1、 - 1 - 宁夏银川市 2017-2018 学年高二数学上学期第二次月考试题 理 一、选择题 (每小题 5分，共 60分 ) 1 若抛物线 2y ax? 的焦点到其准线的距离是 2，则 a =( ) A 4? B 4? C 4 D. 8? 2 已知 ABC? 的顶点 B、 C 在椭圆 2 2 13x y?上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC边上，则 ABC? 的周长是 ( ) A 23 B 6 C 43 D 12 3 在下列条件： 离心率为 2e? ； 渐近线互相垂直； 渐近线方程为 22yx?； 离心率为 2e? ； 渐近线方程为 yx? 中，能作为判定双曲线为等轴
2、双曲线充要条件的是 ( ) A B C D 4 在棱长为 2的正方体 ABCDA1B1C1D1中， M是棱 A1B1的中点，则 AM 与 1BD 所成的角的余 弦值为 ( ) A 1515?B 510C 1515D 1055 若 1a? ，则双曲线 2 22 1x ya ?的离心率的取值范围是 ( ) A ( 2, )? B (1, 2) C ( 2,2) D (1,2) 6 曲线 y x3 3x2在点 (1,2)处的切线方程为 ( ) A y 3x 1 B y 3x 5 C y 3x 5 D y 2x 7 设函数() xf x xe?，则（ ） A1?为fx的极大值点 B1为()的极小值点
3、C?为 的极大值点 D1?为 的极小值点 8 若 21( ) ln ( 2 )2f x x b x? ? ? ? ?在 ( - 1 , + )上是减函数，则 b 的取值范围是（ ） A 1, )? ? B ( 1, )? ? C ( , 1? D ( , 1)? 9 过抛物线 2:4C y x? 的焦点 F ,且斜率为 3 的直线交 C 于点 M (M 在的 x轴上方 )， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l? ,则 M 到直线 NF 的距离为 ( ) A 5 B 23 C 22 D 33 - 2 - 10 曲线 xye? 在点 2(2 )e， 处的切线与坐标轴所围三角形的面积
4、为（ ） A 294e B 22e C 2e D 22e11 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC=2,AA1=1,则 BC1与平面 BB1D1D所成角的正弦值为 ( ) A 63B 265C 155D 10512 如图所示，曲线是函数32()f x x bx cx d? ? ? ?的 大致图象，则22xx?等于 ( ) A 169 B 2 C 163 D 89 二、填空题 (每小题 5分 ，共 20分 ) 13 函数 32( ) 1 5 3 3 6f x x x x? ? ? ?的 单调减 区间为 . 14若函数 f(x)=ax3-x2+x-5在 R上单调递增，则 a的取值范
5、围是 15 正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 2 ，侧棱的长是底面边长的 2 倍， E为侧棱 SC上一点，0,BE SD?若 ,SE EC? 则 ? 16 椭圆 221111 1( 0 )xy abab? ? ? ?中， 111,abc 成等比数列，椭圆的离心率为 1;e 双曲线22221xyab?中， 222,a b c 成等比数列，双曲线的离心率为 2.e 则 12ee? . 三、解答题 (共 70分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17 （本小题满分 10 分） 已知函数 32()f x ax x bx? ? ?(其中常数 a,bR), ( ) ( ) ( )g x f
6、 x f x?是奇函数 . (1)求 ()fx的表达式 ; (2)求 ()gx的单调区间，并求 ()gx在区间 1,2上的最大值和最小值 . 18 （本小题满分 12 分） 如图，正三棱柱的所有棱长都为 2， D为 CC1中点。 用空间向量 进行以下证明和计算： (1)求证： AB1 面 A1BD; (2)求二面角 A-A1D-B的正弦值 ； - 3 - (3)求点 C到面 A1BD的距离 . 19.（本小题满分 12分） 已知函数 3( ) 3 1, 0f x x ax a? ? ? ? (1)求 ()fx的极大值和极小值； (2)若 ()fx在 1x? 处的切线与 y轴垂直，直线 y=m与
