1、 1 江苏省泰州 2017-2018 学年高二上学期期初学情检测 （小高考模拟）数学试题 一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上） 1.函数 ? ?0122xfxx? ? 的定义域为 2.已知全集 UR? ，集合 ? ?2 46 0 , 0xA x x x B xx? ? ? ? ? ?，那么集合? ?UA C B? 3.用“ ? ”将 0.2 2.3 0.20.2 ,2.2 ,log 23? 从小到大排列是 4.设变量 ,xy满足的约束条件 222441xyxyxy? ?，则目标函数 3z x y?的取值范围是 5.若 3sin , ,5 2 2? ? ? ?，则 5c
2、os4? 6.设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab? 与 2ab? 共线，则 ? 7.若 ,mnl 是互不重合的直线， ,? 是互不重合的平面，给出下列命题： 若 ,m m n? ? ? ? ? ? ?，则 n? 或 n ? ； 若 / / , ,mn? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 /mn； 若 m 不垂直于 ? ，则 m 不可能垂直于 ? 内的无数条直线； 若 , / / , ,m m n n n? ? ? ? ? ? ?，则 /n? 且 /n ? ； 若 ,m n l? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?且 ,? ? ? ? ? ? ? ?，则 ,m n m l n
3、l? ? ?. 其中正确的命题是 （填序号） 8.已知等比数列 ?na 中，各项都是正数，且1 3 21, ,22a a a成等差8967aaaa? ? 9.已知直线 0x y a? ? ? 与圆心为 C 的圆 22 2 4 4 0x y x y? ? ? ? ?相交于 ,AB两点，且AC BC? ，则实数 a 的值为 10.设 ABC? 的内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，若三边的长为连续的三个正整数，且A B C? ， 3 20 cosb a A? ，则 sin :sin :sinA B C为 2 11.设 ? ?, , 0,2a b R c ? ，若对任意实数 x 都有 ? ?2
4、 sin 3 sin3x a bx c? ? ?，则满足条 件的有序实数组 ? ?,abc 的组数为 12.设 ,xy为实数，若 2241x y xy? ? ? ，则 2xy? 的最大值 . 13.已知函数 ? ? sinf x x? ，若存在 12, , , mx x x 满足 1206mx x x ? ? ? ? ?，且? ? ? ?12f x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?*2 1 1 1 2 2 ,mf x f x f x f m m m N? ? ? ? ? ? ?，则 m 的最小值为 14.在锐角 ABC? 中， 1tan2A?， D 为边 BC 上的点， ABD
5、? 与 ACD? 的面积分别为 2 和 4，过 D 做 DE AB? 于 E ， DF AC? 于 F ，则 DE DF? 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 15.已知直线 : 2 2 2 0l x y m? ? ? ?. （ 1）求过点 ? ?2,3 且与直线 l 垂直的方程； （ 2）若直线 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积大于 4，求实数 m 的取值范围 . 16. 一副直角三角板（如图 1）拼接，将 BCD? 折起，得到三棱锥 A BCD? （如图 2） . （ 1）若 ,EF分别为 ,ABBC 的中点，求证： /EF 平
6、面 ACD ； （ 2）若平面 ABC? 平面 BCD ，求证：平面 ABD? 平面 ACD . 17.为响应国家扩大 内需的政策，某厂家拟在 2016 年举行某一产品的促销获得，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量） x 万件与年促销费用 0tt?（ ） 万元满足 421kx t?（ k为常数）如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是 1 万件已知 2016 年生产该产品的3 固定投入为 6 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平 均成本的 1.5 倍（ 成产投入成本包括生产 固定投入和 生产 再投入两部分） （ 1） 求常数 k ，
