1、 - 1 - 河南省滑县 2017-2018 学年高二数学 12月月考试题 文 一、选择题 1 设 a R,则 “ a=1” 是 “ 直线 l1:ax+2y-1=0与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0平行 ” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2 已知命题 总有 则 为 A. 使得 B. 使得 C. 总有 D. 总有 3 若命题 “ ，使得 错误 !未找到引用源。 ” 是假命题，则实数 的取值范围是 . 1， 3 .( 1， 3) C.( ， l 3， ) D.( ， l 3， ) 4 如果复数 (其中为虚数单位 , 为实数 )的实部和
2、虚部互为相反数 ,那么 等于 A.-6 B. C. D.2 5 已知 (1+i)z=2-i(i为虚数单位 ),则 z的共轭复数 = A.- + i B. + i C. + i D. - i 6 椭圆 的焦点在 轴上， 的取值范围是 A. B. C. D. 7 过双曲线 的右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点 ,与双曲线的渐近线交于 两点 ,若 ,则双曲线离心率的取值范围为 A. B. C. D. 8 已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0 相切 ,则 C的离心率为 - 2 - A. B. C. D. 9
3、已知 是双曲线 的两个焦点 , 在双曲线上 ,且满足 ,则 的面积为 A.1 B. C.2 D. 10 过函数 图象上一个动点作函数的切线 ,则切线倾斜角的范围为 A. B. C. D. 11 若点 P是曲线 y x2 lnx上任意一点 ,则点 P到直线 y x 2的最小距离为 A.1 B. C. D. 12 定义在 R上的函数 f(x)满足 : ,则不等式 exf(x) ex+3(其中 e为自然对数的底数 )的解集为 A. B. C. D. 二、填空题 13 已知 ,若 是 的充分不必要条件 ,则实数 的取值范围是 14 已知椭圆 : ，过点 的直线与椭圆 交于 、 两点，若点 恰为线段 的
4、中点，则直线 的方程为 . 15 已知双曲线的方程为 ,点 的坐标为 是圆 上的点 ,点在双曲线的上支上 ,则 的最小值为 . 16 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 三、解答题 17 已知 设命题 函数 在 R上调单调递增 ; 不等式 对任意 恒成立 ,若 “ 或 为真 , 且 为假 ,求 的取值范围 . - 3 - 18 2017年 1月 1日，作为贵阳市打造 “ 千园之城 ”27 个示范性公园之一的泉湖公园正式开园 .元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放 .现从到公园游览的市民中随机抽取了 60名男生和 40 名女生共 100人进行调查，统计出 100名市民
5、中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表： (1)根据 条件完成下列 列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过 1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？ 愿意 不愿意 总计 男生 女生 总计 (2)现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取 7名挑战者，再从中抽取 2人参加挑战，求抽取的 2人中至少有一名男生的概率 . 参考数据及公式： 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 . - 4 - 19 已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，右焦点到到右顶点的距离为 1. (1)求椭圆 的 标准方程； (2)是否存在与椭
6、圆 交于 两点的直线 ，使得 成立？若存在，求出实数 m的取值范围，若不存在，请说明理由 . 20 已知椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 ,点 M在椭圆上 ,且满足 MF2 x轴 ,|MF1|= . (1)求椭圆的方程 ; (2)若直线 y=kx+2交椭圆于 A,B两点 ,求 ABO(O为坐标原点 )面积的最大值 . 21 已知函数 f(x)=x-1+ (a R,e为自然对数的底数 ). (1)若曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线平行于 x轴 ,求实数 a的值 ; (2)求函数 f(x)的极值 . 22 已知函数 f(x)=2x3-3x. (1)求
7、f(x)在区间 -2,1上的最大值 ; (2)若过点 P(1,t)存在 3条直线与曲线 y=f(x)相切 ,求 t的取值范围 ; (3)问过点 A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切 ?(只需写出结论 ) 参考答案 1.A 【解析】因为当 a=1时 ,直线 l1:x+2y-1=0与直线 l2 :x+2y+4=0平行 ,而当直线 l1:ax+2y-1=0与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0平行时 ,只要满足 即可 ,此时 ,a=-2或 1,所以可知 “ a=1” 是“ 直线 l1:ax+2y-1=0与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0平行 ”
8、 的充分不必要条件 . 2.A、 3.A、 4.B、 5.C、 6.C 7.B【解析】本题主要考查双曲线的性质，考查了计算能力 .将 x=c代入双曲线方程可得 ,则 ；将 y=c代入渐近线 y= 可得 y= ,则 ，因为 ,所以,求解可得 ,故答案为 B. 8.A - 5 - 【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、椭圆的几何性质 ,意在考查考生的运算求解能力与逻辑思维能力 . 以线段 A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点 O(0,0),半径为 a.由题意 ,圆心到直线 bx-ay+2ab=0的距离为 =a,即 a2=3b2.又 e2=1- ,所以 e= ,故选 A. 9.A 【解析】本题主要考