7、 ()y f x? 的图象有三个不同的交点，求 m的取值范围。 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 2y px? 的焦点在直线 3 1 0xy? ? ? 上，直线 l过点 P（ 4， 0），斜率为 43 ，直线 l和抛物线相交于 A， B两点，设线段 AB 的中点为 M. （ 1）求抛物线的方程和点 M的坐标； （ 2）求线段 AB的长 |AB|并证明 OA OB， 21.（本小题满分 12分） 如图所示，在四棱锥 P-ABCD中， PA 底面 ABCD, AD AB， AB DC， AD DC AP 2， AB 1，点 E为棱 PC的中点 用空间向量 进行以下证明和计算： (1)
8、证明： BE DC； (2)求直线 BE与平面 PBD所成角的正弦值； (3)若 F为棱 PC上一点，满足 BF AC， 求二面角 F-AB-P的正弦值 22.（本小题满分 12分） - 4 - 已知椭圆 错误 !未找到引用源。 经过点 错误 !未找到引用源。 ，且离心率为 错误 !未找到引用源。 . （ 1）求椭圆 错误 !未找到引用源。 的方程； （ 2）设点 错误 !未找到引用源。 在 错误 !未找到引用源。 轴上的射影为点 错误 !未找到引用源。 ，过点 错误 !未找到引用源。 的直线 3?myx 错误 !未找到引用源。 与椭圆 错误 !未找到引用源。 相交于 错误 !未找到引用源。
9、、 错误 !未找到引用源。 两点，且 NANB 3? 错误 !未找到引用源。 ，求直线 错误 !未找到引用源。 的方程 . - 5 - 高二第二次月考数学试卷答案（理） 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B C B A D C B D D A 二、填空题 13.( 1,11)? 亦可填写闭区间或半开半闭区间。 14. 13a? 15. 2? 16. 12ee? 1 17. （本小题满分 10分） 18. （本小题满分 12分） 解： 建立如图所示坐标系 ， 则(0,0, 3),A (1,0,0),B ( 1,0,0),C? 1(0,2, 3
10、),A 1(1,2,0),B 1( 1,2,0),C ? ( 1,1,0),D? (1) 向量 ? ?1 1,2, 3 ,AB ? ? ?2,1,0 ,BD ? ? ?1 1, 2, 3 ,AB ? ? ? - 6 - 1 1 10 , 0 ,A B B D A B A B? ? ? ? ?1 1 1,AB BD AB A B? ? ?1AB?面 1ABD （ 2） 面 1BAD 的法向量是 ? ?1 1, 2, 3 ,AB m? ? ?2 2,m? 取 AC 中点 E, 则面 1AAD 的法向量是 33, 0 , ,22BE n ? ? ?或求得面 1AAD 的法向量是 ? ?3, 0 ,
11、3 , 3 3nn? ? ? 设二面角 A-A1D-B的为 ? ， 则 ? ? 66c o s ,42 2 2 3mnmn mn ? ? ? ?10sin 4?(3)面 1ABD 的法向量是 ? ?1 1, 2, 3 ,AB m? ? ?2 2,m? 向量 ? ?2,0,0 ,CB ? ?点 C到面 A1BD的距离为 22222m C Bd m? ? ?19.（本小题满分 12分） 解析：（ 1） 2 2( ) 3 3 3 ( ),f x x a x a? ? ? ?当 0a? 时，对 xR? ，有 ( ) 0,fx? 所以当 0a? 时， ()fx的单调增区间为 ( , )? ，没有极值；
