1、 - 1 - 2017 2018 学年度上学期第三次月考 高二数学（理）试卷 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知命题 :p 0x? ， 1xe? ，则 p? 为（ ） A. 00 0, 1xxe? ? ? B. 00 0, 1xxe? ? ? C. 00 0, 1xxe? ? ? D. 00 0, 1xxe? ? ? 2. sin2x 的导函数为（ ） A. cos2x B. 2cos2x C. sin4x D. cos4x 3.函数 21( ) ln2f x x x?的单调递增区间为（ ） A. (0, )? B. 1,0
2、) 1, )? ? C. 1, )? D. 1,0)? 和1, )? 4. 在极坐标系中，极点关于直线 cos sin 1 0? ? ? ? ? ?对称的点的极坐标为（ ） A. 3( 2, )4? B. 3( 2, )4? C. ( 2, )4? D. ( 2, )4? 5. 设 P 为曲线 2:2C y x x? ? ? 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜 角的取值范围为3044?， ， ），则点 P 横坐标的取值范围为（ ） A. 1 ,02? B. 1,0? C. 0,1 D. 1 ,12 6. 设命题 p ： aR? ，直线 2 1 0xy? ? ? 与直线 10x ay? ?
3、 ? 垂直，命题 q ：若 0( ) 0fx = ，则 0x 是函数 ()fx的极值点 .则下列命题为真命题的是（ ） A. qp? B. ()pq? C. )( qp ? D. )()( qp ? 7. 若关于 x 的方程 21x b x+ = - 有两个不同的实数解，则实数 b 的取值范围是（ ） A. ( 2, 2)- B. ( 1,1)- C. 1, 2 D. 1, 2) 8. 对任意正实数 x ，不等式 ln 1x x a- + 恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 1a D. 3a 9. 设 ,ABC 是抛物线 2 4yx? 上的三点，若 ABC? 的重心恰好是该抛物线的焦点
4、F ，则- 2 - FA FB FC? ? ?（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10.点 P 是曲线 xy e x?上的点， Q 是直线 21yx?上的点，则 |PQ 的最小值为（ ） A. 55 B.255 C. 5 D. 25 11. 已知双曲线 221xyab?（ 0a? ， 0b? ）的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A. (1,2) B. (1,2 C. 2, )? D. (2, )? 12. 若函数 ( ) ( 2 ) lnxf x a x e x x? ? ? ?存在唯一的极值点
5、，且此极值小于 0，则实数 a 的取值范围为（ ） A. 2211( , )ee?B. 11( , )ee? C. 21( ,0e?D. 1( ,0e? 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. “ 若 220xy?，则 x ， y 全为零 ” 的否命题 是 _； 14. 若函数 ( ) 2 4 lnbf x ax xx? ? ?在 1x? 与 13? 处都取得极值，则 ab?_； 15. 若函数 32( ) 3f x x tx x? ? ?在区间 1,4 上单调递减，则实数 t 的取值范围是 _； 16. 设过曲线 () xf x e x?上任意一点处的切线为
6、1l ，总存在过曲线 ( ) cosg x ax x? 上一点处的切线 2l ，使得 12ll? ，则实数 a 的取值范围是 _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 给定 两个命题 ,p ：对任意实数 x 都有 012 ?axax 恒成立； q ：关于 x 的方程02 ? axx 有实数根； 如果命题 “ p 且 q ” 为假命题， “ p 或 q ” 为真命题， 求实数 a 的取值范围 - 3 - 18（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C
7、 的极坐标方程为 2 2 cos( )4?，直线 l 的参数方程为1 2 2xtyt? ?(t 为参数 )，直线 l 和圆 C 交于A， B 两点， P 是圆 C 上不同于 A， B 的任意一点 (I)求圆心 C 的极坐标； (II)求 PAB 面积的最大值 19（本小题满分 12 分） 双曲线 221 :1xyC ab?（ 00ab?， ）的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，抛物线22 :2C y px? ( 0)p? 的准线过 1F 且与双曲线 1C 的实轴垂直，若抛物线 2C 上的任意一点到2F 的距离比它到 y 轴的距离大 3，过 2F 的直线与双曲线 1C 的右支相交于 A 、 B
8、 两点，若弦长 |AB 等于抛物线 2C 的通径长的 2 倍，且 1ABF? 的周长为 56，求双曲线 1C 和抛物线 2C 的方程 . - 4 - 20（本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? 2 lnf x ax bx x? ? ?（ ,ab?R ） （ I）当 1, 3ab? ? 时，求函数 ?fx在 1,22?上的最大值和最小值； （ II）当 0a? 时，是否存在正实数 b ，当 ? ?0,ex? （ e 是自然对数底数）时，函数 ()fx 的最小值是 3，若存在，求出 b 的值；若不存在，说明理由； - 5 - 21（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22: 1 ( 0 )xyC
9、 a bab? ? ? ? ?的离心率为 32 ，其左、右焦点分别为 1F 、 2F ， P为椭圆 C 上的动点，且 12| | | |PF PF? 的最大值为 16 （ I）求椭圆 C 的方程； （ II）设 A 、 B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，当 P 在第一象限时，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N ，问 PMN? 与 PAB? 面积 之差是否为定值？说明理由 - 6 - 22（本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? 1ln ( 2 )( 1 ),f x a x a ax? ? ? ? ? R. () 试求函数 ?fx的单调区间； () 若不等式 (
