1、 - 1 - 2017年下期高二年级第二次月考试卷 数学（试题卷） 注意事项： 1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第二次月考试卷，分两卷。其中共 22题，满分 150分，考试时间为 120分钟。 2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考 15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。 3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用 2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色 0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。 预祝考生考试顺利 第 I 卷 选择题（每题 5分，共 60分） 本卷共 12题，每题 5分，共 60分，在
2、每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。 1.设 a R，则 “a 2 1” 是 “a 3 1” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 2.已知 A， B为平面内两个定点，过该平面内动点 m作直线 AB的垂线，垂足为 N若= ? ，其中 为常数，则动点 m的轨迹不可能是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 3.函数 y=x2cosx的导数为（ ） A y=2xcosx x2sinx B y=2xcosx +x2sinx C y=x 2cosx 2xsinx D y=xcosx x2sinx 4.已知命题 p：任意 x R， sinx 1，则（
3、 ） A p：存在 x R， sinx 1 B p：任意 x R， sinx 1 C p：存在 x R， sinx 1 D p：任意 x R， sinx 1 5.平面内有两个定点 F1（ 5， 0）和 F2（ 5， 0） ，动点 P满足条件 |PF1| |PF2|=6，则动点 P的轨迹方程是（ ） - 2 - A =1（ x 4） B =1（ x 3） C =1（ x 4） D =1（ x 3） 6.已知直线 y=k（ x 2）（ k 0）与抛物线 C： y2=8x 相交于 A、 B两点，若 |AB|=9，则 k=（ ） A B C D 7.当 x 2， 1，不等式 ax3 x2+4x+3 0
4、恒成立，则实数 a的取值范围是（ ） A 5， 3 B（ ， C（ ， 2 D 4， 3 8.已知椭圆 + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 F1， F2，焦距为 2 ，若直线 y=（ x+ ）与椭圆交于点 M，满足 MF1F2= MF2F1，则离心率是（ ） A B 1 C D 9.过双曲线 C1： =1（ a 0， b 0）的左焦点 F作圆 C2： x2+y2=a2的切线，设切点为 M，延长 FM 交双曲线 C1于点 N，若点 M为线段 FN的中点，则双曲线 C1的离心率为（ ） A B C +1 D 10.已知函数 f（ x） =x3+bx2+cx+d（ b、 c、 d为常数 ），
5、当 x （ 0， 1）时取得极大值，当 x（ 1， 2）时取极小值，则（ b+ ） 2+（ c 3） 2的取值范围是（ ） A（ ， 5） B（ ， 5） C（ ， 25） D（ 5， 25） 11.设函数 y=f（ x）在区间（ a， b）上的导函数为 f （ x）， f （ x）在区间（ a， b）上的导函数为 f （ x），若在区间（ a， b）上 f （ x） 0，则称函数 f（ x）在区间（ a， b）上为 “ 凹函数 ” ，已知 f（ x） = x5 mx4 2x2在区间（ 1， 3）上为 “ 凹函数 ” ，则实数 m的取值范围为（ ） A（ ， ） B ， 5 - 3 - C（
6、， 3 D（ ， 5 12.已知函数 f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2lnx， g（ x） =xe1 x（ a R， e为自然对数的底数），若对任意给定的 x0 （ 0， e，在（ 0， e上总存在两个不同的 xi（ i=1， 2），使得 f（ xi） =g（ x0）成立，则 a的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， C（ ， 2） D ， ） 第 II卷 非选择题（共 90 分） 二 .填空题（每题 5分，共 20分） 13.在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC=90 ， AB=BC=AA1=4，点 D是 A1C1的中点，则异面直线AD和 BC1所成角的大小为 14.已知四
