 1:2，面积比为 1:4.设 SABC=4，那么 SADE=1，SEFC=1，S四边形BFED=SABCSADESEFC=411=2，S四边形BFED:SABC =2:4=1.23两个相似三角形对应中线的比为 ，那么对应高的比为_.2.相似三角形对应边的比为2 3,那么对应角的角平分线的比为_.2 31两个相似三角形的相似比为 ,那么对应高的比为_,那么对应中线的比为_.1221214141随堂练习随堂练习解：ABCDEF，解得,EH3.2(cm).答：EH的长为.AGBCDEFH4.ABCDEF，BG，EH分ABC和DEF的角平分线，BC=6cm,E
15、F=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.BGBCEHEF4.86,4EH5.如图，AD是ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SRAD，垂足为E.当 时，求DE的长.如果 呢？ASRABC (两角分别相等的两个三角形相似).解：SRAD，BCAD，BAERC1=2SRBC1=3SRBCDSSRBC.ASR=B,ARS=C.AESRADBC(相似三角形对应高的比等于相似比)，当 时，得 解得 BAERCDS.ADDESRADBC当 时，得 解得 1=2SRBC1.2hDEAD1.2DEh1=3SRBC1.3hDEAD2.3DEh选做题：选做题：6.6.一块直角三角形木板的一条直
16、角边一块直角三角形木板的一条直角边ABAB长为长为1.5m1.5m，面积为面积为1.5m2,1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图1 1、2)2)所所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好.加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保存加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保存FABCDE（1）FGBACED（2）相信自己是最相信自己是最棒的！棒的！SRQPEDCBA7.AD是ABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方形的边长
17、.ACBD(6)ACBD(5)DCBA(4)ACBD(3)DCBA(1)ACBD(2)8.判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ()10.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于_，面积 比等于_.1:21:49.在在 ABC 和和 DEF 中，中，AB2 DE，AC2 DF，AD，AP，DQ 是中线，假设是中线，假设 AP2，那么，那么 DQ 的值为的值为 ()A2 B4 C1 D.C2111.两个相似三角形对应的
18、中线长分别是两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和和 18 cm，假设较大三角形的周长是假设较大三角形的周长是 42 cm，面积是，面积是 12 cm2，那么，那么较小三角形的周长较小三角形的周长_cm，面积为，面积为_cm2.144312.如图，这是圆桌正上方的灯泡如图，这是圆桌正上方的灯泡(点点A)发出的光线发出的光线照照 射桌面形成阴影的示意图，桌面的直径为射桌面形成阴影的示意图，桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为米，桌面距离地面为 1 米，假设灯泡距离地面米，假设灯泡距离地面 3 米，米，那么地面上阴影局部的面积约为多少那么地面上阴影局部的面积约为多少(结果保存两结果保存
19、两位位 小数小数)？ADEFCBH解：FH=1 米，AH=3 米，桌面的直径为 1.2 米，AF=AHFH=2(米)，DF 2=0.6(米).DFCH，ADF ACH，ADEFCBHDFAFCHAH，即0 623.CH，解得 CH=0.9米.阴影局部的面积为：220.92.54CH(平方米).答：地面上阴影局部的面积为 2.54 平方米.13.ABC 中，中，DEBC，EFAB，ADE 和和 EFC 的面积分别为的面积分别为 4 和和 9，求，求 ABC 的面积的面积.ABCDFE解：DEBC，EFAB，ADE ABC，ADE=EFC，A=CEF，ADE EFC.又SADE:SEFC=4:9，AE:EC=2:3，那么 AE:AC=2:5，SADE:SABC=4:25，SABC=25.14.如图，ABC 中，DEBC，DE 分别交 AB，AC 于 点 D，E，SADE2 SDCE，求 SADE SABC.解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，那么12212ADEDCEAE DFSAESECEC DF，23AE.AC 又 DEBC，ADE ABC.ABCDE222439ADEABCSAESAC，即 SADE:SABC 4:9.ABCDE
