1、 - 1 - 2017 2018学年第一学期第一次月考 高二数学（理科）试题 （考试时间： 120分钟 总分： 150分） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 第卷（选择题，共 60分） 一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1 若不等式 022 ?bxax 的解集 ? ?| 1 2xx? ? ? ， 则 ab? 值是（ ） A 0 B 1 C. 1 D 2 2. 数列 315,154,73,32,1 的一个通项公式 na =（ ） A 12?nn B 12?nn C. 12?nnD 12?nn3.
2、为了调研雄安新区的空气质量状况，某课题组对雄县、容城、安新 3县空 气质量进行调查，按地域特点在三县内设置空气质量观测点，已知三县内观测点的个数分别为 6， y， z，依次构成等差数列，且 6， y， z+6 成等比数列，若用分层抽样的方法抽取 12个观测点的数据，则容城应抽取的数据个数为（ ） A.8 B.6 C.4 D.2 4 已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 =nnSa对任意的 *n?N 都成立， 则数列 ?na 为 （ ） A 等差数列 B 等比数列 C. 既等差又等比数列 D既不等差又不等比数列 5.我国古代数学著作九章算术有如下问题： “ 今有器中米，不知其数，前人取
3、半，中人三分取一，后人四分取一，余米 两 斗五升问，米几何？ ”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S=2.5（单位：升），则输入 k的值为（ ） A.8 B.10 C.12 D.14 6.已知变量 x 和 y 满足 0.99 3yx?，变量 y 和 z 的相关系数 0.91r? .下列结论中正确的- 2 - 是（ ） A. x 与 y 正相关， x 与 z 正相关 B. x 与 y 正相关， x 与 z 负相关 C. x 与 y 负相关， x 与 z 正相关 D. x 与 y 负相关， x 与 z 负相关 7若 ， 为锐角，且满足 35sin , c o s( )5 1 3
4、? ? ? ? ?，则 cos? 的值为（ ） 16. 65A?33.65B56.65C63.65D8.已知 )1,1(),0,1( ? ba ，若 ba? 与 b 垂直，则 ? 的值（ ） A . 1? B. 2? C. 0 D. 1 9 函数)sin( ? ? xAy在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为（ ） A)322sin(2 ? xyB)3sin(2 ?C)32sin(2 ?xD?10 将函数 )12sin( ? xy 图象上的点 ),4( tP? 向左平移 )0( ?ss 个单位 ,得到点 P ，若 P 位于函数 xy 2cos? 的图象上，则 （ ） A. st ,23?
5、的最小值为 6? B. st ,21? 的最小值为 6? C. st ,21? 的最小值为 12? D. st ,23? 的最小值为 12? 11如图，在圆心角为 2? ，半径为 1 的扇形中，在弦 AB 上任取一点 C，则 83?AOC 的概率为 （ ） . A. 41 B. 222? C. 43 D. 22 12.已知等差数列 an的公差 d 不为 0，等比数列 bn的公比 q 是正有理数若 211 , dbda ? ， 且321232221bbb aaa ? ?是正整数，则 q =( ) A. 12 B. 2 C. 2或 8 D. 2,或 12 第卷（非选择题，共 90分） 二、 填空题
6、（每小题 5 分，本题共 20 分） - 3 - 13. 小明 从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花 送给薛老师 ，则 薛老师同时收到 红色和紫色的花的概率是 _ 14.若 ,ab为不相等的两个正数，则 2ab? 2abab? （用 ,? 连接） 15. 将正方形 ABCD分割成 n2（ n2 ， nN ）个全等的小正方形（图 1，图 2分别给出了 n=2， 3的情形），在每个小正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形 ABCD的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点 A， B， C， D处的四个数和为 4，记所有顶点上的数 之和为 f（ n），则 f（ 3）
7、= _ 16.在四边形 ABCD中， AB=3， AC=2， C A DADBAC ? c o s2,3? ，则 BD的最大值是 _ 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题 10分） 在 ABC 中， a， b， c分别是角 A， B， C的对边， 若 c o s c o s 2 c o sa C c A b A? （ 1）求角 A 的值； （ 2）若 3,439 ? aS ABC，求 ABC 的周长 . 18. （本小题 12 分） 一个生物研究性学习小组，为了研究平均气温与一天内某豆类胚芽生长之间的关系，他们分别记录了 4月 6日
8、至 4月 11日的平均气温 x（ ）与该豆类胚芽一天生长的长度 y（ mm），得到如下数据： 日期 4月 6日 4月 7日 4月 8日 4月 9日 4月 10 日 4月 11日 平均气温 x（ ） 10 11 13 12 8 6 一天生长的长度 y（ mm） 22 25 29 26 16 12 该小组的研究方案是：先从这六组数据 中选取 6日和 11日的两组数据作为检验数据，用剩下的 4组数据即： 7日至 10日的四组数据求出线性回归方程 （ 1）请按研究方案求出 y关于 x的线性回归方程 axby ? ? ； （ 2）用 6日和 11日的两组数据作为检验数据，并判断该小组所得线性回归方程是否
