1、 - 1 - 江西省新干县第二中学等四校 2017-2018学年高二数学 12月联考试题 文 时间 120分钟 总分 150分 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1. 顶点在原点，且过点 ( 4,4)? 的抛物线的标准方程是 （ ） A. 2 4yx? B. 2 4xy? C. 2 4yx? 或 2 4xy? D. 2 4yx? 或 2 4xy? 2 已知直线 ? ?1 : 1 2l x m y m? ? ? ?与 2 : 2 4 16l mx y? ? ?平行，则实数 m 的值是（ ） A. 1 B. 2?
2、C. 1? 或 2 D. 1或 2? 3 已知命题 00: , sin 2p x R x? ? ?；命题 2: , 1 0q x R x x? ? ? ? ?，则下列结论正确的是（ ） A. 命题 pq? 是假命题 B. 命题 pq? 是真命题 C. 命题 ? ? ? ?pq? ? ? 是真命题 D. 命题 ? ? ? ?pq? ? ? 是真命题 4 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 5 几何体三视图如图所示，则几何体的体积为 ( ) A. 32 B. 16 C. 8 D. 6 “ 方程 表示焦点
3、在 轴的椭圆 ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 - 2 - 7 已知直线 : 4 3 0 ( 0 )l x y m m? ? ? ?被圆 22: 2 2 6 0C x y x y? ? ? ? ?所截的弦长是圆心C 到直线 l 的距离的 2倍，则 m 等于（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 8 若椭圆 ? ?22 10xy abab? ? ? ?的右焦点为 F ， P 是椭圆上一点，若 P 到 F 的距离的最大值为 5，最小值为 3，则该椭圆的方程为（ ） A. 22116 15xy? B. 2
4、2197xy? C. 22116 9xy? D. 22194xy? 9 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是 323? ，则这个三棱柱的体积是（ ） A. 48 B. 246 C. 243 D. 483 10 四棱锥 P ABCD? 的底面是一个正方形， PA? 平面 , 2 ,ABCD PA AB E?是棱 PA 的中点，则异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值是 （ ） A. 155 B. 105 C. 63 D. 62 11 椭圆 22154xy?的左焦点为 ，直 线 与椭圆相交于点 MN、 ，当 的周长最大时， FMN? 的面积是 （ ） A. B. C
5、. D. 12 若直线 ? ?24y k x? ? ? 与曲线 214yx? ? ? 有两个交点，则实数 k 的取值范围是（ ） A. 50,12?B. 13,34? ?C. 53,12 4? ?D. 5 ,12?二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，将答案填在题中的横线上 ) - 3 - 13 点 M(2， 3? ， 1)关于 y轴的对称点 的坐标 是 _ 14 从动点 ? ?,2Pa 向圆 ? ? ? ?22: 1 1 1C x y? ? ? ?作切线，则切线长的最小值为 _. 15 已知实数 x ， y 满足不等式组 0, 2, 2 2 0,xyxy? ? ?则 2x
6、y? 的最大值是 _ 16 已知抛物线 2 2 ( 0)y px p?的焦点为 F ， F 关于原点的对称点为 P ，过 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 ,MN两点， 给出下列五个结论： PMN? 必为直角三角形； PMN? 必为等边三角形； 直线 PM 必与抛物线相切； 直线 PM 必与抛物线相交； PMN? 的面积为 2p . 其中正确的结论是 _ 三解答 题（ 本大题共 6小题，共 70 分 ） 17.（本小题满分 12分）已知 P x| 8x 20 0， S x|1 m x 1+m. （ 1）是否存在实数 m，使 x P是 x S的充要条件，若存在，求出 m的取 值范围； （ 2）是否
7、存在实数 m，使 x P是 x S的必要不充分条件，若存在，求出 m的取值范围 . 18 （本小题满分 12分） 已知抛物线 C： y2 2px(p 0)过点 A(1， 2) (1)求抛物线 C的方程，并求其准线方程 (2)是否存在平行于 OA(O为坐标原点 )的直线 l，使得直线 l与抛物线 C有公共点，且直线 OA与 l的距离等于 55 ？若存在， 求出直线 l的方程；若不存在，说明理由 - 4 - 19、 （本小题满分 12 分） 如图，底面是直角三角形的直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，11 12AC BC AA? ? ?， D是棱 1AA 上的动点 . (1)证明： 1DC