7、并 将该厂家 2016 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数； （ 2）该厂家 2016 年的年促销费用投入多少万元时 ， 厂家利润最大？ 18. 在平面直角坐标系中，圆 22:4O x y?与 x 轴的 正半轴交于点 A ，以 A 为圆心的圆? ?2 22:2A x y r? ? ? ? ?0r? 与圆 O 交于 ,BC两点 . （ 1）若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于 ,DE，当线段 DE 长最小时，求直线 l的方程； （ 2）设 P 是圆 O 上异于 ,BC的任意一点，直线 ,PBPC 分别与 x 轴交于点 M 和 N ，问OMON? 是否为定值？若
8、是，请求出该定值；若不是，请说明理由 . 19. 己知 aR? ，函数 ? ?2 1logf x ax?. （ 1） 当 5a? 时 ， 解不等式 ? ? 0fx? ； （ 2）若 关于 x 的方程 ? ? ? ?2lo g 4 2 5 0f x a x a? ? ? ? ?的解集中恰有一个元素，求 a 的取值范围； （ 3） 设 0a? ， 若对任意 1,12t ?，函数 ?fx在区间 ? ?,1tt? 上的最大值与最小值的差不超过 1， 求 a 的取值范围 . 20.已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 且满足 22nnSa?；数列 ?nb 的前 n 项和为 nT ，且 满足121
9、, 2bb?，12nnTb?. （ 1） 求数列 ?na 、 ?nb 的通项 公式； 4 （ 2） 是否存在正整数 n ，使得11nnnnabab? 恰 为数列 ?nb 中的一项？若存在 ， 求所有满足 要求的 nb ；若不存在，说明理由 . 试卷答案 一、填空题 1 112, ,22? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2.? ?03xx? 3. 2.3 0.20.2log 2.3 2.2 0.2?4. 3,62?5. 210?6. 12?7. 8.3 2 2?9.6:5:4 10. 0 或 6 11. 4 12.210513. 814. 1615?二、解答题 15. 解 ： （ 1
10、)与 直线 l 垂直的直线的斜率为 2? ， 因为点 ? ?2,3 在该 直线 上，所以所求 直线方程为 ? ?3 2 2yx? ? ? ， 故所求的 直线方程为 2 7 0xy? ? ? . （ 2） 直线 l 与两坐 标轴 的 交点分别为 ? ? ? ?2 2,0 , 0, 1mm? ? ?， 则 所围成的三角形的 面积为 1 2 2 12 mm? ? ? ? ?， 由 题意 可知 1 2 2 1 42 mm? ? ? ? ? ?，化简得 ? ?214m?， 解得 3m? 或 1m? ， 所以实 数 m 的取值 范围 是 ? ? ? ?, 1 3,? ? ? ?. 16. 证明：（ 1）
11、因为 ,EF分别为 ,ABBC 的中点 ， 所以 /EF AC ， 又 EF? 平面 ACD ， AC? 平 面 ACD ，所以 /EF 平面 ACD . （ 2） 因为 平面 ABC? 平 面 BCD ， 平面 ABC? 平面 BCD BC? ， CD? 平面 BCD ， CD BC? ， 所以 CD? 平面 ABC ， 因为 AB? 平面 ABC ， 所以 CD AB? . 5 又因为 ,AB AC AC CD C? ? ?， AC? 平面 ACD ， CD? 平面 ACD . 所以 AB? 平面 ACD . 又 AB? 平面 ABD ， 所以 平面 ABD? 平面 ACD . 17.解
12、： （ 1）由题意， 当 0t? 时 ， 1x? ， 代入 421kx t?中，得 141k?，得 3k? ， 故 3421x t?，?6 1 21 . 5 6 1 2y x x t? ? ? ? ? ?3 86 3 6 4 2 7 02 1 2 1x t t t ttt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2）由（ 1） 知 ： 1 8 9 12 7 2 7 .512 1 22y t ttt? ? ? ? ? ? ? ?由 基本 不等式 9 1 9 1 =6112222tttt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当且仅当 911 22 tt ?，即 2.5