9、理想（若由线性回归方程得到的估计数据与所选的检验数据的误差不超过 1mm，则认为该方程是理想- 4 - 的） 参考公式：?xbyaxxyyxxb niiniii?)()(?12119. （本小题 12 分） 已知函数 ( ) s i n ( ) ( , 0 , 0 )2f x A x x R ? ? ? ? ? ? ? ? ?的部分图象如 图所示 （ 1）求函数 ()fx的解析式； （ 2）若 (0, )2? ，且 3cos( )25? ?，求 ()f? 的值 20. （本小题 12 分） 已知 数列 ?na 的前 n项和为 nS ， 若 11?a ， )( *1 N? ncnSS nn （
10、c 是常数），且 1 2 3a a a， ，成等比数列 （ 1）求 c 的值； （ 2）求 nS 21. （本小题 12 分） 已知向量 ? ?xxm ? sin,cos? , ? ?xxn ? cos3,cos? )0( ? ，设函数 nmxf ?)( 21? （ 1）若函数 )(xf 的零点组成公差为 3? 的等差数列，求函数 )(xf 的单调递增区间； （ 2）若函数 )(xf 的图象的一条对称轴是 )30(12 ? ?x ，当 86 ? ? x 时，求函数 )(xf的值域 . 22. （本小题 12分） 已知数列 na 满足 2),2(2 1*11 ? ? annaa nnn 且N （
11、 1） 若 12nn nac ?，求证数列 nc 是等比数列，并求数列 na 的通项公式； （ 2）设数列 nb 满足对任意的 *N?n ，都有 nababab nn ? 444 2211 ?，求证：数列?nb1 的前 n项和 .1?nT - 5 - 2017 2018学年第一学期第一次月考 高二数学（理科）参考答案 一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C A B B C B A C D D 二、 填空题（每小题 5 分，本题共 20
12、分） 13 61 14 15 16 16 17? 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题 10分） 解：（ 1）由 c o s c o s 2 c o sa C c A b A?得 ABACCA c o ssi n2c o ssi nc o ssi n ? ABCA co ss in2)s in ( ? 即 ABB cossin2sin ? ? 3分 又 0sin ?B 21cos ? A 又 ),0( ?A 3?A ? 5分 （ 2） 由 4 3943s in21 ? bcAbcS ABC9?bc 由余弦定理得 Abccba cos
13、2222 ? ? 7分 27)(3)(9 22 ? cbbccb 36)( 2 ? cb 6? cb - 6 - 所以 ABC 的周长为 9.? 10分 18解： （ 1） ,24,11 ? yx 7183120 )8()3(21520? 222 ? ? b ? 4分 故 7301171824? ? xbya 故 y 关于 x 的方程是： 730718? ? xy ? 6分 （ 2） x=10时， 7150?y 误差是 174227150 ?， ? 9分 x=6时， 778?y ， 误差是 17612778 ?故该小组所得线性回归方程是理想的 ? 12分 19.解： 212512112 ? ?
14、T ? ? 2T 得 2? ? 2分 又 ? kf ? 1252,0)125( 6),2,0( ? ? ? ? 4分 )62sin ()( ? xAxf 又 21)0( ? Af )62sin(2)( ? xxf ? 6分 （ 2） 由 53)2cos( ? 得 53sin ? )2,0( ? - 7 - 54cos ? ? 252454532c o ss in22s in ? ? ? ? 8分 257)53(21s in212c o s 22 ? ? ? 10分 分122573242c o s2s i n3)62s i n (2)(?f20.解： （ 1） 由 11?a ， )( *1 N?
15、 ncnSS nn 得 cSScSSS 2,1 23121 ?， ， cacaa 2,1 321 ? ? 3分 又因为 1 2 3a a a， ， 成等比数列 ， 所以 cc 22? 20 ? cc ，或 ? 5分 当 0c? 时， 0,0,1 321 ? aaa ，不符合题意舍去， 经检验， 2?c 符合题意 2?c ? 6分 （ 2） 由（ I）得 )(2 *1 N? nnSS nn ， 故 当 *N?n 时， nSSa nnn 211 ? ? ， ? ? ? )2()1(2 11 nn na n? 8分 所以 1)1(24212 2 ? nnnSn n ?时，当 ? 10分 又 1?n
16、时， 11?a 也符合上式 12 ? nnSn ? ? 12分 21.解：由 nmxf ?)( 21? xxx ? co ss in3co s 2 ? 21? xx ? 2s in232 2co s1 ? 21? - 8 - )62sin( ? ? x ? 2分 由函数 )(xf 的零点组成公差为 3? 的等差数列得 )62sin()( ? ? xxf 的最小正周期为 32? 3222 ? ? 32 ? )63sin()( ? xxf ? 4分 由 226322 ? ? kxk 得 9329232 ? ? kxk 所以函数 )(xf 的单调递增区间为 )(932,9232 Z? ? kkk ? 6分 （ 2） 由 )62sin()( ? ? xxf