8、BC? ； (2)求三棱锥 1C BDC? 的体积 . 20 （本小题满分 12 分） 已知圆 ? ?2 2: 2 5C x y? ? ?，直线 : 1 2 0l mx y m? ? ? ?， mR? . （ 1）求证：对 mR? ，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 ,AB； （ 2）求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线； - 5 - 21 （本小题满分 12 分） 如图中的 (1)，在 Rt ABC中， C 90 ， D， E分别 为 AC， AB的中点，点 F为线段 CD上的一点，将 ADE沿 DE折起到 A1DE的位置，使 A1F CD，如图 (2) (1)求
9、证： DE 平面 A1CB. (2)求证： A1F BE. (3)线段 A1B上是否存在点 Q，使 A1C 平面 DEQ？说明理由 22 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 2221xab2y (ab0)的离心率为 12 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右 焦点为顶点的三角形的周长为 6.过定点 M(0,2)的直线 l与 椭圆 C交于 G,H两点 (点 G在点 M,H之间 ). () 求椭圆 C的方程 ; () 设直线 l 的斜率是 k0,在 x 轴上是否存在点 P(m,0),使得以 PG,PH 为邻边的平行四边形是菱形 ?如果存在 ,求出 m的取值范围 ,如果不存在 ,请说明理由 . - 6 -
10、 2017年下半年高二四校联考文科数学答案 一 选择题（每小题 5分，共 60分） CACDBABADBBC 二 填空题（每小题 5分，共 20分） 13. （ -2， -3， -1 ） 14. 22 15 6 16 三、解答题（共 70分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17.解： （ 1）由 8x 20 0可解得 2 x 10， P=x| 2 x 10. 2分 x P 是 x S的充要条件， P S， 这样的 m不存在 .5 分 （ 2）由 题意知， x P是 x S 的必要不充分条件，则 S P. 于是有 或 m 3. 当 m 3时， x P 是 x S的必要不充分条件 .
11、 10分 18 解 (1)将 (1， 2)代入 y2 2px， 得 ( 2)2 2p1 ，所以 p 2. 2分 故所求的抛物线 C的方程为 y2 4x，其准线方程为 x 1. 5分 (2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y 2x t. 由?y 2x t，y2 4x. 得 y2 2y 2t 0. 7分 因为直线 l与抛物线 C 有公共点， 所以 4 8t0 ，解得 t 12. 另一方面 ，由直线 OA 到 l的距离 d 55 10 分 可得 |t|5 15，解得 t 1. 因为 1 / ? ? 12， ， 1 ? ? 12， ， 所以符合题意的直线 l存在，其方程为 2x y 1 0. 1
12、2分 19、 （ 1）证明：因为直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， CC1平面 ABC， - 7 - 所以， CC1 BC， 2分 又底面 ABC是直角三角形，且 AC BC 1， 所以 AC BC， 4分 又 1AC CC C， 所以， BC平面 ACC1A1， 所以， BC DC1 6分 （ 2）11C BDC B CDCVV? 1 1 12 1 13 2 3? ? ? ? ? 12分 20.（ 1）圆 ? ?2 2: 2 5C x y? ? ?的圆心为 ? ?2,0C? ，半径为 5 ， 所以圆心 C到直线 : 1 2 0l mx y m? ? ? ?的距离222 1 2 1 5
13、11mmmm? ? ? ? 所以直线 l 与圆 C相交，即 直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点； 6分 或：直线 : 1 2 0l mx y m? ? ? ?的方程可化为 ? ? ? ?2 1 0m x y? ? ? ?， 无论 m怎么变化，直线 l 过定点 ? ?2,1? ，由于 ? ?2 22 2 1 1 5? ? ? ? ?， 所以点 ? ?2,1? 是圆 C内一点，故直线 l 与圆 C 总有两个 不同的交点 6分 （ 2）设中点 为 ? ?,Mxy ，因为直线 : 1 2 0l mx y m? ? ? ?恒过定点 ? ?2,1? ， 当直线 l 的斜率存在时 ， 12AB yk x
14、? ?，又 2MC yk x? ?， 1AB MCkk? ? ， 所以 1 122yyxx? ? ? ? ，化简得 ? ? ? ?22 112224x y x? ? ? ? ? ? 10分 当直线 l 的斜率不存在时，中点 ? ?2,0M? 也满足上述方程 所以 M的轨迹方程是 ? ? 22 11224xy? ? ? ?，它是一个以 12,2?为圆心， 以 12 为半径的圆 12分 21【解】 (1)证明： D， E分别为 AC， AB的中点， DE BC. 又 DE?平面 A1CB， DE 平面 A1CB. 4分 (2)由已知得 AC BC且 DE BC， DE AC. 5分 - 8 - DE A1D， DE CD. DE 平面 A1DC. 而 A1F?平面 A1DC， DE A1F. 7 分 又 A1F CD， DE CD D， A1F 平面 BCDE， A1F BE. 8 分 (3)线段 A1B上存在点 Q，使 A1C 平面 DEQ.理由如下： 如图 ，分别取 A1C， A1B的中点 P， Q，则 PQ BC. 又