9、查双曲线的定义，考查了计算能力 .由双曲线的方程可得 a=2， c= ，不妨设点 P是双曲线右支上一点，则 |PF1|-|PF2|=4, ,因为 ,所以|PF1|2+|PF2|2= ，将 |PF1|-|PF2|=4两边平方化简可得 |PF1|PF2|=2, 则 的面积 S= 10.B 【解析】本题考查导数的几何意义 ,直线的斜率 .由题意得 = ,即 ,解得 或 .即切线倾斜角的 范围为 .选 B. 11.B 【解析】本题主要考查导数的几何意义及点到直线的距离 .本题对考生的数形结合能力与转化问题的能力提出了较高的要求 .当过点 P的切线和直线 平行时 ,点 P到直线 的距离最小 .而直线 的
10、斜率为 1,则令 得 , (负值舍去 ),即满足题意的点P(1,1),所求最小距离为 . 12.A 【解析】本题考查了导数与不等式的综合应用 .设 g(x)=exf(x) ex,(x R),则g( x)=exf(x)+exf( x) ex=exf(x)+f( x) 1, f(x)+f( x) 1, f(x)+f( x) 1 0, g (x) 0, y=g(x)在定义域上单调递增 , exf(x) ex+3, g(x) 3,又 g(0)-e0f(0)e0=4 1=3, g(x) g(0), x 0,故选 A. 13. 【解析】本题主要考查了命题的充要性 .因为 ： , ,又因为 是 的充分不必要
11、条件 ,则 ,解得 ,故填 . 14. - 6 - 【解析】本题主要考查椭圆、直线的方程与斜率、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了逻辑推理能力与计算能力 .设 ,由题意可得 ， ，且， ，两式相减，化简可得 ，所以直线 AB的方程为 ,即 15. 【解析】本题主要考查双曲线的定义、圆的性质、两点间的距离 .设点 的坐标为 则 A、D 是双曲线的两个焦点，则 =2a=4，所以 ,因为点 B中圆 C： 上，则圆心 C ,所以 ,即，当 M、 B在 CD上时，等号成立，所以 的最小值为 16. 【解析】本题考查导数的运算 .因为 ，求导可得 ；令 可得 ，解得 ；所以 ， ；所以=0. 17.若函数
12、在 R 上单调递增 ,则 ,故命题 等价于 ; 若不等式 对任 恒成立 , 则 ,故命题 等价于 , 根据题意 且 为假 , 或 为真 ,可知 中一真一假 , 因此 (1)当 假 真时 : . (2)当 p 真 q假时 : ,当 p假 q真时 : 取值范围 : 或 . 【解析】本题主要考查命题真假的判断、逻辑联结词、指数函数 ,考查了分类讨论思想、恒成立问题、逻辑推理能力与计算能力 .(1)由指数函数的性质可得命题 p;根据题意 ,解不等式组,可得命题 q,由 或 为真 , 且 为假 ,可知 中一真一假 ,再分 p真q 假、 p 真 q假求解可得结果 . 18.(1) 愿意 不愿总计 - 7
13、- 意 男生 15 45 60 女生 20 20 40 总计 35 65 100 ， 则不能认为在犯错误的概率不超过 1%的情 况下愿意接受挑战与性别有关 . (2)据第一问可知，用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取 7名， 其中男生 3名，女生 4 名，不妨设 3名男生分别为 1， 2， 3， 4名女生分别为 . 从中任取两人，所有可能出现的情况如下： ， ，共 21 种 . 其中抽取的 2人中至少有一名男生有 15种 . . 【解析】本题考查独立性检验 ,古典概型 .(1)列出 列联表 ,求得，不能认为在犯错误的概率不超过 1%的情况下愿意接受挑战与性别有关 .(2)所有可能出现的情
14、况共 21 种 .所求的 15 种 . . 19.(1)设椭圆 C的方程为 (a b 0)，半焦距为 c. 依题意 e= ，由右焦点到右顶点的距离为 1，得 a c=1. 解得 c=1， a=2. 所以 =4 1=3. 所以椭圆 C的标准方程是 . (2)存在直线 l，使得 成立 .理由如下： - 8 - 设直线 l的方程为 y=kx+m， 由 ，得 (3+4k2)x2+8kmx+4m2 12=0. =(8km)2 4(3+4k2)(4m2 12) 0，化简得 3+4k2 m2. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 . 若 成立， 即 | |2=| |2，等价于 . 所以 x1x
15、2+y1y2=0. x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0， (1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0， (1+k2)? ， 化简得 7m2=12+12k2. 将 代入 3+4k2 m2中， 3+4( ) m2， 解得 . 又由 7m2=12+12k212 ，得 ， 从而 ，解得 或 . 所以实数 m的取值范围是 . 20.(1)由已知 ,得 ,即 a2=3c2,又 a2=b2+c2,所以 b2=2c2,故椭圆方程为 + =1,设点 M在第一象限 ,由 MF2 x轴 ,可得 M的坐标为 (c, c), 由 |MF1|= ,解得 c=1, 所以椭圆方程为 + =1. (2)设 A(
16、x1,y1),B(x2,y2),将 y=kx+2代入椭圆方程 ,可得 (3k2+2)x2+12kx+6=0. 由 0 ,可得 3k2-20, - 9 - 由根与系数的关系得 x1+x2=- ,x1x2= , 所以 |x1-x2|= , 又原点 O到直线 y=kx+2的距离为 , 所以 ABO的面积 S= |x1-x2| . 令 3k2-2=t , 由 知 t (0,+), S=2 =2 =2 . 当且仅当 t= ,即 t=4,k= 时 ,等号成立 .即 ABO 面积的最大值为 . 21.(1)由 f(x)=x-1+ ,得 f (x)=1- . 因为曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线
17、平行于 x轴 , 所以 f (1)=0, 即 1- =0,解得 a=e. (2) 当 a0 时 ,f (x)0恒成立 ,f(x)为 (-, +) 上的增函数 ,所以函数 f(x)无极值 . 当 a0时 ,令 f (x)=0,得 ex=a,x=ln a. 当 x (-,ln a)时 ,f (x)0. 所以 f(x)在 (-,ln a)上单调递减 ,在 (ln a,+) 上单调递增 , 故 f(x)在 x=ln a处取得极小值 ,且极 小值为 f(ln a)=ln a,无极大值 . 综上 ,当 a0 时 ,函数 f(x)无极值 ;当 a0时 ,f(x)在 x=ln a处取得极小值 ln a,无极大值 . 22.(1)由 f(x)=2x3-3x得