7、面体 ABCD的顶点都在同一个球的球面上， BC= ， BD=4，且满足 BC BD， AC BC，AD BD若该三棱锥的体积为 ，则该球的球面面积为 15.已知 AB是椭圆 + =1（ a b 0）的长轴，若把该长轴 2010等分，过每个等分点作 AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点 P1， P2， ? ， P2009，设左焦点为 F1，则（ |F1A|+|F1P1|+|F1P2|+? +|F1P2009|+|F1B|） = 16.如图，在底面半径和高均为 4的圆锥中， AB、 CD 是底面圆 O的两条互相垂直的直径， E是母线 PB 的中点，若过直径 CD与点 E的平面与圆锥侧面的交线是以
8、 E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 P的距离为 - 4 - 三 .解答题（共 6题，共 70 分） 17.（本题满分 10分） 设命题 p：“ ? x R， x2+2x m”；命题 q：“ ? x0 R，使 ”如果命题 p q为真，命题 p q为假，求实数 m的取值范围 18.（本题满分 12分） 如图，在直三棱锥 A1B1C1 ABC， AB AC， AB=AC=2， AA1=4，点 D是 BC 的中点 （ 1）求异面直线 A1B与 C1D所成角的余弦值； （ 2）求平面 ADC1与平面 A1BA所成的二面角（是指不超过 90的角）的余弦值 19.（本题满分 12分） 如
9、图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是菱形，且 120ABC? ? ? ，点 E 是棱 PC 的中点 ，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F DABCEFP（ 1）求证： AB EF （ 2 ）若 2PA PD AD? ? ?，且平面 PAD? 平面 ABCD ， - 5 - 求二面角 E AF D?的锐二面角的余弦值 在线段 PC 上是否存在一点 H ，使得直线 BH 与平面 AEF 所成角等于 60? ，若存在，确定 H的位置，若不存在，说明理由 20.（本题满分 12分） 已知动点 P到点 A（ 2， 0）与点 B（ 2， 0）的斜率之积为 41 ，点 P的轨迹为曲线 C
10、（）求曲线 C的轨迹方程； （）过点 D（ 1， 0）作直线 l与曲线 C交于 P， Q两点，连接 PB， QB分别与直线 x=3交于 M，N 两点若 BPQ和 BMN的面积相等，求直线 l的方程 - 6 - 21.（本题满分 12分） 已知函数 f（ x） =ax3+x， g（ x） =x2+px+q （）若函数 f（ x）在 x=1 处取得极值，求实数 a的值； （）在（）的条件下，函数 F（ x） =f（ x） g（ x）（其中 f（ x）为函数 f（ x）的导数）的图象关于直线 x= 1 对称，求函数 F（ x）单调区间； （）在（）的条件下，若对任意的 x 1，都有 g（ x）（ 6
11、+） x lnx+3 恒成立，求实数的取值范围 - 7 - 22.（本题满分 12分） 如图，在平面直角坐标系 xoy中，椭圆 C： =1（ a b 0）的离心率为 ，直线 l与 x轴交于点 E，与椭圆 C交于 A、 B两点当直线 l垂直于 x轴且点 E为椭 圆 C的右焦点时，弦 AB的长为 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）是否存在点 E，使得 为定值？若存在，请指出点 E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由 - 8 - - 9 - 衡阳八中 2017年下期高二年级理科实验班第二次月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A C D
12、D C B A D C A 13.30 14.23 15. 16. 17. 当 P真时， ? x R， x2+2x m， 有 =4+4m 0，解得 m 1?（ 2分） 当 q真时， ? x0 R，使 ， 所以 =4m2 4（ 2 m） 0，解得 m 2，或 m 1 ?（ 4分） 又因为“ p q”为真，“ p q”为假，所以 p， q一真一假，?（ 5分） 当 p真 q假时， 2 m 1?（ 7分） 当 p假 q真时， m 1?（ 9分） 所以实数 a的取值范围是（ 2， 1） 1， +）?（ 10分） 18.（ 1）以 ， ， 为单位正交基底建立空间直角坐标系 A xyz， 则由题意知 A（
13、 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ 0， 2， 0）， A1（ 0， 0， 4）， D（ 1， 1， 0）， C1（ 0， 2， 4）， =（ 2， 0， 4）， =（ 1， 1， 4）， cos ， = = = ， 异面直线 A1B与 C1D所成角的余弦值为 （ 6分） （ 2） 是平面 ABA1的一个法向量， 设平面 ADC1的法向量为 ， ， - 10 - ，取 z=1，得 y= 2， x=2， 平面 ADC1的法向量为 =（ 2， 2， 1），（ 9分） 设平面 ADC1与 ABA1所成二面角为， cos =|cos ， |=| |= ， 平 面 ADC1与 ABA1所成二面角的余弦值为： （ 12分） 19. （ ）证明： ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 又 平面 ，且平面 平面 ， 。（ 3分） （ ）取 的中点 ，连接 ， ， ， 是菱形，且 ， ， ， 是等边三角形， ， ，