12、当 0a? 时，由 ( ) 0fx? 解得 xa? 或 xa? ；由 ( ) 0fx? 解得 a x a? ? ? ， 所以当 0a? 时， ()fx的单调增区间为 ( , ), ( , )aa? ? ?； ()fx的单调减区间为 ( , )aa? 。 ()fx极小 = ( ) 2 1,f a a a? ? ?()fx极大 = ( ) 2 1,f a a a? ? ? （ 2）因为 ()fx在 1x? 处的切线与 y轴垂直，所以 2( 1 ) 3 ( 1 ) 3 0 , 1 .f a a? ? ? ? ? ? ? ? 所以 3 2( ) 3 1 , ( ) 3 3 ,f x x x f x x
13、? ? ? ? ?由 ( ) 0fx? 解得 121, 1xx? ? 。 由（ 1）中 ()fx的单调性可知， ()fx在 1x? 处取得极大值 ( 1) 1f ?， 在 1x? 处取得极小值 (1) 3f ? 。 因为直线 ym? 与函数 ()y f x? 的图象有三个不同的交点，又 ( 3) 19 3f ? ? ? ? ?，(3) 17 1f ?，结合 ()fx的单调性可知， m 的取 值范围是 (3,1)? 。 20（本小题满分 12分） 解：（ 1） 直线 3 1 0xy? ? ? 过点（ 1， 0）， 1, 2.2p p? - 7 - 抛物线的 方程为 2 4.yx? 直线 l的 方
14、程为 4 3 16 0,xy? ? ? 由24 3 16 04xyyx? ? ? ?得 2 3 16 0,yy? ? ? 设 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y 则 1212316yyyy? ?，算得 121241416xxxx? ? ?1 2 1 2 4 1 3( , ) ( , )2 2 8 2x x y yMM? ? （ 2） 221 2 1 2 5 7 31 ( ) 4 4A B k x x x x? ? ? ? ? 1 2 1 2( , ), ( , ),O A x x O B y y? 1 2 1 2 0O A O B x x y y? ? ? ? OA
15、 OB. 21.（本小题满分 12分） 解：依题意，以点 A为原点建立空间直角坐标系 (如图所示 )，可得 B(1， 0， 0)， C(2， 2， 0)，D(0， 2， 0)， P(0， 0， 2) C由 E为棱 PC 的中点，得 E(1， 1， 1) (1)证明：向量 BE (0， 1， 1)， DC (2， 0， 0)，故 BE DC 0， 所以 BE DC. (2)向量 BD ( 1， 2， 0)， PB (1， 0， 2)设 n (x， y， z)为平面 PBD的法向量，则 ?n BD 0，n PB 0， 即 ? x 2y 0，x 2z 0. 不妨令 y 1，可得 n (2， 1， 1
16、)为平面 PBD的一个法向量于是有 cos n， BEn BE|n| BE|26 233 ， - 8 - 所以直线 BE 与平面 PBD所成角的正 弦值为33 . (3) 向量 BC (1， 2， 0)， CP ( 2， 2， 2)， AC (2， 2， 0)， AB (1， 0， 0)由点F 在棱 PC上，设 CF ， 0 1. 故 BF BC CF BC (1 2 ， 2 2 ， 2 )由 BF AC，得 BF AC 0，因此 2(1 2 ) 2(2 2 ) 0，解得 34，即 BF ? 12，12，32 .设 n1 (x， y， z)为平面 FAB的法向量，则 ?n1 AB 0，n1 B
17、F 0， 即 ?x 0，12x12y32z 0.不妨令 z 1，可得 n1 (0， 3， 1)为平面 FAB的一个法向量取平面 ABP的法向量 n2 (0， 1， 0)，则 cos n1， n2n1 n2|n1| |n2| 310 13 1010 .sin n1， n2 1010 .所以，二面角 F-AB-P的正弦值为 1010 . 22.（本小题满分 12分） 【答案】 （ ） 错误 !未找到引用源。 ；（ ） 错误 !未找到引用源。 （ ）由已知 N 的坐标为 错误 !未找到引用源。 ，当直线 错误 !未找到引用源。 斜率为 0 时，直线 错误 !未找到引用源。 为 错误 !未找到引用源。 轴，易知 错误 !未找到引用源。 不成立 当直线 错误 !未找到引用源。 斜率不为 0 时，设直线 错误 !未找到引用源。 的方程为 错误 !未找到引用源。 ，代入 错误 !未找到引用源。 ，整理得， 错误 !未找到引用源。 ，设 错误 !未找到引用源。 ， 错