13、t? 时 等号成立， 故 1 8 9 12 7 2 7 . 5 2 7 .5 6 2 1 . 512 1 22y t ttt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?答：该厂家 2016 年的年促销费用投入 2.5 万元时，厂家利润最大 . 18.（ 1）设直线 l 的方程为 ? ?1 0, 0xy abab? ? ? ?，即 0bx ay ab? ? ? ， 由直 l 线与圆 O 相切，得222abab? ，即 221 1 14ab?， ? ?2 2 2 2 222114 1 6D E a b a bab? ? ? ? ? ?， 当且仅当 22ab? 时取等号，此时直线 l 的方程为 2 2
14、 0xy? ? ? . （ 2）设 ? ? ? ? ?0 0 1 1 1 0, , ,B x y P x y y y?，则 ? ?00,C x y? ， 2 2 2 20 0 1 14, 4x y x y? ? ? ? 直线 PB 的方程为： ? ?011101yyy y x xxx? ? ? 直线 PC 的方程为： ? ?011101yyy y x xxx? ? ? 分别令 0y? ，得1 0 0 1 1 0 0 10 1 0 1,MNx y x y x y x yxxy y y y?， 6 所以 ? ? ? ?2 2 2 22 2 2 2 1 0 0 11 0 0 12 2 2 20 1
15、0 144 4MNy y y yx y x yO M O N x xy y y y? ? ? ? ? ? ?为定值 . 19.解：（ 1）由2 1log 5 0x?，得 1 51x?， 解得 ? ?1, 0,4x ? ? ? ? ?. （ 2） ? ?1 4 2 5a a x ax ? ? ? ? ?， ? ? ? ?24 5 1 0a x a x? ? ? ? ?， 当 4a? 时， 1x? ，经验证，满足题意 . 当 3a? 时， 121xx? ? ，经验证，满足题意 . 当 3a? 且 4a? 时，1 2 1 21 , 1,4x x x xa? ? ? ?. 1x 是原方程的解当且仅当1
16、1 0ax ? ，即 2a? ； 2x 是原方程的 解当且仅当21 0ax ? ，即 1a? . 于是满足题意的 ? ?1,2a? . 综上， a 的取值范围为 ? ? ? ?1,2 3,4? . （ 3）当 120 xx?时，1211aaxx? ? ? ， 221211lo g aaxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ?fx在 ? ?0,? 上单调递减 . 函数 ?fx在区间 ? ?,1tt? 上的最大值与最小值分别为 ? ? ? ?,1f t f t? . ? ? ? ? 22111 lo g lo g 11f t f t a att? ? ? ? ? ?
17、? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 ? ?2 1 1 0at a t? ? ? ?对任意 1,12t ?成立 . 因为 0a? ，所以函数 ? ?2 11y at a t? ? ? ?在区间 1,12?上单调递增， 12t?时， y 有最小值3142a? ，由 31042a? ，得 23a? . 故 a 的取值范围为 2,3?. 20.解：（ 1）因为 22nnSa?，所以当 2n? 时， 1122nnSa?， 两式相减得 122n n na a a ? ，即 12nnaa? ，又 1122Sa?，则 1 2a? ， 所以数列 ?na 是以 1 2a? 为首项， 2 为公比的等比数列，故
18、 2nna? . 7 由12nnTb?得3 3 1 11 1 2 22 3 3 4 4 5 1 1 2, , , , ,n n n nn n n nT b T b T bT b T b LT b T b T b T b T b? ? ? ? ? ? ?， 以上 n 个式子相乘得1 1 212n n nT bbT b b?，即 12 n n nT bb? ，当 2n? 时， 112 n n nT bb? ， 两式相减得 ? ?112 n n n nb b b b?，即 ? ?1122nnb b n? ? ?， 所以数列 ?nb 的奇数项、偶数项分别成等差数列， 又1123Tb? ，所以 3 2
19、1 2 3b T b b? ? ? ?，则 1 3 22b b b? ， 所以数列 ?nb 是以 1 1b? 为首项， 1 为公差的等差数列，因此数列 ?nb 的通项公式为 nbn? . 另法：由已知显然 0nb? ，因为12nnTb?，所以11 1 2nnn n n nTTb b b b? ? ?，则数列1nnnTbb?是常数列，所以11 1 212nnnT Tb b bb? ?， 即 12 n n nT bb? ，下同上 . （ 2）当 1n? 时，11nnnnabab? 无意义， 设 ? ? ? ?*11 21 2,nnnn nnnab nc n n Na b n? ? ? ? ? ? ?，显然 1nc? ，