10、 ) (ln )xf x a x e?对任意的 (0, )x? ? 恒成立，求实数 a 的取值范围 . - 7 - 高二数学（理）参考答案 一、选择 题 BBCAB CDACB CD 二、填空题 13. “ 若 220xy?，则 x ， y 不全为零 ” ； 14. 52? 15. 51 , )8 ? 16. 1,0? 三、解答题 17解：对任意实数 x 都有 012 ?axax 恒成立? ? 000 aa 或40 ? a ； 关于 x 的方程 02 ? axx 有实数根 41041 ? aa ； ?4 分 因为命题 “ p 且 q ” 为假命题， “ p 或 q ” 为真命题，则命题 p 和
11、 q 一真一假。 ?5分 如果 p 正确，且 q 不正确，有 44141,40 ? aaa 且 ； 如果 q 正确，且 p 不正确，有 041,40 ? aaaa 且或 ?9 分 所以实数 a 的取值范围为 ? ? ? 4,410, ?10 分 18解： (1)由圆 C 的极坐标方程为 2 2cos( 4)，得 2 2 2( 22 cos 22 sin )， 把? x cos ，y sin 代入可得圆 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2x 2y 0， 即 (x 1)2 (y 1)2 2. 圆心坐标为 (1， 1)， 圆心的极坐标为 ( 2， 74 ) ?6分 (2)由题意，得直线 l 的直角
12、坐标方程为 2 2x y 1 0. 圆心 (1， 1)到直线 l 的距离22| 2 2 1 1 | 2 23(2 2 ) ( 1)d?， | AB| 2 r2 d2 2 2 89 2 103 . 点 P 到直 线 l 的距离的最大值为 r d 2 2 23 5 23 ， - 8 - Smax 12 2 103 5 23 10 59 .?12 分 19解：依题可知抛物线 2C 的焦点为 2F ，所以2( ,0)2pF， 由抛物线的定 义可知， 32p? ，所以 6p? ， 所以抛物线 2C 的方程为 2 12yx? ， ?4 分 其通径长为 2 12p? ，从而 | | 24AB? ， 由双曲线
13、的定义可知， 12| | | | 2AF AF a?， 12| | | | 2BF BF a?， 所以 12| | | | 4 | | 4 2 4A F A F a A B a? ? ? ? ?， ?8 分 所以 1ABF? 的周长为 12| | | | | | 4 4 8 5 6A F A F A B a? ? ? ? ?， 解得 2a? ，又因为 32pc?，所以 22 5b c a? ? ?， 所以双曲线 1C 的方程为 22145xy? . 综上所述，双曲线 1C 的方程为 22145xy?， 抛物线 2C 的方程为 2 12yx? . ?12 分 20解：（ 1）当 1, 3ab?
14、? 时， ? ? 2 3 lnf x x x x? ? ? ?，且 1,22x ?， ? ? ? ? ? ?2 2 1 11 2 3 123 xxxxf x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 分 得 1 12 x?时 ( ) 0fx? ? ； 12x?时 ( ) 0fx? ? ， 所以函数 ()fx在 1( ,1)2 上单调递增；，函数 ()fx在 (1,2) 上 单调递减， 所以函数 ?fx在区间 1,22?仅有极大值点 1x? ，故这个极大值点也是最大值点， 故函数在 1,22?最大值是 ?12f ? ， ?4 分 - 9 - 又 ? ? ? ?1 5 3 32 2
15、l n 2 l n 2 2 l n 2 l n 4 02 4 4 4ff ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故 ? ? 122ff? ?， 故函数在 1,22?上的最小值为 ? ?2 2 ln2f ? ?6 分 （ 2） 0a? 时 ( ) lnf x bx x?，得 1()1() bx bf x b xx? ? ? ?7 分 （ ） 10 b e? 时， 1 eb? ， ? ?0,xe? 时， ( ) 0 ( )f x f x? ? 递减， m in( ) ( ) 1 0f x f e b e? ? ? ? ?不合题意； （ ） 1b e? 时， 1
16、0 eb?， 1(0, )x b? 时， ( ) 0 ( )f x f x? ? 递减， 1( , x b ? 时， ( ) 0 ( )f x f x? ? 递增， m in 1( ) ( ) 1 ln 3f x f bb? ? ? ? ?，得 2be? ?11 分 综上所述，存在实数 2be? ?12 分 21. 解：（ I）由基本不等式及基本不等式有 221212 | | | | | | | ( )2P F P FP F P F a? ? ?，依题意得2 16a? ，所以 4a? ，又因为 32ce a? ，解得 23c? ，所以 2 2 2 4b a c? ? ? ， 则椭圆 C 的方程
17、为 22116 4xy?.?4 分 （ II）由（ I）可得 (4,0)A ， (0,2)B ，设 )0,0)(,( 0000 ? yxyxP ，则 22004 16xy?， 00: ( 4)4yPA y xx? ，令 0?x 得 004 4M yy x? ? ， 则 004B M 2 2 2 4MM yyy x? ? ? ? ? ? ? ?,?6 分 002:2yPB y xx?，令 0?y 得 002x 2N xy? ? ， 则 002A N 4 4 4 2NN xxx y? ? ? ? ? ? ? ?,?8 分 - 10 - 11()22P M N P A B M A N B A NS
18、S S S A N O M O B A N B M? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 02 4 ( 2 4 ) ( 4 2 )1 ( 4 ) ( 2 ) 22 2 4 2 4 8x y y x x yy x x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 220 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 04 4 8 1 6 1 6 4 8 1 6 3 22 2 82 4 8 2 4 8x y x y x y x y x yx y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（定值） .?12 分 22解 ;（
